徐匯新王牌 秋季同步提高補(bǔ)習(xí)班高中數(shù)學(xué)孫D老師高三

1、高三 數(shù)學(xué) 第十四講 橢圓1. 橢圓定義:平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)21F F 、的距離之和為常數(shù)|2(222F F a a >的動點(diǎn)P 的軌跡叫橢圓,其中兩個定點(diǎn)21F F 、叫橢圓的焦點(diǎn).當(dāng)21212F F a PF PF >=+時, P 的軌跡為橢圓 ; ; 當(dāng)21212F F a PF PF <=+時, P 的軌跡不存在;當(dāng)21212F F a PF PF =+時, P 的軌跡為以21F F 、為端點(diǎn)的線段 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1焦點(diǎn)12,F F 在x 軸上:(222210x y a b a b+=>> 焦點(diǎn)(1,0F c -,(2,0F c ,且滿足:222ab

2、 c =+(2焦點(diǎn)12,F F 在y 軸上: (222210y x a b a b +=>> 焦點(diǎn)(10,F c -,(20,F c ,且滿足:222a b c =+(3統(tǒng)一形式: (2210,0,Ax By A B A B +=>>3. 橢圓的參數(shù)方程焦點(diǎn)在x 軸上,中心在原點(diǎn)的橢圓的參數(shù)方程為:cos sin x a y b = (為參數(shù)(其中2a 為橢圓的長軸長,2b 為橢圓的短軸長4. 橢圓的簡單幾何性質(zhì)以橢圓(222210x y a b a b+=>>為例說明(1范圍:a x a -,b y b -(2對稱性:橢圓的對稱軸:x 軸,y 軸;對稱中心

3、:原點(diǎn)(0,0O(3頂點(diǎn):長軸頂點(diǎn):(1,0A a -,(2,0A a ,短軸頂點(diǎn):(10,B b -,(20,B b(4離心率: c e a =橢圓上任一點(diǎn)P 到焦點(diǎn)的距離點(diǎn)P 到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。01e <<e 越大,橢圓越扁;e =(5準(zhǔn)線:橢圓有左,右兩條準(zhǔn)線關(guān)于y 軸對稱。左準(zhǔn)線:2a x c =-右準(zhǔn)線:2a x c=(6焦半徑:橢圓上任一點(diǎn)(0,Px y 到焦點(diǎn)的距離。左、右焦半徑分別為110r PF a ex =+,220r PF a ex =-5 .點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系已知橢圓22221x y C a b +=;,點(diǎn)00(,P x y ,則22002222002222

4、0022111x y a b x y a b x y a b +>+=+<點(diǎn)P 在橢圓C 外點(diǎn)P 在橢圓C 上點(diǎn)P 在橢圓C 內(nèi) 6 .關(guān)于焦點(diǎn)三角形與焦點(diǎn)弦 (1橢圓上一點(diǎn)P 與兩個焦點(diǎn)12,F F 所構(gòu)成的12PF F 稱為焦點(diǎn)三角形。設(shè)12F PF =, 12PF F =,21PF F =,則有:sin sin sin ca=+ 12cos 212-=r r b ,當(dāng)12r r =(即P 為短軸頂點(diǎn)時,最大, 此時222cos b c a -=(r 表示焦半徑 12PF F 的面積221201sin sin tan 21cos 2b S rr bc y =+當(dāng)0y b =(即

5、P 為短軸頂點(diǎn)時,S 最大,且max S bc =22212b c PF PF b -(2經(jīng)過焦點(diǎn)1F 或2F 的橢圓的弦AB ,稱為焦點(diǎn)弦。l 設(shè)1122(,(,A x y B x y ,AB 的中點(diǎn)為00(,M x y ,則弦長1202(22AB a e x x a ex =±+=±(左焦點(diǎn)取“+”,右焦點(diǎn)取“-” 當(dāng)ABx 軸時,AB 最短,且ab AB 2min2=7 .橢圓的光學(xué)性質(zhì)從橢圓的一個焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓反射后,經(jīng)過橢圓的另一焦點(diǎn)。8. 關(guān)于直線與橢圓的位置關(guān)系問題常用處理方法 (1 聯(lián)立方程法:聯(lián)立直線和橢圓方程,消去y ,得到關(guān)于x 的一元二次方程,

