奧數(shù)：火車過橋

1、火車過橋一、火車過橋四大類問題1、火車 +樹 ( 電線桿 ) ：一個有長度、有速度，一個沒長度、沒速度，解法： 火車車長 ( 總路程 )= 火車速度×通過時間；2、火車過橋（隧道） ：一個有長度、有速度，一個有長度、但沒速度，解法： 火車車長 +橋 ( 隧道 ) 長度 ( 總路程 )= 火車速度×通過的時間；3、火車 +人： 一個有長度、有速度，一個沒長度、但有速度，（1）、火車 +迎面行走的人：相當于相遇問題，解法： 火車車長 ( 總路程 )=( 火車速度 +人的速度 ) ×迎面錯過的時間；（2）火車 +同向行走的人：相當于追及問題，解法： 火車車長 ( 總路程

2、 )=( 火車速度 -人的速度 ) ×追及的時間；（3）火車 +坐在火車上的人：火車與人的相遇和追及問題解法： 火車車長 ( 總路程 )=( 火車速度人的速度 ) ×迎面錯過的時間（追及的時間）；4、火車 +火車： 一個有長度、有速度，一個也有長度、有速度，（1）錯車問題：相當于相遇問題，解法： 快車車長 +慢車車長 ( 總路程 )=( 快車速度 +慢車速度 ) ×錯車時間；（2）超車問題：相當于追及問題，解法： 快車車長 +慢車車長 ( 總路程 )=( 快車速度 -慢車速度 ) ×錯車時間；二、火車過橋四類問題圖示長度速度方向樹無無無長度速度橋橋長無無

3、火車車長車速同向隊伍長人無人速反向隊伍隊速（間隔，植樹問題）同向車車長車速反向例題 1【提高】長 150 米的火車以 18 米 / 秒的速度穿越一條300 米的隧道那么火車穿越隧道（進入隧道直至完全離開）要多長時間【分析】 火車穿越隧道經(jīng)過的路程為300150450 ( 米 ) ，已知火車的速度，那么火車穿越隧道所需時間為4501825( 秒) 【精英】小胖用兩個秒表測一列火車的車速他發(fā)現(xiàn)這列火車通過一座660 米的大橋需要40 秒，以同樣速度從他身邊開過需要10 秒，請你根據(jù)小胖提供的數(shù)據(jù)算出火車的車身長是米【分析】 火車 40 秒走過的路程是660 米車身長，火車10 秒走過一個車身長，則

4、火車30 秒走 660 米，所以火車車長為6603220 （米）例題 2【提高】四、五、六3 個年級各有100 名學生去春游，都分成2 列（豎排）并列行進四、五、六年級的學生相鄰兩行之間的距離分別是1米、2米、3 米，年級之間相距5 米他們每分鐘都行走90 米，整個隊伍通過某座橋用4 分鐘，那么這座橋長_ 米【分析】 100名學生分成2列，每列50人，應該產(chǎn)生49個間距，所以隊伍長為49149249352304 ( 米 ) ，那么橋長為90430456 (米)【精英】一個車隊以5 米 / 秒的速度緩緩通過一座長200 米的大橋，共用145 秒已知每輛車長5 米，兩車間隔 8 米 問：這個車隊共

5、有多少輛車【分析】 由 “路程 =時間×速度”可求出車隊145 秒行的路程為5×145=725（米） ，故車隊長度為725-200=525（米）再由植樹問題可得車隊共有車（525-5）÷（5+8） +1=41（輛）例題 3【提高】 一列火車通過一座長540 米的大橋需要35 秒以同樣的速度通過一座846 米的大橋需要53 秒這列火車的速度是多少車身長多少米【分析】 火車用 35 秒走了 540 米 +車長； 53 秒走了 846 米 +車長，根據(jù)差不變的原則火車速度是：(846540)(5335)17 ( 米 / 秒) ，車身長是 : 173554055 ( 米

6、) 【精英】一列火車通過長320 米的隧道，用了52 秒，當它通過長864 米的大橋時，速度比通過隧道時提高0.25 倍，結果用了1 分 36 秒 . 求通過大橋時的速度及車身的長度【分析】 速度提高 0.25 倍用時96 秒，如果以原速行駛，則用時96×（ 1+ 0.25 ）=120 秒，（864-320）÷（ 120- 52） =8 米 / 秒，車身長： 52×8 - 320=96 米【拓展 1】已知某鐵路橋長960 米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用100 秒，整列火車完全在橋上的時間為60 秒，求火車的速度和長度【分析】 完全在橋上，

