線代代數(shù)課件王繼忠編

1、2022-2-112022-2-12第一章第一章 線性方程組與行列式線性方程組與行列式第二章第二章 矩陣矩陣與線性方程組與線性方程組第三章第三章 向量組的線性相關性向量組的線性相關性第四章第四章 相似矩陣與二次型相似矩陣與二次型第五章第五章* * 線性空間與線性變換線性空間與線性變換2022-2-132022-2-14一二元線性方程組與二階行列式一二元線性方程組與二階行列式22221211212111bxaxabxaxa消去未知數(shù)消去未知數(shù)2x得得212221121122211baabxaaaa消去未知數(shù)消去未知數(shù)1x得得211211221122211abbaxaaaa當當021122211a

2、aaa時，時， 得方程組（得方程組（1）的）的惟一惟一解：解：;211222112122211aaaabaabx.211222112112112aaaaabbax221111baba=22211211aaaa22211211aaaa2212aa21bbDD1DD2主對角線主對角線副對角線副對角線2022-2-15二行二列的數(shù)表：二行二列的數(shù)表：22211211aaaa（2）21122211aaaa稱表達式稱表達式為數(shù)表（為數(shù)表（2）所確定的）所確定的二階行列式二階行列式，記作記作22211211aaaa即即2 , 1; 2 , 1jiaij元素：元素：2112221122211211aaaaa

3、aaai行標：行標：j列標：列標：對角線法則對角線法則特點：特點：（1）兩行兩列；）兩行兩列； （2）含兩項）含兩項(2!)的代數(shù)式；的代數(shù)式；（3）每一項都是取自不同行不同列的元素的乘積；）每一項都是取自不同行不同列的元素的乘積；（4）一正一負。）一正一負。2022-2-16例例1： 求解二元線性方程組求解二元線性方程組1212232121xxxx解：解：1223D, 0743112121D,14121232D,21DDx11, 2DDx22. 3系數(shù)行列式系數(shù)行列式2022-2-1711 1122133121 1222233221 12223333a xa xa xba xa xa xba

4、 xa xa xb二二三元線性方程組與三元線性方程組與三階行列式三階行列式用消元法，當用消元法，當11223323 321221 3323 311321 3222310aa aa aaa aa aaa aa a時時,方程組的解可以表示為方程組的解可以表示為1223323321223323 31323222 31112233233212213323311321322231b a aa aab aa bab aa bxaa aa aaa aa aaa aa a1123323 31213323311321 32312112233233212213323311321322231ab aa bb a a

5、a aaa bb axaa aa aaa aa aaa aa a1122 32321221 32311213222313112233233212213323311321322231aa bb aaa bb ab a aa axaa aa aaa aa aaa aa a2022-2-18定義：三階行列式定義：三階行列式333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa主對角線主對角線副對角線副對角線對角線法則對角線法則322113312312332211aaaaaaaaa特點：特點：（

6、1）三行三列；）三行三列； （2）含六項）含六項(3!)的代數(shù)式；的代數(shù)式；（3）每一項都是取自不同行不同列的元素的乘積；）每一項都是取自不同行不同列的元素的乘積；（4）三正三負。）三正三負。112233233212213323311321322231aa aa aaa aa aaa aa a111213212223313233aaaaaaaaa記記2022-2-1911 1122133121 1222233221 12223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb333231232221131211aaaaaaaaa333232322213121aabaabaab1

7、x2x3x333231232221131211aaaaaaaaa333312322113111abaabaaba333231232221131211aaaaaaaaa332312222111211baabaabaa1;DD2;DD3.DD1112132122233132330aaaaaaaaa由消元法可得：由消元法可得：方程組有惟一解方程組有惟一解2022-2-110計算三階行列式計算三階行列式解：解： D1242213421 22 例例2： 312 4)2()4( 411 )2()2(2 )3(2)4( D4 )6( 32 4 8 24 14 練習：000 xyxzyzabcbcacab0,

8、3333.abcabc2022-2-111求解方程求解方程094321112xx解：解：29432111xx23xx418x922x12652xx023.xx或對角線法只適合于二階或三階行列式。對角線法只適合于二階或三階行列式?！咀ⅰ俊咀ⅰ坷?：2022-2-112解：解：61233P由由 1,2,n 組成的一個有序數(shù)組組成的一個有序數(shù)組,稱為一個排列稱為一個排列 12321nnnPn!n逆序逆序: :按自然序排列，如按自然序排列，如標準次序標準次序: :排列排列 ：2 , 3為一個逆序為一個逆序用用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)