6、設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為1122(,(,x y x y ,則有0>,以及1212,x x x x +,還可進(jìn)一步求出1212,y y y y +。在涉及弦長,中點(diǎn),對稱,面積等問題時,常用此法(2 點(diǎn)差法:設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為1122(,(,x y x y 代入橢圓方程,并將兩式相減,可得(2121221212b x x y y x x a y y +-=-+,在涉及斜率、中點(diǎn)、范圍等問題時,常用此法 典型例題題型一:橢圓定義相關(guān)問題例1.如圖一圓形紙片的圓心為O ,F 是圓內(nèi)一定點(diǎn),M 是圓周上一動點(diǎn),把紙片折疊使M 與F 重合,然 (y 0B(x 0(y 0D(x 0 例3.(2014遼寧已知橢圓C :

7、+=1,點(diǎn)M 與C 的焦點(diǎn)不重合,若M 關(guān)于C 的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別 為A 、B ,線段MN 的中點(diǎn)在C 上,則|AN|+|BN|= .例4.(2014重慶二模設(shè)A 、P 是橢圓+y 2=1兩點(diǎn),點(diǎn)A 關(guān)于x 軸的對稱點(diǎn)為B (異于點(diǎn)P ,若直線AP 、BP 分別交x 軸于點(diǎn)M 、N ,則=( .2 例5.(2014海南模擬已知P 、Q 是橢圓3x 2+5y 2=1滿足POQ=90°的兩個動點(diǎn),則+等于( 題型三:橢圓相關(guān)的范圍問題22 例7.(2014福建設(shè)P ,Q 分別為圓x 2+(y 62=2和橢圓+y 2=1上的點(diǎn),則P ,Q 兩點(diǎn)間的最大距5 + C . 7+例8.(2013

8、閘北區(qū)一模設(shè)點(diǎn)F 1,F 2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P 為橢圓C 上任意一點(diǎn).(1求數(shù)量積的取值范圍;(2設(shè)過點(diǎn)F 1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C 于A 、B 兩點(diǎn),線段AB 的垂直平分線與x 軸交于點(diǎn)G ,求點(diǎn)G 橫坐標(biāo)的取值范圍.題型四: 橢圓相關(guān)的最值問題C例10.已知點(diǎn)F 是橢圓13422=+y x 的右焦點(diǎn),A (1,1,P 是橢圓上一動點(diǎn),則PF PA +的最大值是-例11.(2014上海模擬已知點(diǎn)F為橢圓C:=1的左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,3,則|PQ|+|PF|取最大值時,點(diǎn)P的坐標(biāo)為.例12.(2014北京石景山區(qū)一模已知動點(diǎn)P(x,y在橢圓C:=1

9、上,F為橢圓C的右焦點(diǎn), 若點(diǎn)M滿足|=1且=0,則|的最小值為(B例15.(2014上海模擬已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),并滿足,過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA,PB分別交橢圓于A,B兩點(diǎn).(求P點(diǎn)坐標(biāo); (求證直線AB的斜率為定值.例16.已知橢圓C:+=1(a>b>0經(jīng)過(1,1與(,兩點(diǎn).(求橢圓C的方程; (過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|.求證: +為定值. 例17.(2014松江區(qū)二模已知橢圓x 2+2y 2=a 2(a >0的一個頂點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4. (1求橢圓C 的方

10、程;(2若直線l 過橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓C 交于A 、B 兩點(diǎn),求證: x 軸上存在一定點(diǎn)M,使得為定值。例18.已知橢圓的左頂點(diǎn)為A ,過A 作兩條互相垂直的弦AM 、AN 交橢圓于M 、N 兩點(diǎn). (1當(dāng)直線AM 的斜率為1時,求點(diǎn)M 的坐標(biāo);(2當(dāng)直線AM 的斜率變化時,直線MN 是否過x 軸上的一定點(diǎn),若過定點(diǎn),請給出證明,并求出該定點(diǎn),若不過定點(diǎn),請說明理由.例19、已知過橢圓22143x y +=右焦點(diǎn)F 作直線l 交橢圓于A 、B 兩點(diǎn),交定直線x=4于點(diǎn)M ,假設(shè) ,MA AF MB BF = ,求證:+ =0 .例20.(安徽高考題設(shè)橢圓=1(a>b>0過點(diǎn),且左

11、焦點(diǎn)為(求橢圓C的方程;(當(dāng)過點(diǎn)P(4,1的動直線l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn)A,B時,在線段AB 上取點(diǎn)Q,滿足=,證明:點(diǎn)Q總在某定直線上.實(shí)戰(zhàn)演練:1.設(shè)AB是橢圓(a>b>0的長軸,若把AB100等分,過每個分點(diǎn)作AB的垂線,交橢圓的 2.已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則k的取值范圍是( 3.已知點(diǎn)P是橢圓:+=1(x0,y0上的動點(diǎn),F1,F2是橢圓的兩個焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),若M 是F1PF2的角平分線上一點(diǎn),且=0,則|OM|的取值范圍是( O為原點(diǎn),設(shè)橢圓的方程為(a>b>0,籃球與地面的接觸點(diǎn)為H,則|OH|=. 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知ABC頂

