考研結(jié)構(gòu)力學(xué)必看精華總結(jié)第10章 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算

1、第10章 結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算 10-2 10-2 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)10-3 10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)10-4 10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響阻尼對(duì)振動(dòng)的影響10-5 10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)10-6 10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)10-7 10-7 小結(jié)小結(jié) 10-1 10-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度10-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)若荷載對(duì)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響與靜荷載相比相差甚微若荷載對(duì)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響與靜荷

2、載相比相差甚微 按靜荷載考慮；按靜荷載考慮；若荷載對(duì)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響與靜荷載相比相差甚大若荷載對(duì)結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的影響與靜荷載相比相差甚大 按動(dòng)荷載考慮按動(dòng)荷載考慮. .動(dòng)荷載與靜荷載的區(qū)別動(dòng)荷載與靜荷載的區(qū)別動(dòng)荷載動(dòng)荷載( (大小、方向、作用位置）隨時(shí)間變化。大小、方向、作用位置）隨時(shí)間變化。動(dòng)力計(jì)算與靜力計(jì)算的區(qū)別動(dòng)力計(jì)算與靜力計(jì)算的區(qū)別(1)(1)平衡方程中包括慣性力。平衡方程中包括慣性力。(2)(2)平衡方程是瞬間平衡平衡方程是瞬間平衡, ,荷載和內(nèi)力都是時(shí)間的函數(shù)荷載和內(nèi)力都是時(shí)間的函數(shù)2004年8月10-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度2 動(dòng)荷載的分類動(dòng)荷載的分類典型的周期荷載是典型的周期

3、荷載是簡(jiǎn)諧荷載。機(jī)器轉(zhuǎn)簡(jiǎn)諧荷載。機(jī)器轉(zhuǎn)動(dòng)部分引起的荷載動(dòng)部分引起的荷載屬于簡(jiǎn)諧荷載屬于簡(jiǎn)諧荷載第一類第一類周期荷載：周期荷載：荷載隨時(shí)間作周期性的變化。荷載隨時(shí)間作周期性的變化。tP( )F tPFt簡(jiǎn)諧荷載：可用正弦或余弦函數(shù)表示簡(jiǎn)諧荷載：可用正弦或余弦函數(shù)表示非簡(jiǎn)諧性的周期荷載非簡(jiǎn)諧性的周期荷載2004年8月10-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度各種爆炸荷載屬于這一類各種爆炸荷載屬于這一類第二類第二類沖擊荷載：沖擊荷載：荷載在很短的時(shí)間內(nèi)急劇增大或減小。荷載在很短的時(shí)間內(nèi)急劇增大或減小。tPFtrP( )F ttPFtd2004年8月10-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度地震荷載和風(fēng)荷載是隨機(jī)

4、荷載的典型例子地震荷載和風(fēng)荷載是隨機(jī)荷載的典型例子第三類第三類隨機(jī)荷載：隨機(jī)荷載：荷載在將來任一時(shí)刻的數(shù)值荷載在將來任一時(shí)刻的數(shù)值 無法事先確定。無法事先確定。某次地震波時(shí)程某次地震波時(shí)程2004年8月10-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度3 動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度動(dòng)力計(jì)算中體系的自由度自由度自由度: :為了確定運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻全部質(zhì)量的位為了確定運(yùn)動(dòng)過程中任一時(shí)刻全部質(zhì)量的位 置所需確定的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目置所需確定的獨(dú)立幾何參數(shù)的數(shù)目. .動(dòng)力體系的簡(jiǎn)化方法動(dòng)力體系的簡(jiǎn)化方法第一、集中質(zhì)量法第一、集中質(zhì)量法2004年8月10-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度2004年8月10-1 動(dòng)力計(jì)算的

5、特點(diǎn)和動(dòng)力自由度自由度的個(gè)數(shù)與集中質(zhì)量的個(gè)數(shù)不一定相等自由度的個(gè)數(shù)與集中質(zhì)量的個(gè)數(shù)不一定相等一個(gè)集中質(zhì)量，兩個(gè)自由度一個(gè)集中質(zhì)量，兩個(gè)自由度2004年8月10-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度第二、廣義質(zhì)量法第二、廣義質(zhì)量法 1sinkkk xy xal具有分布質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁的撓度曲線。具有分布質(zhì)量的簡(jiǎn)支梁的撓度曲線。通常只取級(jí)數(shù)的前通常只取級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)。項(xiàng)。 2112nny xxaa xa x2004年8月10-1 動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和動(dòng)力自由度第三、有限元法第三、有限元法 11124748y xyxxyxx 1 振動(dòng)方程的建立 0my tky t剛度法剛度法 體系在慣性力作用下處于體系在慣性力作用