9、？三位數(shù)？例：例：123； 132；213； 231； 312； 321。123-標準序標準序 132；排列數(shù)排列數(shù) -6-6個排列個排列一、排列以及逆序數(shù)一、排列以及逆序數(shù) 在在 n 個元素個元素的任一排列中，的任一排列中，當某兩個元素的先后當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就次序與標準次序不同時，就說有說有1個個逆序逆序.例如：例如：2022-2-113逆序數(shù)為奇逆序數(shù)為奇 數(shù)的排列叫做數(shù)的排列叫做奇奇 排列排列。（偶）（偶）（偶）（偶）計算排列的逆序數(shù)的方法：計算排列的逆序數(shù)的方法：不妨設不妨設 n 個元素為個元素為1至至 n 這這 n 個自然數(shù)，個自然數(shù)，并規(guī)定由小到大為并規(guī)定由

10、小到大為標準次序。標準次序。 設設nppp21為這為這 n 個自然數(shù)的一個排列，個自然數(shù)的一個排列， 考慮元素考慮元素 nipi, 2 , 1 ， 若比若比ip大的大的前面的元素有前面的元素有且排在且排在ipi個，個，就說就說ip這個元素的逆序數(shù)是這個元素的逆序數(shù)是,i全體元素的逆序數(shù)之和全體元素的逆序數(shù)之和就是這個排列的逆序數(shù)。就是這個排列的逆序數(shù)。逆序數(shù)逆序數(shù): 一個排列中所有逆序的總數(shù)一個排列中所有逆序的總數(shù) 1223nnp pp2022-2-114例例4： 求排列求排列6342751和和1342756的逆序數(shù)。的逆序數(shù)。解：解：3的逆序數(shù)的逆序數(shù)2的逆序數(shù)的逆序/p>

11、21的逆序數(shù)的逆序數(shù)2的逆序數(shù)的逆序數(shù)奇排列奇排列偶排列偶排列,13620311)6342751(. 4110200)1342756(2022-2-115練習練習： 求下列各排列的逆序數(shù)求下列各排列的逆序數(shù)（1）n (n-1) (n-2)3 2 1t =0+1+2+(n-2)+(n-1)2)1( nn（2）1 3 (2n-1) 2 4 (2n-2) 2n t = (n-1)+(n-2)+ +12)1( nn（3）1 3 (2n-3) (2n-1) 2n (2n-2) (2n-4) 2 t = 2+4+6+ +2(n-1)1( nn2022-2-116定理定理1 1： 一個排列中的任意兩個元素對

12、換，排列改變奇偶性。證證先證明相鄰對換的情形先證明相鄰對換的情形設排列為設排列為 laa 1abmbb 1, ba a 的逆序數(shù)增加的逆序數(shù)增加1, , ba b 的逆序數(shù)減少的逆序數(shù)減少1, balaa 1mbb 1與與的奇偶性不同的奇偶性不同.balaa 1mbb 1laa 1abmbb 1相鄰對換相鄰對換mlbbaa,;,11 逆序數(shù)不變。逆序數(shù)不變。顯然顯然ba,的逆序數(shù)改變：的逆序數(shù)改變：而而b 的不變的不變a 的不變的不變6 3 4 2 7 5 1 1 3 4 2 7 5 6 對換對換 相鄰對換相鄰對換 二、對換二、對換 6 3 4 2 7 5 1 6 3 2 4 7 5 1 20

13、22-2-117定理定理1 1： 一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性。推論：推論：標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。奇排列調成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調成5 4 2 3 115243(3,5)（奇）（偶）45213(1,4)（奇）次 12m所以這兩個排列的奇偶性相反。所以這兩個排列的奇偶性相反?？傊?，總之，次 1m設排列為設排列為laa 1mbb 1abncc 1laa 1abmbb 1ncc 1laa 1mbb 1abncc 1laa 1mbb 1abncc 1laa 1mbb 1abncc 1次m相鄰對換相鄰對換再證一般情形再證一般情形 2022-2-11833323123222

14、1131211aaaaaaaaa322113312312332211aaaaaaaaa(1)每一項都是位于不同行、不同列三個元素的乘積；每一項都是位于不同行、不同列三個元素的乘積；(2)當行標按標準序，則各項的正負號為當行標按標準序，則各項的正負號為321321pppaaa帶正號的三項的列標排列是：帶正號的三項的列標排列是：123、231、312帶負號的三項的列標排列是：帶負號的三項的列標排列是：132、213、321偶排列偶排列奇排列奇排列1231231231p p ppppaaa分析：分析：共共3!項項可記為可記為3211pppt312213332112322311aaaaaaaaa 11

