山西省太原市第五中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試卷

1、內(nèi)裝訂線學(xué)校:_姓名：_班級(jí)：_考號(hào)：_外裝訂線絕密·啟用前山西省太原市第五中學(xué)2021屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試卷題號(hào)一二三四總分得分注意事項(xiàng)：1答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上評(píng)卷人得分一、選擇題1.設(shè)集合M=x2xx20，N=xxa，若MN，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）Aa2Ba2Ca2Da22.若復(fù)數(shù)z滿足：z+2i=3i31+i（i為虛數(shù)單位），則z¯等于（ ）A2iB2+iC23iD2+3i3.函數(shù)y=lncosx2x2的圖象是ABCD4.為了得到函數(shù)fx=sin13x+cos13x的圖象，可以將函數(shù)gx=2cos13x的圖象

2、（ ）A向右平移34個(gè)單位長度B向右平移4個(gè)單位長度C向左平移34個(gè)單位長度D向左平移4個(gè)單位長度5.在等差數(shù)列an中，a11=2a8+6，則a2+a6+a7=（ ）A18B6C8D126.在2x+12x2n的展開式中，1x2的系數(shù)是14，則x2的系數(shù)是（ ）A28B56C112D2247.地震震級(jí)根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測(cè)定，一般采用里氏震級(jí)標(biāo)準(zhǔn)震級(jí)M用距震中100千米處的標(biāo)準(zhǔn)地震儀所記錄的地震波最大振幅值的對(duì)數(shù)來表示里氏震級(jí)的計(jì)算公式為：M=lgAmaxA0（其中常數(shù)A0是距震中100公里處接收到的0級(jí)地震的地震波的最大振幅；Amax是指我們關(guān)注的這次地震在距震中100公里處接收到的地

3、震波的最大振幅）地震的能量E是指當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時(shí)，以地震波的形式放出的能量E=104.8×101.5M（單位：焦耳），其中M為地震震級(jí)已知甲地地震產(chǎn)生的能量是乙地地震產(chǎn)生的能量的103倍，若乙地地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅為A，則甲地地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅為（ ）A2AB10AC100AD1000A8.A同學(xué)和B同學(xué)參加某市青少年圍棋比賽并進(jìn)入決賽，決賽采取“3局2勝”制，若A同學(xué)每局獲勝的概率均為23，且每局比賽相互獨(dú)立，則在A先勝一局的條件下，A最終能獲勝的概率是（ ）A34B89C79D569.已知正四棱錐PABCD的高為2，AB=22

4、，過該棱錐高的中點(diǎn)且平行于底面ABCD的平面截該正四棱錐所得截面為A1B1C1D1，若底面ABCD與截面A1B1C1D1的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為（ ）A20B203C4D4310.在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，已知AD=2，AC=22，cosB=34，則ABC的面積為（ ）A3B5C6D711.過雙曲線C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)F作直線l，且直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為A，直線l與另一條漸近線交于點(diǎn)B，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OAB的內(nèi)切圓的半徑為312a，則雙曲線C的離心率為（ ）A233B3+1C433D233或2評(píng)卷人得分二、填空題12.在平面直角坐

5、標(biāo)系xOy中，已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且過點(diǎn)P2,4，則該拋物線的方程是_.13.在某市2020年6月的高二質(zhì)量檢測(cè)考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N98,100.已知參加本次考試的全市理科學(xué)生約100000人.某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第_名.（參考數(shù)值：PX+=0.6826，P2X+2=0.9544，P3X+3=0.9974）14.已知函數(shù)f(x)=2x,0x1lnx,x1，若存在實(shí)數(shù)x1，x2滿足0x1x2，且f(x1)=f(x2)，則x24x1的最小值為_評(píng)卷人得分三、雙空題15.任取一個(gè)正整數(shù)m，若m是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再