6、下處于動(dòng)態(tài)平衡。動(dòng)態(tài)平衡。柔度法柔度法 質(zhì)體的動(dòng)位移等于質(zhì)體在慣性力作用下的靜位移。質(zhì)體的動(dòng)位移等于質(zhì)體在慣性力作用下的靜位移。 my ty tmy tk 10-2單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)10-2 單自由度體系的自由振動(dòng)2 振動(dòng)方程的解將振動(dòng)微分方程改寫為將振動(dòng)微分方程改寫為 20 y ty tk m 0000yyyv代入初始條件代入初始條件通解通解tCtCysincos21得動(dòng)位移為得動(dòng)位移為tvtytysincos)(0010-2 單自由度體系的自由振動(dòng)由由y0引起的引起的由由v0 引起的引起的總位移總位移10-2 單自由度體系的自由振動(dòng)將動(dòng)位移表達(dá)式改寫成單項(xiàng)式將動(dòng)位

7、移表達(dá)式改寫成單項(xiàng)式初始相位角初始相位角( )siny tat2200vay100tanyv 振幅振幅（amplitude of vibration）10-2 單自由度體系的自由振動(dòng)3 3 結(jié)構(gòu)的自振周期和圓頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和圓頻率 （natural period and natural circular frequency ）周期周期2T頻率頻率12fT圓頻率圓頻率完成一次振動(dòng)需要的時(shí)間完成一次振動(dòng)需要的時(shí)間單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)22個(gè)單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)個(gè)單位時(shí)間內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)22fT幾個(gè)定義幾個(gè)定義yat10-2 單自由度體系的自由振動(dòng)計(jì)算公式的幾種形式

8、計(jì)算公式的幾種形式 1 21k 3mW g st4W2Tm k2Tm2TWgst2Tgk m1mg Wstg10-2 單自由度體系的自由振動(dòng)自振周期的特性自振周期的特性（1）自振周期只與體系的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外界因素?zé)o關(guān)。）自振周期只與體系的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外界因素?zé)o關(guān)。（2）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，與剛度的平方根成反比。）自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，與剛度的平方根成反比。（3）自振周期相近的體系，動(dòng)力性能基本一致。）自振周期相近的體系，動(dòng)力性能基本一致。10-2 單自由度體系的自由振動(dòng)例題例題1 求圖示求圖示 簡(jiǎn)支梁的自振周期和圓頻率簡(jiǎn)支梁的自振周期和圓頻率解解對(duì)于豎向振動(dòng)，柔度

9、系數(shù)為對(duì)于豎向振動(dòng)，柔度系數(shù)為348lEI32248mlTmEI3148EImlm10-2 單自由度體系的自由振動(dòng)例題例題10-2 求圖示懸臂桿的水平和豎向振動(dòng)時(shí)的自振周期求圖示懸臂桿的水平和豎向振動(dòng)時(shí)的自振周期解解（1）水平振動(dòng)）水平振動(dòng)3st3WlEI 當(dāng)桿頂作用水平力當(dāng)桿頂作用水平力W時(shí)，桿時(shí)，桿頂?shù)乃轿灰茷轫數(shù)乃轿灰茷?23WlTEIg（2）豎向振動(dòng)）豎向振動(dòng) 當(dāng)桿頂作用豎向力當(dāng)桿頂作用豎向力W時(shí)，桿頂?shù)臅r(shí)，桿頂?shù)呢Q向位移為豎向位移為stWlEA2WlTEAg10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)1 簡(jiǎn)諧荷載 Pmy tky tFt剛度法剛度法 體系在體系在慣性力和動(dòng)荷載慣性力和動(dòng)荷載的