12、點(diǎn)A(4,0和C(4,0,頂點(diǎn)B在橢圓上,則=.6.(2013上海設(shè)AB是橢圓的長軸,點(diǎn)C在上,且CBA=,若AB=4,BC=,則的兩個焦點(diǎn)之間的距離為.6.(2014浙江二模已知橢圓C:+y2=1,點(diǎn)M1,M2,M5為其長軸AB的6等分點(diǎn),分別過這五點(diǎn)作斜率為k(k0的一組平行線,交橢圓C于P1,P2,P10,則直線AP1,AP2,AP10這10條直7.(2014湖北過x軸正半軸上一點(diǎn)M作直線PQ與橢圓+y2=1相交于兩點(diǎn)P,Q,若+(,8.給定橢圓C:,稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個焦點(diǎn)為,其短軸的一個端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為.(1求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;(2

13、若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn),B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且BDx軸,求的取值范圍.9.(2014達(dá)州二模已知橢圓C:+=1(a>b>0的左頂點(diǎn)A(2,0,過右焦點(diǎn)F且垂直于長軸的弦長為3.(求橢圓C的方程;(已知直線y=kx+m(k<0,m>0與y軸交于點(diǎn)P,與x軸交于點(diǎn)Q,與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若+=.求證:直線y=kx+m過定點(diǎn),并求出這個定點(diǎn)坐標(biāo).例題及習(xí)題解析:=+易得,(,在象限的角平分線上時,由=,解得,半徑為,橢圓上的點(diǎn)與圓心的距離為=55=6則有,.,代入,的方程為=.,.,例10.解:設(shè)點(diǎn)1F 是左焦點(diǎn),542211+=+-+=+AF

14、 a PF a PA PF PA |=3,即最大值為5組,(舍.故選:由橢圓可得,解得P 的方程為聯(lián)立A,的斜率為定值 與(兩點(diǎn)代入橢圓解得.的方程為=的方程為解得,=,同理所以×,故,得,解得.時,解之得,化簡得:,同理可得.由(知若存在定點(diǎn),則此點(diǎn)必為,同理可計(jì)算得軸上的一定點(diǎn)證明:F (1,0,設(shè)直線l 的方程是x=ky+1, A (x 1,y 1,B (x 2,y 2,3(4,M k2213412x ky x y =+= , (3k 2+4y 2+6ky 9=0, 12122249,3432ky y y y k k -+=-=+11113(x 4,y ,(1,MA AF x

15、y k =-=- ; 22223(x 4,y ,(1,MB BF x y k=-=- 因?yàn)?MA AF MB BF =,所以112233,y y y y k k -=-=- ,1233(1,(1y y k k+=+= 12212133(1y ,(1y y y y y k k +=+= ,相加得12123(2(y y y y k+=+ , 22936(23434k k k k -+=+ ,所以+ =0 的方程為由題設(shè)知, 于是,從而,. (×OH=,故答案為:,由正弦定理得=故答案為,由題意知,CBA=,在橢圓上,則.故答案為:=.由橢圓的對稱性可得,同理可得孫 D 老師 高三數(shù)學(xué) 新

16、王牌 400-000-9755 7 解：設(shè) M（m，0） ，設(shè)直線 PQ 的方程為 把直線 PQ 的方程代入橢圓的方程 P（m+t1cos，t1sin） ，Q（m+t2cos，t2sin） ，化為（1+3sin ）t +2mtcos+m 4=0 2 2 2 t1+t2= ， = = + 2 = = = + 為定 值，2410m =0，又 m0解得 8 解： （1）由題意可得： 橢圓 C 的方程為 2 點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 故選：C ， ，b=1， r= 2 2 =2 ，其“準(zhǔn)圓”的方程為 x +y =4； 2 （2）由“準(zhǔn)圓”的方程為 x +y =4，令 y=0，解得 x=±2，取點(diǎn) A（2，0） 設(shè)點(diǎn) B（x0，y0） ， 則 D（x0，y0） =（x02，y0）（x02，y0）= ， 點(diǎn) B 在橢圓 上， ， ， = = ， ， ，即 ， 的取值范圍為 9 （ ） 解： 由題意 a=2， 設(shè)過右焦點(diǎn) F 且垂直于長軸的弦為 MN， 將M （c， xM） 代入橢圓方程可得 yM= ， 16 孫 D 老師