答案高等數(shù)學第一章函數(shù)與極限試題

1、答案：一.選擇題1.A 【分析】 本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案.【詳解】 方法一：任一原函數(shù)可表示為，且當F(x為偶函數(shù)時，有，于是，即 ，也即，可見f(x為奇函數(shù)；反過來，若f(x為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A為正確選項.方法二：令f(x=1, 則取F(x=x+1, 排除(B、(C; 令f(x=x, 則取F(x=, 排除(D; 故應選(A.【評注】 函數(shù)f(x與其原函數(shù)F(x的奇偶性、周期性和單調(diào)性已多次考查過. 請讀者思考f(x與其原函數(shù)F(x的有界性之間有何關(guān)系? 2. D【分析】 顯然x=0,x=1為間斷點，其分類主要考慮左右極限.【詳解】

2、由于函數(shù)f(x在x=0,x=1點處無定義，因此是間斷點.且 ，所以x=0為第二類間斷點；，所以x=1為第一類間斷點，故應選(D.【評注】 應特別注意：， 從而，3 C4 A5 C6 7 A8 x時，分母極限為令，不能直接用商的極限法則。先恒等變形，將函數(shù)“有理化”：原式 = . （有理化法） 9 D10 解 原式. 錯誤！注 等價無窮小替換僅適用于求乘積或商的極限，不能在代數(shù)和的情形中使用。如上例中若對分子的每項作等價替換，則 原式.二.填空題11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5 15 . 16. 17 . 18. 19 . 在某一極限過程中，以0為極限的變量，稱為該極限過程中的無

3、窮小量 20 . 函數(shù)y f (x 在點x0有定義； xx0 時極限存在； 極限值與函數(shù)值相等，即 三. 計算題21 . 【分析】 型未定式，一般先通分，再用羅必塔法則.【詳解】 =22. (x=3lnx+1 x023.24.25.26. ;27. 328. 解：由x2解得x-2由x解得x由5x解得x2.5函數(shù)的定義域為x2.5x-2且x1或表示為（2.5,1）（1,-2）29. 、是同一函數(shù)，因為定義域和對應法則都相同，表示變量的字母可以不同。不是同一函數(shù)，因為它們的定義域不相同。不是同一函數(shù)，因為它們對應的函數(shù)值不相同，即對應法則不同。30. 解：f(x+1(x+12-1x2+2x，f(f

4、(xf(x2-1(x2-12-1x4-2x2f(f(3+2f(32-1+2f(109931 . 解：32. 解：33 . 解： 34 . 解：35 . 解：因為 ，所以 函數(shù)在指定點的極限不存在。 因為，所以 函數(shù)在指定點的極限36 . 37 . 38 . 39 . 40. 41. 42. 43. =44. 45. 46. 47. 49. 間斷，函數(shù)在x1處無定義且左右極限不存在，第二類間斷點50. 間斷，函數(shù)在x0處左右極限不存在，第二類間斷點51. 間斷，但f(01，兩者不相等，第一類間斷點52. 證明：x0(,因為 ，f(x0=x02所以 因此，函數(shù)f(xx2是連續(xù)函數(shù)。53. 54.

5、55 . 證明：設f(x2x33x22x3，則f(x在1,2上連續(xù)，f(120根據(jù)零點定理，必存在一點(1,2使f(0，則x就是方程的根。56. 原式57. 證 x (-, +，任給x一個增量x，對應的有函數(shù)y的增量y = sin(+x-sin x = . ，由夾逼準則知，y 0（x0），再由x的任意性知正弦函數(shù)y = sin x 在其定義域 (-, +上處處連續(xù)，即它是連續(xù)函數(shù)。 58. 解 注意f (x是分段函數(shù)，且點兩側(cè)f表達式不一致。解法1 f (0 - 0 =， f (0 + 0 =， . 又f (0 = 0， 函數(shù)f (x = x在點x = 0處連續(xù)（圖119）。 解法2 ， 函數(shù)在點左連續(xù)；又 ， 函數(shù)在點右連續(xù)，所以函數(shù)在點連續(xù)。59. 證 雖然f是分段函數(shù)，但點x = 0兩側(cè)函數(shù)表達式一