第3章線(xiàn)性彈性

1、第第3章章 線(xiàn)性彈性線(xiàn)性彈性1.1.虎克定律與彈性常數(shù)虎克定律與彈性常數(shù) 線(xiàn)性彈性線(xiàn)性彈性( (或虎克彈性或虎克彈性) )符合符合: =c c為彈性常數(shù)。為彈性常數(shù)。 1.1 拉伸或單軸壓縮拉伸或單軸壓縮 =E E為常數(shù)，稱(chēng)為楊氏模量或拉伸模量。為常數(shù)，稱(chēng)為楊氏模量或拉伸模量。 D=1/E =D D稱(chēng)為拉伸柔量。稱(chēng)為拉伸柔量。 =- / 表示材料在拉伸時(shí)材料縱向應(yīng)變與橫表示材料在拉伸時(shí)材料縱向應(yīng)變與橫向應(yīng)變的比值之負(fù)數(shù)。向應(yīng)變的比值之負(fù)數(shù)。1.2 各向同性壓縮各向同性壓縮 材料的應(yīng)變?yōu)槠潴w積分?jǐn)?shù)變化材料的應(yīng)變?yōu)槠潴w積分?jǐn)?shù)變化 V/V 所加的應(yīng)力所加的應(yīng)力 P=-K V/V K為彈性常數(shù)，稱(chēng)為體

2、積模量。為彈性常數(shù)，稱(chēng)為體積模量。 B=1/KB稱(chēng)為體積柔量。稱(chēng)為體積柔量。 V/V=-BP由于由于 V/V =3 ，故，故: P=-3K 1.3 簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn) =G G為彈性常數(shù)，稱(chēng)為剪切模量。為彈性常數(shù)，稱(chēng)為剪切模量。 J=1/G =J 2. 線(xiàn)性彈性變形的特點(diǎn)線(xiàn)性彈性變形的特點(diǎn)n變形小變形小n變形無(wú)時(shí)間依賴(lài)性變形無(wú)時(shí)間依賴(lài)性n變形在外力撤除后完全回復(fù)變形在外力撤除后完全回復(fù)n無(wú)能量損失無(wú)能量損失n應(yīng)力與應(yīng)變成線(xiàn)性關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變成線(xiàn)性關(guān)系 =E 圖圖 3-1 線(xiàn)性彈性變形線(xiàn)性彈性變形3. 彈性常數(shù)之間的關(guān)系彈性常數(shù)之間的關(guān)系 四個(gè)彈性常數(shù)：四個(gè)彈性常數(shù)：E，K，G和和 ，其中，

3、其中只有兩個(gè)量是獨(dú)立的，即表示材料的線(xiàn)彈只有兩個(gè)量是獨(dú)立的，即表示材料的線(xiàn)彈性只需要其中兩個(gè)量。性只需要其中兩個(gè)量。 應(yīng)力的每個(gè)張量分量與所有的應(yīng)變張應(yīng)力的每個(gè)張量分量與所有的應(yīng)變張量分量之間有線(xiàn)性關(guān)系。即量分量之間有線(xiàn)性關(guān)系。即: txx=a11exx+ a12exy+ a13exz+ a22eyy xx=a11txx+ a12txy+ a13txz+ a22tyy 線(xiàn)彈性理論的基本方程：線(xiàn)彈性理論的基本方程： txx=2Gexx+(K-2/3G)(exx+eyy+ezz) tyy=2Geyy+(K-2/3G)(exx+eyy+ezz) tzz=2Gezz+(K-2/3G)(exx+eyy+