6、加上1；若m是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1421，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等），若m=5，則經(jīng)過_次步驟后變成1；若第5次步驟后變成1，則m的所有可能取值組成的集合為_評(píng)卷人得分四、解答題16.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，S3=9.數(shù)列bn滿足a1b1+a2b2+anbn=2n+1.（1）求an和bn的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證Tn163.17.敘述并證明兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理；并由此證明：三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直.18.團(tuán)結(jié)協(xié)作、頑強(qiáng)拼搏的女排精神代代相傳，極大地激發(fā)了中

7、國人的自豪、自尊和自信，為我們?cè)趯?shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的新征程上奮勇前進(jìn)提供了強(qiáng)大的精神力量.最近，某研究性學(xué)習(xí)小組就是否觀過電影奪冠（中國女排）對(duì)影迷們隨機(jī)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如表（單位：人）.是否合計(jì)青年401050中年302050合計(jì)7030100（1）是否有95%的把握認(rèn)為看此電影與年齡有關(guān)？（2）現(xiàn)從樣本中年人中按分層抽樣方法取出5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人，求其中至少有2人觀看過電影奪冠（中國女排）的概率；（3）將頻率視為概率，若從眾多影迷中隨機(jī)抽取10人記其中觀過電影奪冠（中國女排）的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及方差.附：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+

8、c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.PK2k00.0500.0100.001k03.8416.63510.82819.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1的離心率為63，其長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(3,0)，B(3,0).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)P為橢圓上除A，B外的任意一點(diǎn)，直線AP交直線x=4于點(diǎn)E，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O且與直線BE垂直的直線記為l，直線BP交y軸于點(diǎn)M，交直線l于點(diǎn)N，求N點(diǎn)的軌跡方程，并探究BMO與NMO的面積之比是否為定值.20.已知函數(shù)f(x)=xaex+a24(aR).（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)g(x)=f(x)+12e2x+(a1)x，

9、若g(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2，且gx1+gx2x1+x2恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=22ty=1+22t（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是：2=123cos2+4sin2.（）求C的直角坐標(biāo)方程和l的普通方程；（）設(shè)P0,1，l與C交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，求PM.22.已知函數(shù)f(x)=|xa|+2|x+1|(aR).（1）當(dāng)a=4時(shí)，解不等式f(x)8；（2）記關(guān)于x的不等式f(x)2|x3|的解集為M，若4,1M，求a的取值范圍.參考答案1.B【解析】求得集合M，根據(jù)MN求得實(shí)數(shù)a

10、的取值范圍.2xx20x22x=xx20,M=0,2，由于N=xxa，MN，所以a2.故選：B2.D【解析】求得z，由此求得z¯.z+2i=3+i1+i=3+i1i1+i1i=42i2=2i，所以z=23i,z¯=2+3i.故選：D3.A【解析】試題分析：由偶函數(shù)排除B、D,排除C.故選A.考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與性質(zhì)4.A【解析】通過輔助角公式化簡，利用三角函數(shù)平移判斷即可fx=sin13x+cos13x=2cos13x4=2cos13x34故選：A.5.A【解析】求出a5=6，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得a2+a6+a7的值.a11=2a8+6=a11+a5+6，所以，a5=

11、6，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2+a6+a7=a1+d+a1+5d+a1+6d=3a1+4d=3a5=18.故選：A.6.D【解析】根據(jù)1x2的系數(shù)求得C2nn+1=56，由此求得x2的系數(shù).2x+12x2n的展開式的通項(xiàng)公式為C2nr2x2nr2xr=22n2rC2nrx2n2r，令2n2r=2,r=n+1，故22n2n+1C2nn+1=14,C2nn+1=56，令2n2r=2,r=n1，故22n2n1C2nn1=4C2nn1=4C2nn+1=4×56=224.故選：D7.C【解析】設(shè)甲地地震震級(jí)為M1，乙地地震震級(jí)為M2，首先根據(jù)題意求得M1M2=2，代入里氏震級(jí)的計(jì)算公式為