10、的 共同作用下處于共同作用下處于動(dòng)態(tài)平衡。動(dòng)態(tài)平衡。將振動(dòng)微分方程寫成將振動(dòng)微分方程寫成 2sinFy ty ttmP( )sinF tFt二階常系數(shù)非齊次方程二階常系數(shù)非齊次方程10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) 12sincosy tCtCt齊次通解齊次通解將特解代入方程將特解代入方程,得得22()FAm非齊次特解非齊次特解 *sinytAt全解為全解為 1222*sincossinFy ty tytCtCttm10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)代入初始條件代入初始條件 2122000;00FyCyCm 2222sinsinFFy tttmm 瞬態(tài)振動(dòng)瞬態(tài)振動(dòng)由于阻尼的存在很快消失由于阻尼的存

11、在很快消失穩(wěn)態(tài)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特解特解10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)stsinyt 22sinsinFy tAttm222sin(1)Ftm2211FkstAy動(dòng)荷載幅值當(dāng)作靜載動(dòng)荷載幅值當(dāng)作靜載作用時(shí)質(zhì)體的位移作用時(shí)質(zhì)體的位移st2FFyFmk2st211Ay動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)動(dòng)力系數(shù)的討論動(dòng)力系數(shù)的討論01 ，荷載變化比較慢，可按靜載處理。荷載變化比較慢，可按靜載處理。011，動(dòng)力系數(shù)隨頻率比增加而增加。動(dòng)力系數(shù)隨頻率比增加而增加。1 ，產(chǎn)生共振。產(chǎn)生共振。 但振幅不會(huì)一下增加到很大。但振幅不會(huì)一下增加到很大。1動(dòng)力系數(shù)的絕對(duì)值隨頻率比增

12、大而減小。動(dòng)力系數(shù)的絕對(duì)值隨頻率比增大而減小。10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)例10-3 已知：跨度l=4m，慣性矩 I=7480cm4，截面系數(shù)W=534cm3 ，彈性模量E=2.1105MPa。電動(dòng)機(jī)重量G=35kN，轉(zhuǎn)速n=500r/min，離心力FP=10kN，豎向分力FPsint。試求梁動(dòng)力系數(shù)和最大正應(yīng)力。解解（1）自振圓頻率）自振圓頻率3st4242-134848 2.1 10 kN/cm7480cm980cm/s57.4s35kN400cmgEIgGl（2）荷載頻率）荷載頻率125002 3.141652.3s6060s10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)（3）求動(dòng)力系數(shù)）求動(dòng)力系

13、數(shù)22-1-1115.8852.3s1157.4s（4）求跨中最大正應(yīng)力）求跨中最大正應(yīng)力PPmax344435kN 5.88 10kN400cm175.6MPa4 534cmGFlF lGlWWW10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)2 2 一般動(dòng)荷載：一般動(dòng)荷載：將動(dòng)荷載分成一系列瞬時(shí)沖量將動(dòng)荷載分成一系列瞬時(shí)沖量 0Pdd ( )sinsinvFy tttm P0dFvm（1）在）在時(shí)刻瞬時(shí)沖量時(shí)刻瞬時(shí)沖量 PdSF的作用下質(zhì)體獲得速度的作用下質(zhì)體獲得速度（2）質(zhì)體以這個(gè)速度作為初速度）質(zhì)體以這個(gè)速度作為初速度,開始開始 作自由振動(dòng)作自由振動(dòng)t時(shí)刻的動(dòng)位移為時(shí)刻的動(dòng)位移為 P01( )sind

14、ty tFtm（3）將時(shí)刻）將時(shí)刻t之前的每一個(gè)瞬時(shí)沖量的反應(yīng)進(jìn)行疊加之前的每一個(gè)瞬時(shí)沖量的反應(yīng)進(jìn)行疊加dt PF ttt10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)0000P0001cossin( )sintyvvyyttFtdm若則 P01( )sindty tFtm零初始條件下，單自由度體系在任意荷載下的動(dòng)位移公式零初始條件下，單自由度體系在任意荷載下的動(dòng)位移公式杜哈梅積分杜哈梅積分(Duhamel)10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)（1 1）突加荷載）突加荷載P02(1cos)(1cos)stFytmytmax ( )2sty ty質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置作簡(jiǎn)質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，動(dòng)力系數(shù)為諧