15、1213212223313233aaaaaaaaa2022-2-119111212122212nnnnnnaaaaaaaaadetija1 212121nnp ppppnpa aa(1) 含有含有 n! 項的代數(shù)和；項的代數(shù)和；(2) 每一項每一項nnpppaaa2121都是位于不同行、不同列都是位于不同行、不同列的的n個元素的乘積；個元素的乘積；(3) 各項的符號為各項的符號為1 21np ppdeterminant2022-2-120(1)當當 n = 1時，時，一階行列式一階行列式 。aa 注意注意1例例:1(2)n 階行列式也可以定義為階行列式也可以定義為12121nppp nDaaa

16、nppp21為行標排列為行標排列的逆序數(shù)。的逆序數(shù)。2022-2-121例例1：計算：計算dcba000000000000000000000000dcbaabcd (4321)( 1)abcd abcd 1 2 3 4123412341p p p pppppa a a a, 11p, 22p. 44p, 33p, 41p, 32p. 14p, 23p2022-2-12200000000abcdDefgh例例2：計算：計算Dacfhadehbdegbcfg解解D是一個是一個4!=244!=24項的代數(shù)和項的代數(shù)和.,acfh,adehbdeg, bcfg在這在這2424項中項中, ,除了除了其余

17、的項都至少含有一個其余的項都至少含有一個0 0因子因子, ,因而為因而為0.0.這四項之外這四項之外, 上面四項的行標都是按標準序排列上面四項的行標都是按標準序排列,列標依次為列標依次為:1234,1324,4321,4231.其中第一個和第三個是偶排列其中第一個和第三個是偶排列,第二和第四個是奇排列第二和第四個是奇排列.所以所以2022-2-123111212221122nnnnnnaaaaaDa aaa0上三角行列式上三角行列式展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是1212121.nnp ppppnpaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項只

18、有所以不為零的項只有.2211nnaaa11121222000nnnnaaaaaa1211 221nnna aa 11 22.nna aa證證 例例3 由于由于i j時，有時，有 ，則，則 0ija 2022-2-12412, 11, 2121112, 11 , 11, 2222111, 112111000000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa同理：同理：次上三角行列式次上三角行列式 12, 11, 21211nnnnnnaaaa2022-2-125作為上三角和次上三角行列式的特例作為上三角和次上三角行列式的特例對角對角行列式行列式 1212; nn 112212 1.n

19、nnn 次對角次對角行列式行列式 2022-2-126例例4 計算計算nnDn00000000100200010001232100010002001!100000000nnnnDnnn 解解 1221!nnn 2022-2-127已知已知 ,1211123111211xxxxxf.的系數(shù)的系數(shù)求求3x例例5解解 1211123111211xxxxxf 對應于對應于1234112234431a a a a 112233441a a a a3112233441,a a a ax123431122344312a a a ax . 13 的系數(shù)為的系數(shù)為故故 x含含 的項有兩項的項有兩項,即即3x含含

20、 的項有兩項的項有兩項,即即3x含含 的項有兩項的項有兩項,即即3x2022-2-1285245312314aaaaa4514235231aaaaa4514523123aaaaa例例6：在五階行列式中，項在五階行列式中，項應取什么符號？應取什么符號？431521116352141116解：解：應取正號應取正號（1）（2）應取正號應取正號2022-2-129nnniiiniiiiiinnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211) 1(行列式的定義又可記為：行列式的定義又可記為： 2022-2-130性質性質1 1 行列式與它的轉置轉置行列式相等，TDD 即即n

21、nnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212221212111轉置行列式轉置行列式 TD2022-2-131性質性質2 2 互換行列式的兩行（列），行列式變號。98764253131cc 789246135columnrow49253174349274353121rr 例：例：推論推論 如果行列式有兩行（列 )完全相同，則此行列式 等于零。1D行行列列式式為為換換行行，并并設設換換行行以以后后的的1DD D2022-2-132性質性質3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一同一數(shù)數(shù) k, ,等于用數(shù)等

22、于用數(shù) k 乘此行列式。乘此行列式。例：例：9878613532319878615213推論推論1 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號外面。9478315116公因子可提出推論推論2 2 行列式如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式的值等于零。例例:987642321091476423210推論推論3 3 行列式如果有一行（列）元素為零，則此行列式的值等于零。2022-2-133性質性質4 4 若若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,如：,2122222211111211nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD則 D 等于下列兩個行列式之和：n