4、ezz) txy=Gexy tyz=Geyz txz=Gexz式中式中:只有兩個(gè)材料常數(shù)只有兩個(gè)材料常數(shù)G和和K, (exx+eyy+ezz) 為膨脹分?jǐn)?shù)為膨脹分?jǐn)?shù)( )。3.1 各向同性壓縮各向同性壓縮 txx=2Gexx+(K-2/3G)3 =3K txx= tyy=tzz=3K txy=txz=tyz=03.2 簡(jiǎn)單拉伸簡(jiǎn)單拉伸 txx=(K+4/3G) -2(K-2/3G) tyy=tzz=(K+4/3G) -2(K-2/3G) txy=txz=tyz=0在簡(jiǎn)單拉伸中，在簡(jiǎn)單拉伸中，tyy= tzz= 0。所以。所以, 從從 tyy=tzz=(K+4/3G) -2(K-2/3G) 有有

5、: / = =(3K-2G)/2(3K+G) 又又 tx=E 。把該式與。把該式與 txx=(K+4/3G) -2(K-2/3G) 聯(lián)立，則有：聯(lián)立，則有： E=9KG/(3K+G)3.3 簡(jiǎn)單剪切簡(jiǎn)單剪切 txy=tyx=G txx=tyy=tzz=0 表表3-1列出了四個(gè)彈性常數(shù)之間的關(guān)系。列出了四個(gè)彈性常數(shù)之間的關(guān)系。表表 3-1 彈性常數(shù)之間的關(guān)系彈性常數(shù)之間的關(guān)系K,GG, E, E,GKK2G(1+ )/3(1-2 )E/3(1-2 )EG/3(3G-E)E9KG/(3K+G)2(1+ )EEGGGE/2(1+ )G (3K-2G)/(6K+2G)E/(2G-1)由于由于K，E和和

6、G必須大于必須大于0，因此：，因此： -1 0.5 0 E/G 3又由于又由于 必須大于必須大于0，因此：，因此： 0 0.5 2 E/G3證明：證明： 當(dāng)當(dāng) 0 K。 當(dāng)當(dāng) 0 K。 當(dāng)當(dāng) 1/2 1/3 時(shí)，時(shí)，E K。 當(dāng)當(dāng) =0.5時(shí)，時(shí)，E=3G。4. 聚合物的彈性模量聚合物的彈性模量 4.1 彈性模量譜彈性模量譜 聚合物與其它材料相比，彈性模量寬，聚合物與其它材料相比，彈性模量寬，可相差可相差34數(shù)量級(jí)數(shù)量級(jí)( (如圖如圖 3-2所示所示) )。圖圖3-2 彈性模量彈性模量4.2 聚合物彈性模量與溫度的關(guān)系聚合物彈性模量與溫度的關(guān)系n溫度對(duì)體積模量影響小溫度對(duì)體積模量影響小n拉伸和

7、剪切模量對(duì)溫度依賴(lài)性大拉伸和剪切模量對(duì)溫度依賴(lài)性大( (如圖如圖3-3)3-3)圖圖 3-3 無(wú)定型線(xiàn)形聚合物的拉伸模量無(wú)定型線(xiàn)形聚合物的拉伸模量-溫度曲溫度曲線(xiàn)線(xiàn) 交聯(lián)聚合物的拉伸模量與溫度的關(guān)系交聯(lián)聚合物的拉伸模量與溫度的關(guān)系 ( (如圖如圖3-4)3-4)圖圖3-4 交聯(lián)聚合物交聯(lián)聚合物( (橡膠橡膠) )的拉伸模量與溫度的關(guān)系的拉伸模量與溫度的關(guān)系圖圖3-5 結(jié)晶線(xiàn)性聚合物的拉伸模量結(jié)晶線(xiàn)性聚合物的拉伸模量-溫度曲線(xiàn)溫度曲線(xiàn) 4.3 模量的分子量依賴(lài)性模量的分子量依賴(lài)性 如如圖圖3-63-6所示，分子量越高所示，分子量越高(AB C)，橡膠平臺(tái)越寬，玻璃化溫度不變。橡膠平臺(tái)越寬，玻璃化