15、振動(dòng)，動(dòng)力系數(shù)為突加荷載引起的最大位移突加荷載引起的最大位移是靜位移的是靜位移的2倍。倍。10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)（2 2）短時(shí)荷載）短時(shí)荷載 stst(1cos)02sinsin()22yttuy tuuyttu2sin1 221 2u Tu Tu T10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)（3 3）線性漸增荷載）線性漸增荷載strrstrrr1sin11sinsintyttttyytttttt10-3 單自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng) 1 1 22；如果升載時(shí)間很短如果升載時(shí)間很短( ( tr 4 4T T) )， 接近接近1 1，相當(dāng)于靜荷載。相當(dāng)于靜荷載。 動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜01.02

16、.03.04.0rtTtrFP010-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響阻尼的幾種情況阻尼的幾種情況阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度成正比，稱為粘滯阻尼力；阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度成正比，稱為粘滯阻尼力；阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比，固體在流體中阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比，固體在流體中 運(yùn)動(dòng)受到的阻力屬于這一類；運(yùn)動(dòng)受到的阻力屬于這一類；阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)，摩擦力屬于這一類；阻尼力與質(zhì)點(diǎn)速度無關(guān)，摩擦力屬于這一類；10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響1 有阻尼的自由振動(dòng)0mycyky( )ty tCe220yyyk m2cm2220其解為其解為2110-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響 12ty tCC t e這兩種

17、情況下的動(dòng)位移這兩種情況下的動(dòng)位移具有衰減的性質(zhì)具有衰減的性質(zhì),不具有波動(dòng)的性質(zhì)不具有波動(dòng)的性質(zhì).(2)1臨界阻尼臨界阻尼(1)1高阻尼高阻尼 1212tty tC eC e21,210 阻尼過大阻尼過大,由于外界干擾積聚的能量均用于由于外界干擾積聚的能量均用于消耗阻尼，沒有多余的能量再引起的振動(dòng)消耗阻尼，沒有多余的能量再引起的振動(dòng)r2ccm臨界阻尼臨界阻尼10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響(3)1低阻尼低阻尼2r1ri rsintyeat200202r0r00tanvyayyvy10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響1lnlnlnlnkktkTktTkky tyeeTyy tTe阻尼越大阻尼越大,衰減速度越快衰

18、減速度越快11ln2kkyy振幅的對(duì)數(shù)衰減率振幅的對(duì)數(shù)衰減率1ln2kknyny或或通過實(shí)測(cè)振幅通過實(shí)測(cè)振幅,可以測(cè)定阻尼比可以測(cè)定阻尼比2r1影響小影響小,可以忽略可以忽略阻尼對(duì)自振特性的影響阻尼對(duì)自振特性的影響阻尼對(duì)振幅的影響阻尼對(duì)振幅的影響10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響2 有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng) rPrrr0dd ( )sinsinttvFy ttteme P0dFvm（1）在）在時(shí)刻瞬時(shí)沖量時(shí)刻瞬時(shí)沖量 PdSF的作用下質(zhì)體獲得速度的作用下質(zhì)體獲得速度（2）質(zhì)體以這個(gè)速度作為初速度，開始）質(zhì)體以這個(gè)速度作為初速度，開始 作自由振動(dòng)作自由振動(dòng)t時(shí)刻的動(dòng)位移為時(shí)刻的動(dòng)位移為 rP0r1( )sind

19、tty tFetm（3）將時(shí)刻）將時(shí)刻t之前的每一個(gè)瞬時(shí)沖量的反應(yīng)進(jìn)行疊加之前的每一個(gè)瞬時(shí)沖量的反應(yīng)進(jìn)行疊加dt PF ttt10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響（1 1）突加荷載）突加荷載FP(t)FP0tP0rr2rrrr1(cossin)1(cossin)ttstFyettmyett10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響(2)(2)簡(jiǎn)諧荷載簡(jiǎn)諧荷載tmFyyysin22 1r2r(cossin)sincostyeCtCtAtBt瞬態(tài)振動(dòng)，很快消失瞬態(tài)振動(dòng)，很快消失穩(wěn)態(tài)振動(dòng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)sincosyAtBt只考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)只考慮穩(wěn)態(tài)振動(dòng)22222222222222244FFABmm 10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響22aA