7、60 秒鐘火車所走的路程=橋長車長；通過橋，100 秒火車走的路程=橋長 +車長，由和差關系可得：火車速度為96021006012 （米 / 秒），火車長：9601260240 （米）【拓展 2】一列火車的長度是用 2 分鐘；通過第二個隧洞用800 米，行駛速度為每小時3 分鐘；通過這兩座隧洞共用60 千米， 鐵路上有兩座隧洞. 火車通過第一個隧洞6 分鐘，求兩座隧洞之間相距多少米【分析】注意單位換算 . 火車速度 60×1000÷60=1000（米 / 分鐘） . 第一個隧洞長 1000×2- 800=1200（米），第二個隧洞長 1000×3- 80

8、0=2200（米），兩個隧洞相距 1000×6- 1200 - 2200- 800=1800（米） .【拓展 3】小明坐在火車的窗口位置，火車從大橋的南端駛向北端，小明測得共用時間這座橋有多長，于是小明馬上從鐵路旁的某一根電線桿計時，到第 10 根電線桿用時80 秒爸爸問小明25 秒根據(jù)路旁每兩根電線桿的間隔為50 米，小明算出了大橋的長度請你算一算，大橋的長為多少米【分析】 從第 1根電線桿到第10 根電線桿的距離為：50(101)450 ( 米 ) ，火車速度為：4502518( 米/ 秒 ) ，大橋的長為：18801440 ( 米) 例題 4【提高】兩列火車相向而行，甲車每時行

9、48 千米，乙車每時行60 千米，兩車錯車時，甲車上一乘客從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時開始計時，到車尾經(jīng)過他的車窗共用13 秒問：乙車全長多少米【分析】 390 米提示：乙車的全長等于甲、乙兩車13 秒走的路程之和【精英】一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是 280 米，慢車的車長是見慢車駛過的時間是 11 秒，那么坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少秒385 米坐在快車上的人看【分析】 8 秒提示 : 快車上的人看見慢車的速度與慢車上的人看見快車的速度相同，所以兩車的車長比等于兩車經(jīng)過對方的時間比，故所求時間為112808 （秒）385例題 5【提高】鐵路旁邊有一條小路，一列長為走的一名軍

10、人，15 秒后離他而去，8 點與農(nóng)民何時相遇110 米的火車以30 千米時的速度向南駛去，8 點時追上向南行6 分迎面遇到一個向北行走的農(nóng)民，12 秒后離開這個農(nóng)民問軍人【分析】 8 點 30 分火車每分行30100060500 （米），軍人每分行11（米），農(nóng)民每分行 110 50011（米）500110605504458 點時軍人與農(nóng)民相距（500+50）× 6=3300（米），兩人相遇還需3300÷（ 60+50）=30（分），即 8點 30 分兩人相遇【精英】鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進，行人速度為千米人速度為千米/ 時，這時有一列火

11、車從他們背后開過來，火車通過行人用22 秒，通過騎車人用火車的車身總長是多少/ 時，騎車 26 秒，這列【分析】 行人的速度為千米/ 時 =1 米 / 秒，騎車人的速度為千米/ 時=3 米 / 秒火車的車身長度既等于火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差如果設火車的速度為x 米 / 秒，那么火車的車身長度可表示為（x- 1）× 22或（ x-3）× 26，由此不難列出方程法一：設這列火車的速度是x 米 / 秒，依題意列方程， 得（ x- 1）×22=（ x- 3）×26解得 x=14所以火車的車身長為： （ 14-1）× 22=

12、286（米） 法二：直接設火車的車長是x，那么等量關系就在于火車的速度上可得：x/26+3= x/22+1 ，這樣直接也可以x=286 米法三：既然是路程相同我們同樣可以利用速度和時間成反比來解決兩次的追及時間比是：22：26=11： 13，所以可得：（ V 車 -1）：（ V 車 -3） =13： 11，可得 V 車 =14 米 / 秒，所以火車的車長是（ 14-1）× 22=286（米），這列火車的車身總長為286 米【拓展 4】甲、乙兩輛汽車在與鐵路并行的道路上相向而行，一列長 180 米的火車以車同向前進，火車從追上甲車到遇到乙車，相隔 5 分鐘，若火車從追上到超過甲車用時6