8、溫度不變。 結(jié)晶線(xiàn)形聚合物的拉伸模量與溫度的結(jié)晶線(xiàn)形聚合物的拉伸模量與溫度的 關(guān)系曲線(xiàn)關(guān)系曲線(xiàn)( (如圖如圖3-5)3-5)。 圖圖3-6 無(wú)定型線(xiàn)形聚合物的拉伸模量無(wú)定型線(xiàn)形聚合物的拉伸模量-分子量曲線(xiàn)分子量曲線(xiàn)4.4 交聯(lián)度對(duì)拉伸模量的影響交聯(lián)度對(duì)拉伸模量的影響圖圖3-7 交聯(lián)聚合物交聯(lián)聚合物( (橡膠橡膠) )的拉伸模量的拉伸模量-分子量的關(guān)系分子量的關(guān)系4.5 結(jié)晶度的影響結(jié)晶度的影響圖圖3-7 3-7 結(jié)晶線(xiàn)形聚合物的拉伸模量結(jié)晶線(xiàn)形聚合物的拉伸模量溫度曲溫度曲線(xiàn)線(xiàn) 5 5 線(xiàn)彈性的適應(yīng)范圍線(xiàn)彈性的適應(yīng)范圍 大部分材料只有在形變很小時(shí)才符合線(xiàn)大部分材料只有在形變很小時(shí)才符合線(xiàn)彈性理論

9、。彈性理論。(1) (1) 金屬、陶瓷、結(jié)晶體、玻璃態(tài)材料。金屬、陶瓷、結(jié)晶體、玻璃態(tài)材料。 (2)(2) 聚合物聚合物 幾乎所有的聚合物在受瞬時(shí)應(yīng)力作用幾乎所有的聚合物在受瞬時(shí)應(yīng)力作用 時(shí)；時(shí)； 交聯(lián)聚合物、線(xiàn)型和支鏈聚合物；交聯(lián)聚合物、線(xiàn)型和支鏈聚合物； 濃的懸浮體在受較小的切應(yīng)力時(shí)也符濃的懸浮體在受較小的切應(yīng)力時(shí)也符 合線(xiàn)彈性。合線(xiàn)彈性。 6 6 線(xiàn)彈性變形的熱力學(xué)分析線(xiàn)彈性變形的熱力學(xué)分析 討論彈性力和內(nèi)能變化的關(guān)系討論彈性力和內(nèi)能變化的關(guān)系 以拉伸試驗(yàn)為例：以拉伸試驗(yàn)為例： 產(chǎn)生產(chǎn)生dl的變形，外力的變形，外力f作的功為作的功為:dWfdl 由熱力學(xué)第一定律得：由熱力學(xué)第一定律得：式

10、中，式中，w為外界對(duì)單位體積材料所做的功，為外界對(duì)單位體積材料所做的功，對(duì)上式積分：對(duì)上式積分：dUdQdW0dll d00dWAl dVd 0dWdwdE dV 212wE 在拉伸試驗(yàn)中：在拉伸試驗(yàn)中：所以：所以：如應(yīng)力為如應(yīng)力為txx，則有：，則有：對(duì)于可逆過(guò)程，對(duì)于可逆過(guò)程， 01()xxWtV dGdUPdVVdPTdSSdTdQ TdSPdVVdPSdTdW,dQTdSdGVdPSdTPdVdWdWPdVdWdGVdPSdTdWGHTSUPVTS所以所以 因?yàn)橐驗(yàn)槭街?，式中，dW為除膨脹功以外的有用功。為除膨脹功以外的有用功。所以所以用自由能用自由能(G)表示：表示：對(duì)對(duì)等溫等壓等溫

11、等壓可逆過(guò)程可逆過(guò)程:,),(TGVP0dGdWV dw 0 xxdGVdPSdTV t d,),(PGST ,0()P TxxGV t取取G對(duì)對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)，則：的偏導(dǎo)數(shù)，則：,0011()()()()xxP TP TP TP TGUVStPTVV對(duì)于簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)有：對(duì)于簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)有：因此因此由于由于 很小，所以可認(rèn)為很小，所以可認(rèn)為txx主要由兩部分主要由兩部分組成，即組成，即所以用所以用 表示：表示： ,01()()xxP TP TUStTV,0()SxxP TTStV ,()P TVUxxtSxxtUxxtSxxt,01()UxxP TUtV其中第一項(xiàng)表示內(nèi)能對(duì)拉伸應(yīng)力的貢獻(xiàn)，其中第一