23、nninnniniaaaaaaaaaaaaD21222221111211.21222221111211nnninnniniaaaaaaaaaaaa2022-2-134 nnpiipiippnpipptaaaaD)(1111npippppptniniaaa1111npippppptniniaaa1111876543642531753642531864642531754364325321753642531754643532例例:2022-2-135例例 計算行列式計算行列式5000114001113011111111112 D解解將行列式按第一列拆開將行列式按第一列拆開:5000114001113

24、011111111112 D5000114001113011111111111 5000014000113001111011111 0 60 60 2022-2-136性質性質5 5 把把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)，然后加到另一行(列)對應的元素上去，行列式不變。如nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111jikcc nnnjnnjnjaaaaaaaaa122211111 njnijijikaakaakaa2211k 2022-2-137例：例：987642211987211122rr 022987642211132cc 87 42 11025第一行乘

25、以-2加到第二行上去第一列乘以-2加到第三列上去2022-2-138計算計算3351110243152113D例例1：解解:D12cc 12rr 648072160 33151120435121311120213132rr 72160648011202131234rr 248rr 11202131 10800 1510003445rr 108001120213125000 40145rr 注：計算數(shù)字行列式，一個重要的方法就是將其 化為上（下）三角形行列式。2022-2-139解解:D4321rrrr311113111131666661r3111131111311111612rr 111161

26、3rr 14rr 00020200200048計算計算3111131111311113D例例2：nabbbbabbDbbabbbba abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1( .)() 1(1 nbabna2022-2-140dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba361036323423212rr 13rr 14rr baabaacbabaadcba373002000343rr abaacbabaadcba00020004a232rr 243rr cbabaacbabaacbabaadcba361036302342320

27、0例例3： 計算計算解：解：D2022-2-14123rr 另解：另解：dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba361036323423234rr dcbacbabaadcbacbabaadcba2342320aba 3cba36cbabaadcbacbabaadcba3630cba 230aba 212rr cbabaacbabaadcba36302320cbabaa 0即：自第3行開始，自下往上每行都乘以-1后，加到下一行。2022-2-142dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcba361036323423234rr 23rr 12r

28、r 34rr 23rr 12rr dcbacba 0aba 3cba36cba 230aba 2 0 ba acbabaadcba0baa3 00baa2 0034rr baacbabaadcba2000a 0 004a34rr 23rr 2022-2-143例例4 設設nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD1111111111110,det ,det1111211111nnnnijkkkkijbbbbbDaaaaaD證明：證明：.21DDD 任何任何n階行列式總能利用階行列式總能利用行列式的行列式的行（列）行（列）變換變換化為化為上（下）三角形行列式。上（下）三角形行列式。注注：

29、2022-2-144證：證：對 作行變換r,1D把 化為下三角形行列式：1DkkkpppD11110kkppp2211對 作列變換c,2D把 化為下三角形行列式：2DnnnqqqD11120nnqqq2211nnnnknkkkkqqccqccppp11111111110nnqqq2211.21DD對 的前 k 行作行變換r,D對后 n 列作列變換c,nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD11111111111101D2Dkkppp22112022-2-145例如：例如：1206803297213210002300012 D2312 120032213 )34( )289( .15

30、2022-2-146余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式在在 n 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 i 行和行和ija留下的留下的 n-1階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，ija記作記作 ；ijM記記 ijjiijMA 1ijA叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式.ija如如 32M,444341242321141311aaaaaaaaa 32A444341242321141311aaaaaaaaa 231 第第j列劃去后，列劃去后，444342413433312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaD 32a.4443412

31、42321141311aaaaaaaaa 2022-2-14762275332121M6232, 6例如. 6) 1(211221MA代數(shù)余子式乘積之和。ijnjijAa 1ijniijAa 1ni, 2 , 1nj, 2 , 1或行列式按行（列）展開法則行列式按行（列）展開法則njnjjjjjAaAaAaD 2211例如ininiiiiAaAaAaD 22113DjjjAa2312 232322222121AaAaAa展開按第二行定理定理1 1 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的2022-2-148,00212222111nnnnnaaaaaaaD 1111MaD 又又11A 11

32、11111MM 從而從而1111AaD 證證ininiiiiAaAaAaD 2211（先特殊，再一般）（先特殊，再一般）分三種情況討論，我們只對行來證明此定理。分三種情況討論，我們只對行來證明此定理。(1)假定行列式假定行列式D的第一行除的第一行除11a外都是外都是 0 。2022-2-149nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 先將先將 調換到第一行，調換到第一行，ija調換次數(shù)為調換次數(shù)為 i-1, 再將再將 調換到第一列，調換到第一列，ija調換次數(shù)為調換次數(shù)為 j-1次，次，nnnjnnjijiaaaaaaa11111100)1( nnnnjnjijjiaaaaaaa111