20、B222224)1 (1mFsty22tan2(1)寫成單項(xiàng)式寫成單項(xiàng)式)sin(tay振幅振幅相位差相位差動(dòng)力系數(shù)動(dòng)力系數(shù)10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響（1） / 對(duì)對(duì)的影響的影響 / 1時(shí)，時(shí)， 0， 做極做極微小的振動(dòng)，動(dòng)位移微小的振動(dòng)，動(dòng)位移 0 。 / =1的附近，阻尼對(duì)的附近，阻尼對(duì) 影影響明顯。響明顯。 大、大、 小小。0.75 / 1.3共振區(qū)共振區(qū)共振區(qū)以外不考慮阻尼的影響共振區(qū)以外不考慮阻尼的影響，按無阻尼計(jì)算。，按無阻尼計(jì)算。10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響22221(1)42d01 2d得 的最大值并不發(fā)生在的最大值并不發(fā)生在 / =1處。處。max1(1)2 2max42111

21、24421實(shí)際中實(shí)際中10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響（2） / 對(duì)對(duì)的影響的影響2212tan222010102222012012220101210-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響00很 小 位移與動(dòng)荷載同步。位移與動(dòng)荷載同步。 最大位移處，動(dòng)荷載與彈性最大位移處，動(dòng)荷載與彈性 力平衡。力平衡。動(dòng)荷載動(dòng)荷載動(dòng)位移動(dòng)位移彈性力彈性力阻尼力阻尼力慣性力慣性力2sinsinsincossinFtatkatcatm at討論三個(gè)典型情況討論三個(gè)典型情況 與彈性力相比與彈性力相比,阻尼力和慣性阻尼力和慣性 力都很小。力都很小。動(dòng)荷載的作用相當(dāng)于靜載動(dòng)荷載的作用相當(dāng)于靜載 動(dòng)荷載振動(dòng)很慢。動(dòng)荷載振動(dòng)很慢。10-4 阻尼

22、對(duì)振動(dòng)的影響12 位移滯后動(dòng)荷載位移滯后動(dòng)荷載900。 動(dòng)荷載與阻尼力平衡。動(dòng)荷載與阻尼力平衡。共振時(shí)，增大阻尼，可以降低位移共振時(shí)，增大阻尼，可以降低位移動(dòng)荷載動(dòng)荷載動(dòng)位移動(dòng)位移彈性力彈性力阻尼力阻尼力慣性力慣性力2sincoscossincosFtatkatcatm at10-4 阻尼對(duì)振動(dòng)的影響 很很 大大 位移與動(dòng)荷載反向位移與動(dòng)荷載反向,滯后滯后1800。 與慣性力相比與慣性力相比,彈性力與阻尼彈性力與阻尼 力很小。力很小。 動(dòng)荷載振動(dòng)很快。動(dòng)荷載振動(dòng)很快。動(dòng)荷載動(dòng)荷載動(dòng)位移動(dòng)位移彈性力彈性力阻尼力阻尼力慣性力慣性力2sinsinsincossinFtatkatcatm at 動(dòng)荷載

23、與慣性力平衡。動(dòng)荷載與慣性力平衡。10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)1剛度法y1y222m y 11m y FR1(t)0FR2(t)01k12k22質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)2單位位移單位位移y21k11k21質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)1單位位移單位位移y1m y22 m y11 只有只有慣性力慣性力22m y 11m y 002221212221211111ykykymykykym 在慣性力和質(zhì)點(diǎn)位移的作用下，附加約束上的反力為零。a a 振動(dòng)方程振動(dòng)方程10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)令令sinsinyYtyYt1122兩個(gè)質(zhì)體的運(yùn)動(dòng)具有以下特點(diǎn)兩個(gè)質(zhì)體的運(yùn)動(dòng)具有以下特點(diǎn):兩個(gè)質(zhì)體具有相同的圓頻率和相位角兩個(gè)質(zhì)體具有相同

24、的圓頻率和相位角.兩個(gè)質(zhì)體的位移比值不變兩個(gè)質(zhì)體的位移比值不變.constyYyY1122b b 振型方程和頻率方程振型方程和頻率方程kmYk Yk YkmY211111222211222200將位移表達(dá)式將位移表達(dá)式代入振動(dòng)方程代入振動(dòng)方程振型方程振型方程振型振型10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)取非零振型解取非零振型解, ,則則展開展開,得得從小到達(dá)排列從小到達(dá)排列:1 1: :第一頻率或基本頻率第一頻率或基本頻率; ; 2 2: :第二頻率第二頻率; ;頻率方程或頻率方程或特征方程特征方程kmkDkkm2111122212220,kkkkk kk kmmmmm m221122112211