12、：M=lgAmaxA0求出Amax=100A即可.設(shè)甲地地震震級(jí)為M1，乙地地震震級(jí)為M2，因?yàn)榧椎氐卣甬a(chǎn)生的能量是乙地地震產(chǎn)生的能量的103倍，所以104.8×101.5M1104.8×101.5M2=101.5(M1M2)=103,故M1M2=2，又乙地地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅為A因?yàn)镸=lgAmaxA0，所以M1M2=lgAmaxA0lgAA0=lgAmaxA=2，解得：Amax=100A，甲地地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅為Amax=100A.故選：C.8.B【解析】先分析A最終能獲勝有兩種情況，分別計(jì)算概率，再相加即得結(jié)果

13、.在A先勝一局的條件下，A最終能獲勝有兩種情況：（1）第二局甲再次取勝，概率為23；（2）第二局甲敗，第三局甲勝，概率為13×23=29，故A最終能獲勝的概率為23+29=89.故選：B.9.A【解析】如圖（見解答部分）：根據(jù)正四棱錐，球心必在高線上，并且底面邊長和高，可知對(duì)角面PAC是等腰直角三角形，當(dāng)截面過高的中點(diǎn)時(shí)，截面的對(duì)角線長可求，再設(shè)球心為O，在兩個(gè)直角三角形OAM，A1ON利用勾股定理，列出方程，可以解出半徑R，則表面積可求.解：因?yàn)檎睦忮FPABCD，所以底面是正方形，結(jié)合高為2，AB=22，設(shè)底面對(duì)角線交點(diǎn)為M，所以AC4，AM2，故PMAMCM2，所以PAC是等腰

14、直角三角形.因?yàn)榻孛鍭1B1C1D1過PM的中點(diǎn)N，所以N為截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM截面A1B1C1D1.PNMNA1N1，設(shè)球心為O，球的半徑為R，則A1OAOR.在直角三角形A1ON中，ON=A1O2A1N2=R21，OM=1ON=1R21.在直角三角形AOM中，OA2AM2+OM2，即R2=4+(1R21)2，解得R25，故S4R220.故選：A.10.D【解析】設(shè)AB=c，BC=a，在ABC和ABD中利用余弦定理可求出a,c，即可求出面積.設(shè)AB=c，BC=a，在ABC中，a2+c22accosB=8，在ABD中，a22+c22a2ccosB=2，解得a=4，c=2，S

15、ABC=12acsinB=7.故選：D.11.D【解析】分A,B在y軸同側(cè)和A,B在y軸異側(cè)兩種情況進(jìn)行求解：不妨設(shè)A在第一象限，根據(jù)題意作出圖形，利用圖形中的幾何關(guān)系求出ba=tanAOF的值，再由離心率e=1+ba2求解即可.有兩種情況：（1）若A,B在y軸同側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限.如圖，設(shè)OAB內(nèi)切圓的圓心為M，則M在AOB的平分線Ox上，過點(diǎn)M分別作MNOA于N，MTAB于T，由FAOA得四邊形MTAN為正方形，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，焦點(diǎn)F到漸近線y=bax的距離為FA=bac1+ba2=b，又|OF|=c，所以|OA|=a，又|NA|=|MN|=312a，所以|NO|=332a

16、，所以ba=tanAOF=|MN|NO|=33，從而可得離心率e=1+ba2=233；（2）若A,B在y軸異側(cè)，不妨設(shè)A在第一象限如圖，易知|FA|=b，|OF|=c，|OA|=a，因?yàn)镺AB的內(nèi)切圓半徑為|AB|+|OA|OB|2=312a，所以|OB|AB|=2a3a，又因?yàn)閨OB|2=|AB|2+a2，所以|AB|=3a，|OB|=2a，所以BOA=60°，AOF=60°，則ba=tan60°=3，從而可得離心率e=1+ba2=2.綜上，雙曲線C的離心率為233或2.故選：D12.y2=8x【解析】分析可知，拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)拋物線的方程為y2=mx