13、0 千米 / 時的速度與甲30 秒從與乙車相遇到離開用時6 秒，求乙車遇到火車后再過多少分鐘與甲車相遇【分析】 由火車與甲、乙兩車的錯車時間可知，甲車速度為60 180 30 3.638.4 千米 / 時乙車速度為18063.66048 千米 / 時，火車追上甲車時，甲、乙兩車相距(60 48)59 千米經(jīng)過609(38.448)606.25 分鐘相遇，那么乙車遇到火車后分鐘與甲車相遇【拓展 5】紅星小學組織學生排成隊步行去郊游，每分步行60 米，隊尾的王老師以每分行150 米的速度趕到排頭，然后立即返回隊尾，共用10 分求隊伍的長度【分析】 630 米設隊伍長為 x米從隊尾到排頭是追及問題，

14、需x分；從排頭返回隊尾是相遇問題，15060需x分由xx10 ，解得 x630 米606015015015060【拓展 6】甲、乙兩人在鐵路旁邊以同樣的速度沿鐵路方向相向而行，恰好有一列火車開來，整個火車經(jīng)過甲身邊用了 18 秒， 2 分后又用 15 秒從乙身邊開過問： （ 1）火車速度是甲的速度的幾倍 （ 2）火車經(jīng)過乙身邊后，甲、乙二人還需要多少時間才能相遇【分析】 （ 1） 11 倍；（2） 11 分 15 秒（ 1）設火車速度為a 米秒，行人速度為b 米秒，則由火車的長度可列方程 18 ab15 ab ，求出 a11 ，即火車的速度是行人速度的11 倍；從車尾經(jīng)過甲b到車尾經(jīng)過乙，火車

15、走了135 秒，此段路程一人走需1350×11=1485（秒），因為甲已經(jīng)走了135秒，所以剩下的路程兩人走還需（1485-135）÷ 2=675（秒）例題 6【提高】快車A車長 120 米，車速是20 米/ 秒，慢車B 車長 140 米，車速是 16 米 / 秒慢車 B 在前面行駛，快車 A 從后面追上到完全超過需要多少時間【分析】 從 “追上”到“超過”就是一個“追及”過程，比較兩個車頭，“追上”時A 落后 B 的車身長，“超過”時A 領先 B ( 領先 A 車身長 ) ，也就是說從“追上”到“超過”，A 的車頭比 B 的車頭多走的路程是：B 的車長A 的車長，因此追及

16、所需時間是：( A 的車長B 的車長 )( A 的車速B的車速)由此可得到，追及時間為：(A車長B車長)(A車速B車速 ) （120140）（2016） 65 ( 秒 ) 【精英】快車長106 米，慢車長74 米，兩車同向而行，快車追上慢車后，又經(jīng)過1 分鐘才超過慢車；如果相向而行，車頭相接后經(jīng)過12 秒兩車完全離開求兩列火車的速度【分析】 根據(jù)題目的條件，可求出快車與慢車的速度差和速度和，再利用和差問題的解法求出快車與慢車的速度兩列火車的長度之和：106+74=180（米）快車與慢車的速度之差：180÷60=3（米）快車與慢車的速度之和： 180÷12=15（米）快車的速

17、度：（ 15+3）÷ 2=9（米）慢車的速度：（ 15-3）÷ 2=6（米）【拓展 7】從北京開往廣州的列車長350 米，每秒鐘行駛22 米，從廣州開往北京的列車長280 米，每秒鐘行駛 20 米，兩車在途中相遇，從車頭相遇到車尾離開需要多少秒鐘【分析】 從兩車車頭相遇到車尾離開時，兩車行駛的全路程就是這兩列火車車身長度之和解答方法是：( A 的車身長B 的車身長 )( A 的車速B 的車速 )兩車從車頭相遇到車尾離開的時間也可以這樣想， 把兩列火車的車尾看作兩個運動物體，從相距 630 米 ( 兩列火車本身長度之和) 的兩地相向而行，又知各自的速度，求相遇時間兩車車頭相遇