12、項(xiàng)表示內(nèi)能對(duì)拉伸應(yīng)力的貢獻(xiàn)， 第二項(xiàng)表示熵變化對(duì)拉伸應(yīng)力的貢獻(xiàn)，用第二項(xiàng)表示熵變化對(duì)拉伸應(yīng)力的貢獻(xiàn)，用 表示：表示：判斷判斷 和和 的大?。旱拇笮。?實(shí)驗(yàn)證明，在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，在實(shí)驗(yàn)證明，在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，在 保持不保持不變時(shí)，變時(shí)，txx隨溫度幾乎不變，即隨溫度幾乎不變，即 很小，很小， 也很小。所以，線(xiàn)彈性變形時(shí)產(chǎn)生的彈性力也很小。所以，線(xiàn)彈性變形時(shí)產(chǎn)生的彈性力主要是由于內(nèi)能的變化，而不是熵變產(chǎn)生的。主要是由于內(nèi)能的變化，而不是熵變產(chǎn)生的。線(xiàn)彈性也稱(chēng)為能彈性線(xiàn)彈性也稱(chēng)為能彈性。,0()()SxxxxP TPtTStTVT xxP, t()T2,0,()()xxT PPtGSVTT Sxxt所

13、以所以7. 彈性模量的測(cè)定彈性模量的測(cè)定7.1 基本原則基本原則 (1) 試樣的形狀必須與在理論推導(dǎo)的一試樣的形狀必須與在理論推導(dǎo)的一 致；致； (2) 了解材料的特性；了解材料的特性； (3) 實(shí)驗(yàn)方法和儀器的選擇決定于研究的實(shí)驗(yàn)方法和儀器的選擇決定于研究的 目的。目的。7.2 位移位移 (1) 傳感器傳感器 (2) 測(cè)微計(jì)測(cè)微計(jì) (3) 線(xiàn)性可變示差變換器線(xiàn)性可變示差變換器 (4) 光杠桿光杠桿7.3 力力7.4 單向拉伸測(cè)定拉伸模量單向拉伸測(cè)定拉伸模量7.5 彎曲試驗(yàn)測(cè)定楊氏模量彎曲試驗(yàn)測(cè)定楊氏模量( (如表如表3-2)3-2)7.6 扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)測(cè)定剪切模量扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)測(cè)定剪切模量( (如圖如

14、圖3-8)3-8) 試樣是圓柱形，試樣置于上下兩個(gè)平試樣是圓柱形，試樣置于上下兩個(gè)平板之間，一端固定，另一端施加一個(gè)力矩板之間，一端固定，另一端施加一個(gè)力矩L使試樣扭轉(zhuǎn)一定的角度使試樣扭轉(zhuǎn)一定的角度 ，切應(yīng)變，切應(yīng)變 和剪切和剪切模量分別為：模量分別為： 圖圖 3-8 扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn),rz42LhGR 表表3-2 彎曲試驗(yàn)測(cè)定楊氏模量彎曲試驗(yàn)測(cè)定楊氏模量 位移位移原始長(zhǎng)度原始長(zhǎng)度計(jì)算式計(jì)算式 L=L-L0長(zhǎng)度長(zhǎng)度L0，截面積，截面積Ay長(zhǎng)度長(zhǎng)度L0，寬度，寬度C，厚度厚度Dy長(zhǎng)度長(zhǎng)度L0，半徑，半徑ry長(zhǎng)度長(zhǎng)度L0，寬度，寬度C，厚度厚度Dy長(zhǎng)度長(zhǎng)度L0，半徑，半徑r0/F AEL L303