17、，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線方程，求出m的值，即可得出拋物線的方程.由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)拋物線的方程為y2=mx，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線方程，可得2m=16，解得m=8，因此，該拋物線的方程為y2=8x.故答案為：y2=8x.13.15870【解析】分析可得108=+，計(jì)算得出PX+的概率，乘以100000可得結(jié)果.考試的成績X服從正態(tài)分布N98,100，所以，=98，=10，所以，108=+，則PX108=PX+=1PX+2=0.1587，數(shù)學(xué)成績?yōu)?08分的學(xué)生大約排在全市第100000×0.1587=15870名.故答案為：15870.14.22ln2【解析】作出

18、f(x)的圖象，由f(x1)=f(x2)，可知2x1=lnx2，從而x24x1=x22lnx2，1x2e2，構(gòu)造函數(shù)g(t)=t2lnt(1te2)，求出最小值即可.作出f(x)的圖象，如下圖所示，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0,2；當(dāng)x1時(shí)，f(x)(0,+)，因?yàn)閒(x1)=f(x2)，所以2x1=lnx2，令lnx=2，得x=e2，則1x2e2，故x24x1=x22lnx2，令g(t)=t2lnt(1te2)則g(t)=12t=t2t，易知函數(shù)g(t)=t2lnt在(1,2上單調(diào)遞減，在(2,e2上單調(diào)遞增，所以g(t)min=g(2)=22ln2故答案為：22ln2.15. 

19、0;   5     4,5,32【解析】根據(jù)“冰雹猜想”進(jìn)行計(jì)算，由此確定正確結(jié)論.m=5時(shí)，各步的結(jié)果為168421，即5次步驟后變成1.m=4時(shí)，各步的結(jié)果為21421，即5次步驟后變成1.m=32時(shí)，各步的結(jié)果為168421，即5次步驟后變成1.其它正整數(shù)不符合題意，故若第5次步驟后變成1，則m的所有可能取值組成的集合為4,5,32.故答案為：5；4,5,3216.（1）an=2n1，bn=13,n=12n12n1,n2；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)數(shù)列an公差為d，求出d的值，可得出數(shù)列an的通項(xiàng)公式，令n=1可求得b

20、1的值，令n2，由a1b1+a2b2+anbn=2n+1可得a1b1+a2b2+an1bn1=2n1+1，兩式作差可得bn的表達(dá)式，再驗(yàn)證b1是否滿足bnn2的表達(dá)式，由此可得出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求出Tn，即可證得Tn163.（1）設(shè)數(shù)列an公差為d，由題可知：a1=1S3=3a1+3d=9a1=1d=2，an=2n1，當(dāng)n=1時(shí)，a1b1=3，b1=13；當(dāng)n2時(shí)，由a1b1+a2b2+anbn=2n+1可得a1b1+a2b2+an1bn1=2n1+1，兩式作差得anbn=2n+12n1+1=2n1，所以，bn=an2n1=2n12n1.b1=13不滿足bn=2n12n

21、1，bn=13,n=12n12n1,n2；（2）Tn=b1+b2+b3+bn=13+32+522+2n12n1，12Tn=16+322+2n32n1+2n12n，12Tn=53+222+223+22n12n12n=53+12112n21122n12n=832n+32n，Tn=1632n+32n1163.17.答案見解析.【解析】（1）根據(jù)定理敘述即可，再將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，并論證即可；（2）寫出符號(hào)語言，并根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明即可.（1）性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.如圖，已知，=CD，AB，ABCD于點(diǎn)B，求證：AB.證明：在內(nèi)引直線BEC

22、D，則ABE是二面角CD的平面角.由可知：ABBE又ABCD，BE，CD，BECD=BAB（2）已知，=a，=b，=c，求證：ab，ac，bc.證明：如圖，在內(nèi)任取一點(diǎn)P(Pb,Pc)，過P在內(nèi)作PAc于A，PBb于B由上述定理可知：PAaPAa，PBaPBa，PA，PB，PAPB=Paac，ab同理可得bc.18.（1）有；（2）710；（3）數(shù)學(xué)期望為7，方差為2.1.【解析】（1）由公式計(jì)算K2可得結(jié)論；（2）從樣本的中年人中按分層抽樣方法求得觀看過電影和沒觀看過的人數(shù)，由古典概率公式分別求得抽取的3人中有2人和有3人觀看過電影的概率，再由概率加法公式求得答案； （3）由題意知，觀看過該