18、時，兩車車尾相距的距離：350 280 630 ( 米 ) 兩車的速度和為： 22 20 42 ( 米/ 秒 ) ；從車頭相遇到車尾離開需要的時間為：6304215( 秒 ) 綜合列式： （350280）（2220） 15 ( 秒 ) 例題 7【提高】【精英】有兩列同方向行駛的火車，快車每秒行33 米，慢車每秒行21 米如果從兩車頭對齊開始算，則行 20 秒后快車超過慢車；如果從兩車尾對齊開始算，則行25 秒后快車超過慢車那么，兩車長分別是多少如果兩車相對行駛，兩車從車頭重疊起到車尾相離需要經(jīng)過多少時間慢車慢車慢車慢車快車快車快車快車【分析】 如圖，如從車頭對齊算，那么超車距離為快車車長，為：

19、（3321） 20 240 ( 米)；如從車尾對齊算，那么超車距離為慢車車長，為（3321） 25300(米)由上可知，兩車錯車時間為：（300240）（3321） 10 ( 秒 ) 【拓展 8】甲乙兩列火車，甲車每秒行22 米，乙車每秒行16 米，若兩車齊頭并進，則甲車行30 秒超過乙車; 若兩車齊尾并進，則甲車行26 秒超過乙車 . 求兩車各長多少米【分析】 兩車齊頭并進：甲車超過乙車，那么甲車要比乙車多行了一個甲車的長度. 每秒甲車比乙車多行22-16=6 米， 30 秒超過說明甲車長6×30=180 米兩車齊尾并進：甲超過乙車需要比乙車多行一整個乙車的長度，那么乙車的長度等于

20、6×26=156 米【拓展 9】鐵路貨運調(diào)度站有A、 B 兩個信號燈，在燈旁停靠著甲、乙、丙三列火車它們的車長正好構成一個等差數(shù)列，其中乙車的的車長居中，最開始的時候，甲、丙兩車車尾對齊，且車尾正好位于A 信號燈處，而車頭則沖著B 信號燈的方向乙車的車尾則位于B 信號燈處，車頭則沖著A 的方向現(xiàn)在，三列火車同時出發(fā)向前行駛，10 秒之后三列火車的車頭恰好相遇再過15 秒，甲車恰好超過丙車，而丙車也正好完全和乙車錯開，請問：甲乙兩車從車頭相遇直至完全錯開一共用了幾秒鐘【分析】 秒例題 8【提高】某列車通過 250 米長的隧道用 25 秒，通過 210 米長的隧道用23 秒，若該列車與另

21、一列長150 米.時速為 72 千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘【分析】 根據(jù)另一個列車每小時走72 千米，所以，它的速度為：72000÷3600=20（米/ 秒），某列車的速度為：（ 250-210）÷（ 25-23）=40÷2=20（米 / 秒）某列車的車長為： 20×25 -250=500-250=250（米），兩列車的錯車時間為：（ 250+150）÷（ 20+20）=400÷40=10（秒） 【精英】在雙軌鐵道上，速度為54 千米 / 小時的貨車 10 時到達鐵橋，10 時 1分 24 秒完全通過鐵橋，后來一列速度為 72

22、 千米 / 小時的列車，10 時 12分到達鐵橋，10 時 12分 53 秒完全通過鐵橋，10 時 48 分 56 秒列車完全超過在前面行使的貨車求貨車、列車和鐵橋的長度各是多少米【分析】 先統(tǒng)一單位：54 千米 / 小時15 米/ 秒， 72 千米 / 小時20 米 / 秒，1分 24秒84秒， 48 分 56 秒12分36分 56 秒2216 秒貨車的過橋路程等于貨車與鐵橋的長度之和，為：1584 1260 ( 米) ；列車的過橋路程等于列車與鐵橋的長度之和，為：2053 1060( 米) 考慮列車與貨車的追及問題，貨車10 時到達鐵橋，列車10 時 12 分到達鐵橋，在列車到達鐵橋時，貨

23、車已向前行進了 12 分鐘 (720秒 ) ，從這一刻開始列車開始追趕貨車，經(jīng)過 2216 秒的時間完全超過貨車，這一過程中追及的路程為貨車12 分鐘走的路程加上列車的車長，所以列車的長度為20152216 15 720 280 ( 米 ) ，那么鐵橋的長度為1060 280780 ( 米 ) ，貨車的長度為1260780480(米)【補充1】馬路上有一輛車身長為15 米的公共汽車由東向西行駛，車速為每小時18 千米馬路一旁的人行道上有甲、乙兩名年輕人正在練長跑，甲由東向西跑，乙由西向東跑某一時刻，汽車追上了甲，6 秒鐘后汽車離開了甲； 半分鐘之后， 汽車遇到了迎面跑來的乙； 又過了 2 秒鐘