15、4FECD y30443FLEr y3034FLECD y30412FLEr y試樣形狀試樣形狀8. 聚合物的體積模量聚合物的體積模量(K) 8.1 在高于在高于Tg和和Tm時(shí)聚合物的體積模量時(shí)聚合物的體積模量 8.2 玻璃態(tài)無(wú)定形聚合物的體積模量玻璃態(tài)無(wú)定形聚合物的體積模量 8.3 結(jié)晶聚合物的體積模量結(jié)晶聚合物的體積模量 8.4 偏離線(xiàn)彈性的情況偏離線(xiàn)彈性的情況9. 多相系統(tǒng)多相系統(tǒng)-加填料的聚合物加填料的聚合物 加入填料的聚合物是一個(gè)多相體系，加入填料的聚合物是一個(gè)多相體系，聚合物為連續(xù)相聚合物為連續(xù)相(Continuous phase)，填料，填料是分散相是分散相(Dispersion

16、 phase)，這種多相系，這種多相系統(tǒng)也可稱(chēng)為復(fù)合材料統(tǒng)也可稱(chēng)為復(fù)合材料(Composite)。9.1 球形的彈性填料球形的彈性填料 (1) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果 體積模量體積模量(K)、剪切模量剪切模量(G)及泊松比及泊松比( )與填料顆粒的大小無(wú)關(guān)，而隨填料濃度的與填料顆粒的大小無(wú)關(guān)，而隨填料濃度的增加而增加。但復(fù)合材料在玻璃態(tài)和高彈增加而增加。但復(fù)合材料在玻璃態(tài)和高彈態(tài)增加的程度不同。態(tài)增加的程度不同。 (2) 理論理論 球形彈性填料與線(xiàn)彈性的聚合物組成球形彈性填料與線(xiàn)彈性的聚合物組成的復(fù)合材料的彈性模量公式的復(fù)合材料的彈性模量公式(Kemer提出提出)：條件：條件：假定聚合物完全粘附填料

17、假定聚合物完全粘附填料 0 01 1001001001034343434KKKGKGKKGKG01 1001000 1000010(75)(8 10)15(1)(75)(8 10)15(1)GGGGGGG式中：式中：K0，G0， 0和和K1，G1分別為聚合物和填料的分別為聚合物和填料的彈性常數(shù)；彈性常數(shù)； 0和和 1=(1- 0)為聚合物和填料在復(fù)合材為聚合物和填料在復(fù)合材料中的體積分?jǐn)?shù)。料中的體積分?jǐn)?shù)。 如果聚合物是高彈態(tài)材料，則如果聚合物是高彈態(tài)材料，則K0 G0， =0.5，同時(shí)，如果填料的，同時(shí)，如果填料的K1與與K0有相同數(shù)有相同數(shù)量級(jí)或更大，則量級(jí)或更大，則K1 G0，復(fù)合材料的，

18、復(fù)合材料的K近似近似為：為：011 100101BBBKKK如果如果G1 G0，則有：，則有：0102015(1)1810GG如果如果 1 1， K0 G0， =0.5，則：，則：如果填料的如果填料的G1 G0，則有：則有：01(12.5 )GG2011(12.514.1)GG0102015(1)11175GG當(dāng)當(dāng) 較大時(shí)，則有如下公式較大時(shí)，則有如下公式(Guth-Smallwood提出如下公式：提出如下公式：上式適應(yīng)橡膠態(tài)聚合物填充玻璃態(tài)聚合物上式適應(yīng)橡膠態(tài)聚合物填充玻璃態(tài)聚合物所組成的復(fù)合材料所組成的復(fù)合材料 ，或泡沫塑料，其中氣，或泡沫塑料，其中氣體為填料。體為填料。 Eilers-V