25、2212211 2121212112210-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)將將=1 1代入振型方程代入振型方程YkYkm11122211111第一振型第一振型YYYY112121sinsinyYtyYt111112211111此時(shí)，位移為此時(shí)，位移為位移位移 速度速度yYyYyYyY1111111111221221 初位移初位移 初速度初速度yyYYyYyY1010111120212021 若體系按第一振型振動(dòng)若體系按第一振型振動(dòng),需要滿足初始條件需要滿足初始條件.10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)將將=2 2代入頻率方程代入頻率方程YkYkm12122221121第二振型第二振型YYYY112

26、222sinsinyYtyYt112222222222此時(shí)此時(shí),位移為位移為位移位移 速度速度初位移初位移 初速度初速度yYyYyYyY1121222212222222 yyYYyYyY1010121220222022 若體系按第二振型振動(dòng)若體系按第二振型振動(dòng),需要滿足初始條件需要滿足初始條件.體系按某一振型振動(dòng)是由初始條件決定的體系按某一振型振動(dòng)是由初始條件決定的.10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)一般情況下一般情況下,振動(dòng)是兩種振型的組合振動(dòng)是兩種振型的組合 sinsinytYYAtAtYYyt121212111112222210-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)例題 試求圖示體系的頻率和振型

27、kkk1112解解(1)求剛度系數(shù)求剛度系數(shù)kkk 21122kk222EI1=m1EI1=m2k1k21k21k111k12k2210-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)(2)求頻率求頻率,mmmkkk1212若若則則,km21 23522.km10 618即即.km21 618,kkkkk kk kmmmmm m2211221122112212211 21212121122討論討論10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)將將=1 1代入振型方程代入振型方程, ,得得.YkYkm 1112221111111 618第一振型第一振型將將=2 2代入振型方程代入振型方程, ,得得.YkYkm 1212222

28、112110 618第二振型第二振型(3)求振型求振型1.61810.6181第一振型的初始條件容易滿足第一振型的初始條件容易滿足, 所以位移中第一振型的比例較大所以位移中第一振型的比例較大10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)2柔度法a a 振動(dòng)方程振動(dòng)方程在慣性力的作用下，質(zhì)體的位移等于實(shí)際動(dòng)位移。在慣性力的作用下，質(zhì)體的位移等于實(shí)際動(dòng)位移。y1y222m y 11m y 振動(dòng)方程振動(dòng)方程1質(zhì)體質(zhì)體1單位力單位力1121m y 11 1質(zhì)體質(zhì)體2單位力單位力1222m y 22 ()()()()ym ym yym ym y11111122222111222210-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)令

29、令sinsinyYtyYt1122b b 振型方程和頻率方程振型方程和頻率方程mmDmm11112222112222101頻率方程或頻率方程或特征方程特征方程kmYk Yk YkmY211111222211222200將位移表達(dá)式將位移表達(dá)式代入振動(dòng)方程代入振動(dòng)方程振型方程振型方程10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)展開頻率方程，得展開頻率方程，得,mmmmm m 211122211122211221221121 242121211頻率為頻率為將將= =1 1, , = =2 2 分別代入振型方程分別代入振型方程, ,得得YmYm 1112221111211第一振型第一振型YmYm 121222

30、2111221第二振型第二振型10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)例題 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型.EI=常數(shù),m1=m2=mm1m2l/3l/3l/3331122122147243486llEIEI解解(1)求柔度系數(shù)求柔度系數(shù)(2)求頻率求頻率mmDmm1111222211222210112335.6922EIEImlml12l/912l/91M圖圖2M圖圖10-5 兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)(3)求振型求振型 YmYm111222111121111 YmYm1212222111221111111第一振型第一振型( (正對(duì)稱正對(duì)稱) )第二振型第二振型( (正對(duì)稱正對(duì)稱) )10-5 兩個(gè)自由度

31、體系的自由振動(dòng)3主振型的正交性若體系按第一振型振動(dòng)若體系按第一振型振動(dòng)Y11Y21m Y21111m Y21221Y12Y2222112m Y22222m Y若體系按第二振型振動(dòng)若體系按第二振型振動(dòng)功的互等定理功的互等定理22111112211222m YYmYY22211222112212m Ym YYY221112211222120m YmYYY22120因?yàn)橐驗(yàn)?2111221220m YmYYY,故故主振型的第一個(gè)正交關(guān)系主振型的第一個(gè)正交關(guān)系10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)1剛度法P2F12m y 11m y PF1y1y2FR20FR1011111122P122211