23、電影的頻率為710，將頻率視為概率，可得出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布B10,710，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望、方差公式求得答案.解：（1）K2=100×800300270×30×50×50=4.7623.841所以有95%的把握認(rèn)為看此電影與年齡有關(guān).（2）依題意，從樣本的中年人中按分層抽樣方法取出的5人中，觀看過電影的有5×3050=3（人），沒觀看過的有2人，記抽取的3人中有i人觀看過電影為事件Ai(i=1,2,3).則PA2=C32C21C53=3×210=35，PA3=C33C53=110，從這5人中隨機(jī)抽取3人，其中至少有2人看過該電

24、影的概率為：P=PA2+PA3=35+110=710.（3）由題意知，觀看過該電影的頻率為710，將頻率視為概率，則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布B10,710，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為E()=10×710=7，方差為D()=10×710×1710=2.1.19.（1）x29+y23=1；（2）x=214，是定值4:7.【解析】（1）由題知a=3，e=ca=63，進(jìn)而得c=6，b=3，即可得答案；（2）設(shè)Px0,y0y00，依次求得直線AP方程，E點(diǎn)坐標(biāo)，直線BE斜率，直線l方程，直線PB方程，N點(diǎn)坐標(biāo)（P點(diǎn)在橢圓，適合橢圓方程，得x0,y0關(guān)系代入可得）然后可計(jì)算三角形面

25、積比解：（1）由題意，a=3，又e=ca=63，c=6，則b=a2c2=3.橢圓C的方程為x29+y23=1.（2）設(shè)Px0,y0y00，則x029+y023=1.直線AP的方程為y=y0x0+3(x+3)，取x=4，可得點(diǎn)E4,7y0x0+3，直線BE的斜率為7y0x0+343=7y0x0+3，直線l的方程為y =x0+37y0x， 又直線PB的方程為y=y0x03(x3)，聯(lián)立直線l與PB的方程，消去 y得x0+37y0x=y0x03(x3)，7y02+x0297y0x03x=3y0x03，x029+y023=1，x029=3y02，代入解得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=214，即N點(diǎn)軌跡方程為：x=

26、214SBMOSNMO=12|OM|xB12|OM|xN=xBxN=3214=47.故BMO與NMO的面積之比為4:7.20.（1）答案見解析；（2）,42ln2.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分a0、a0兩種情況討論即可；（2）首先求出gx，然后可得a4，ex1+ex2=ex1ex2=a，x1+x2=lna，gx1+gx2=alnaa，然后可得aalna，然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，然后可得答案.（1）因?yàn)閒(x)=xaex+a24，所以f(x)=1aex.當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閑x0，所以f(x)0，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,+).當(dāng)a0時(shí)，令f(x)=0，得x=ln1a.當(dāng)xln

27、1a時(shí)，f(x)0，當(dāng)xln1a時(shí)，f(x)0.此時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,ln1a，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為ln1a,+.（2）因?yàn)間(x)=12e2xaex+ax+a24，所以g(x)=e2xaex+a.依題意，a0a24a0，解得a4.因?yàn)閤1，x2是gx的極值點(diǎn)，所以ex1+ex2=ex1ex2=a，則x1+x2=lna.gx1+gx2=12e2x1aex1+ax1+a24+12e2x2aex2+ax2+a24=12e2x1+e2x2aex1+ex2+ax1+x2+a22=12ex1+ex222ex1ex2aex1+ex2+ax1+x2+a22=12a22aa2+alna+a22=alnaa.所以，由gx1+gx2x1+x2，可得alnaalna.因?yàn)閍4，lna0，所以等價(jià)于aalna.令(x)=xxlnx，則(x)=1