19、an Dijck經(jīng)驗(yàn)式：經(jīng)驗(yàn)式： 對(duì)于聚合物不能很好粘附填料，對(duì)于聚合物不能很好粘附填料， Nielsen提出提出:1011.2511 1.28G G00(1)GG10. 結(jié)晶聚合物結(jié)晶聚合物 結(jié)晶聚合物是由無(wú)定形區(qū)和結(jié)晶區(qū)組結(jié)晶聚合物是由無(wú)定形區(qū)和結(jié)晶區(qū)組成的，而結(jié)晶區(qū)又是由無(wú)數(shù)很小的微晶組成的，而結(jié)晶區(qū)又是由無(wú)數(shù)很小的微晶組成的。成的。 10.1 聚合物微晶彈性模量的測(cè)定聚合物微晶彈性模量的測(cè)定 方向性方向性( (與鏈相同的方向與鏈相同的方向E1和與鏈垂直和與鏈垂直 的方向的方向E2) ) E1 E2 不能直接測(cè)定不能直接測(cè)定 10.2 聚合物彈性模量的理論計(jì)算聚合物彈性模量的理論計(jì)算 通

20、過(guò)通過(guò)X射線(xiàn)衍射法。射線(xiàn)衍射法。 10.3 結(jié)晶聚合物彈性模量的理論計(jì)算結(jié)晶聚合物彈性模量的理論計(jì)算 (1) 與結(jié)晶度的關(guān)系與結(jié)晶度的關(guān)系 E隨結(jié)晶度增大而升高。不同結(jié)晶隨結(jié)晶度增大而升高。不同結(jié)晶 聚合物有所不同。聚合物有所不同。 (2) 與溫度的關(guān)系與溫度的關(guān)系 G，K， 隨溫度升高有所降低，沒(méi)隨溫度升高有所降低，沒(méi) 有無(wú)定形聚合物明顯；在絕對(duì)零度時(shí)，有無(wú)定形聚合物明顯；在絕對(duì)零度時(shí)， 各種模量變得與溫度無(wú)關(guān)。各種模量變得與溫度無(wú)關(guān)。 本章小結(jié)本章小結(jié) 1.1 拉伸或單軸壓縮拉伸或單軸壓縮 拉伸模量或楊氏模量拉伸模量或楊氏模量(E) 拉伸柔量拉伸柔量(D) 相互關(guān)系相互關(guān)系 E=1/DE=

21、1/D 泊松比泊松比 =-=- / / 1. 線(xiàn)性彈性線(xiàn)性彈性1.2 各向同性壓縮各向同性壓縮 體積模量體積模量(K); 體積柔量體積柔量(B) 體積變化分?jǐn)?shù)體積變化分?jǐn)?shù) V/V 相互關(guān)系相互關(guān)系 K=1/B P=-K V/V；P=-3K 1.3 簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn) 剪切模量剪切模量(G) 剪切柔量剪切柔量(J) 相互關(guān)系相互關(guān)系 J=1/G2. 2. 彈性常數(shù)之間的關(guān)系彈性常數(shù)之間的關(guān)系 2.1 簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn) txx=E ; txy=tyz=txz=0 tyy=tzz=0 2.2 同性壓縮實(shí)驗(yàn)同性壓縮實(shí)驗(yàn) txx=tyy=tzz=3K ; txy=tyz=txz=0 2.3 簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單剪切實(shí)驗(yàn) txx=tyy=tzz=0; txy=tyx=G txz=tzx=tyz=tyz=03. 3. 聚合物的彈性模量聚合物的彈性模量3.1 聚合物彈性模量與溫度的關(guān)系聚合物彈性模量與溫度的關(guān)系 無(wú)定型線(xiàn)形聚合物無(wú)定型線(xiàn)形聚合物 交聯(lián)聚合物交聯(lián)聚合物( (橡膠橡膠) ) 結(jié)晶線(xiàn)性聚合物結(jié)晶線(xiàn)性聚合物3.2 模量的分子量依賴(lài)性模量的分子量依賴(lài)性 無(wú)定型線(xiàn)形聚合物無(wú)定型線(xiàn)形聚合物3.3 交聯(lián)度對(duì)拉伸模量的影響交聯(lián)度對(duì)拉伸模量的影響3.4 結(jié)晶度的影響結(jié)晶度的影