32、222P2m yk yk yFm yk ykyF 在荷載、慣性力和質(zhì)點(diǎn)位移的作用下，在荷載、慣性力和質(zhì)點(diǎn)位移的作用下，附加約束上的反力為零。附加約束上的反力為零。a a 振動(dòng)方程振動(dòng)方程只有只有動(dòng)荷載動(dòng)荷載P2FPF1P2FPF11k12k22質(zhì)體質(zhì)體2單位位移單位位移y21k11k21質(zhì)體質(zhì)體1單位位移單位位移y1m y22 m y11 只有只有慣性力慣性力22m y 11m y 10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)若荷載為簡(jiǎn)諧荷載，即若荷載為簡(jiǎn)諧荷載，即FFtFFtP11P22sinsin 則穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的解為則穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的解為yYtyYt1122sinsin kmYk YFk Ykm

33、YF211111221221122222 代入振動(dòng)方程，得代入振動(dòng)方程，得位移幅值為位移幅值為DDYYDD121200 kmFDkF211112212 kmkDkkm2111120221222 FkDFkm112122222 10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)位移幅值為位移幅值為DDYYDD121200 kmkDkkm2111120221222 0 若若kmkDkkm2111120221222 則則n n個(gè)自由度體系有個(gè)自由度體系有n n個(gè)共振區(qū)個(gè)共振區(qū)頻率方程頻率方程（1）共振問題）共振問題10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)FFFtFtP11P22sinsin 荷載荷

34、載 ytYyttYt1122sinsin 位移位移tm ymm ymtYY2111122222sinsin 慣性力慣性力荷載、位移、慣性力同時(shí)達(dá)到幅值。荷載、位移、慣性力同時(shí)達(dá)到幅值。可以直接列幅值方程，求動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力幅值?？梢灾苯恿蟹捣匠蹋髣?dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力幅值。（2）荷載、位移、慣性力同步）荷載、位移、慣性力同步10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)例題解解kkk1112剛度系數(shù)為剛度系數(shù)為kkk 21122kk222荷載幅值為荷載幅值為試求橫梁振幅試求橫梁振幅Y1、Y2與荷載頻率與荷載頻率 之間之間的關(guān)系曲線。設(shè)的關(guān)系曲線。設(shè)m1=m2=m；k1=k2=k。P1PP2, 0FF

35、F 222P2P1200,kmFk FYYDD 2220121222Dkkmkmk 10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)因因 m1=m2=m，k1=k2=k，得，得 2PP1200,km FkFYYDD 22202Dkmkmk 頻率已由例頻率已由例10-4求出求出 22123535,22kkmm 2PP1222222222121211,1111mFFkYYkk 10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)從曲線可以看出：從曲線可以看出：11220.6181.618k mYYk m 有兩個(gè)共振區(qū)有兩個(gè)共振區(qū)12222P20YkmYFk 在結(jié)構(gòu)上附加子系統(tǒng)，在結(jié)構(gòu)上附加子系統(tǒng)，可以消除

36、主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)可以消除主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)吸振器設(shè)計(jì)步驟吸振器設(shè)計(jì)步驟（1）根據(jù)）根據(jù)m2的許可振幅，選定的許可振幅，選定k2。（2）根據(jù)）根據(jù)m2= k2/ 2,確定確定m2的值。的值。10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)2柔度法a a 振動(dòng)方程振動(dòng)方程質(zhì)體在慣性力和荷載的作用的靜位移等于動(dòng)位移。質(zhì)體在慣性力和荷載的作用的靜位移等于動(dòng)位移。振動(dòng)方程振動(dòng)方程PP()()()()11111122212211122222ym ym yym ym y令令sinsin1122yYtyYt10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)PP22111121221221211222221010mYmYmYmY 將位移表達(dá)式將位移表達(dá)式代入振動(dòng)方程代入振動(dòng)方程121200DDYYDD2211122102212122211mmDmm 21111P221212P1mDm 21P221122P2221mDm 10-6 兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的強(qiáng)迫振動(dòng)12l/91M圖圖12l/92M圖圖m1m2l/3l/3l/3sinFt已知：已知：EI= =常數(shù)，常數(shù)，31120.63.415,.EI mlmmm 3311221221331P2P87486486874864