33、111100) 1() 1( ijijjiMa 112)1()1(ijijjiMa )1(ijijAa (2)設設 D 的第的第 i 行除了行除了ija外都是外都是 0 。2022-2-150(3)一般情形一般情形nnnniniinaaaaaaaaaD212111211 nnnniniinaaaaaaaaa212111211000000 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 22112022-2-151例例1：計算：計算05320041400132025271

34、02135解：解： 50532004140013202527102135c53204140132021351252 532414132152111c21312 231 10072066rrrr 108066272101c2022-2-152例例2：計算：計算3351110243152113D解：解：D312cc 35 1031 115110534cc 1100055111111513312rr0550261155526131 4025562022-2-153例例3： 計算計算解解按第一行展開nD2dcdcdcbababaDn20000ddcdcbaba0000000000000121cdcdc

35、bababn000ab12ndD121121nncD a1112022-2-15412nadD121121nncDb12nDbcad222nDbcad121nnnDbcad21Dbcadndcbabcadn 1nbcad nD22022-2-155例例4 計算計算 n 階行列式階行列式. 212121nnnnaxaaaaxaaaaxD 解解nnnaxaaaaxaaaax212121nD naaa 1 21000行行減減第第一一行行第第i1, 2 ninaaa211 0 0 1x 0 0 1x x 0 0 1 箭形行列式箭形行列式 1211njjcxc xxxaaan00000021 njjxa

36、11000 njjnxax11將將 Dn 加邊加邊, 構成一個構成一個n+1階的行列式階的行列式0 0 Dx時，時，當當2022-2-156例例5. 證明證明jijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxD1112112222121111證：證： 用數(shù)學歸納法證。 當 n=2 時，21211xxD 12xx jijixx 12顯然成立?，F(xiàn)假設對于n-1階范德蒙德行列式成立，2322213213111xxxxxxD 例13xx 12xx 后面減前面Vandermonde行列式行列式23xx 2022-2-157112112222121111 nnnnnnxxxxxxxxx 111101222xx

37、xn1323xxxn12xxxnnn00122xxx133xxx1xxxnn12xx 13xx 1xxn 11312xxxxxxn 223222232232111 nnnnnnxxxxxxxxx 11312xxxxxxn jijinxx 2 jijinxx 1證畢11 nnrxr211 nnrxr112rxr 213rxr 2022-2-1581111111111naaanaaanaaaDnnnnnnn)()()()(例例6nnnnnnnnnaaanaaanaaa)()1()()1(1111)1(1112)1(nnnnnnaanaaanaaana)1()()1()(1111111nijji0)

38、()()(jaia)(ji 2022-2-159jninjijiAaAaAa 2211ininiiiiAaAaAa 2211 0 D ?推論推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即02211jninjijiAaAaAa02211njnijijiAaAaAaji ji 即即 .,0,1ikikDAansisks當當.,0,1jljlDAanssjsl當當和和 2022-2-160證：證：nnnjnjininaaaaaaaa111111行展開按第jjnjnjjjjAaAaAa2211jninjijiAaAaAa 2211nnnininaaaaaa1111

39、1iniaa1 0同理可證列的情形。2022-2-161例例7：設：設,3142313150111253 D解：解：12cc 011511222)1(33 5220113 4 14131211AAAA 41312111MMMM 求求及及 14131211AAAA3142313150111111 31rr 0011313150112022 34rr 001521202 2022-2-162 41312111MMMM41312111AAAA 312 rr 311501121)1( 0 3141313150111251 34rr 311501501 0010313150111251 2022-2-1

40、63n元一次線性方程組11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnna xa xa xba xa xa xba xaxaxb(1) 對于方程組(1),若 不全為零,則稱(1)為; 若 , 即 mbbb,21021mbbb11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax (2) 稱(2)為. 2022-2-164n元一次線性方程組nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(3)如果線性方程組（3）的系數(shù)行列式0212222111211nnnnnnaa

41、aaaaaaaD那么，方程組有唯一解：. , , ,2211DDxDDxDDxnn （證略）克萊姆法則克萊姆法則2022-2-165例例1： 解線性方程組解線性方程組. 0674 , 52 2 , 96 3 , 8 5 243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512D212rr 21206031 07513127 7 024rr 12772121357 212cc 232cc 2733. 027 7157032032022-2-16667012150609115822D,10860412520693118123D,27,2707415120903185124D, 311DDx6741 2120 6031 1512 D1D0598=81, 422DDx, 133DDx144DDx2022-2-167如果（3）無解或有兩個不同的解，則D=0推論推論nnnnnnnnnnbxaxaxab