24、汽車離開了乙 問再過多少秒以后甲、乙兩人相遇車走 30秒車走 6秒乙甲乙二人的甲走 32秒 甲走 6秒甲乙走2秒間隔距離【分析】 車速為每秒： 米 ) ，由“某一時刻，汽車追上了甲，6 秒鐘后汽車離開了甲”，可知這是一個追及過程，追及路程為汽車的長度，所以甲的速度為每秒： （5 6 15） 6 2.5 ( 米 ) ；而汽車與乙是一個相遇的過程，相遇路程也是汽車的長度，所以乙的速度為每秒：（15 5 2） 2 2.5 ( 米 ) 汽車離開乙時，甲、乙兩人之間相距：（52.5）（0.5 60 2） 80 ( 米 ) ，甲、乙相遇時間：80 （2.5 2.5） 16 ( 秒

25、 ) 【補充 2】甲、乙二人沿鐵路相向而行，速度相同，一列火車從甲身邊開過用了8 秒鐘，離甲后5 分鐘又遇乙，從乙身邊開過，只用了7 秒鐘，問從乙與火車相遇開始再過幾分鐘甲乙二人相遇【分析】 火車開過甲身邊用8 秒鐘，這個過程為追及問題：火車長=（ V 車-V 人）× 8；火車開過乙身邊用7 秒鐘，這個過程為相遇問題火車長 =（ V 車 +V 人）× 7. 可得8（ V 車 - V 人） =7（ V 車 +V 人），所以 V 車 =l 5V 人 . 甲乙二人的間隔是：車走308 秒的路 -人走308 秒的路，由車速是人速的15 倍，所以甲乙二人間隔15×308 -

26、308=14×308 秒人走的路兩人相遇再除以2 倍的人速所以得到7×308 秒 =2156 秒練習 1一列長 240 米的火車以每秒30 米的速度過一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1分鐘，求這座橋長多少米【分析】 火車過橋時間為1分鐘60 秒，所走路程為橋長加上火車長為60301800 ( 米 ) ，即橋長(米)練習 2小紅站在鐵路旁，一列火車從她身邊開過用了21 秒這列火車長630 米，以同樣的速度通過一座大橋，用了分鐘這座大橋長多少米【分析】 因為小紅站在鐵路旁邊沒動，因此這列火車從她身邊開過所行的路程就是車長，所以，這列火車的速度為： 63

27、0÷21=30(米/ 秒 ) ，大橋的長度為： 30×× 60)-630=2070( 米 ) 練習 3一列火車長450 米，鐵路沿線的綠化帶每兩棵樹之間相隔3 米，這列火車從車頭到第1棵樹到車尾離開第101棵樹用了 0.5 分鐘這列火車每分鐘行多少米【分析】 第 1棵樹到第101 棵樹之間共有100 個間隔，所以第1棵樹與第101 棵樹相距3100300 ( 米) ，火車經(jīng)過的總路程為：450300750 (米 ) ，這列火車每分鐘行7500.51500 ( 米) 練習 4一列火車長200 米，通過一條長430 米的隧道用了42秒，這列火車以同樣的速度通過某站臺用

28、了25 秒鐘，那么這個站臺長多少米【分析】 火車速度為：（200430） 4215 ( 米 / 秒 ) ，通過某站臺行進的路程為：1525375 ( 米 ) ，已知火車長，所以站臺長為375200175 ( 米)練習 5小新以每分鐘10 米的速度沿鐵道邊小路行走， 身后一輛火車以每分鐘100 米的速度超過他，從車頭追上小新到車尾離開共用時4 秒，那么車長多少米 過了一會，另一輛貨車以每分鐘100 米的速度迎面開來，從與小新相遇到離開，共用時3 秒那么車長是多少【分析】 這是一個追擊過程，把小新看作只有速度而沒有車身長( 長度是零 ) 的火車根據(jù)前面分析過的追及問題的基本關系式：(A 的車身長B 的車身長)(A 的車速B的車速 ) = 從車頭追上到車尾離開的時間，在這里，B 的車身長車長( 也就是小新) 為 0 ，所以車長為：（10010）4360(米)；這