全國(guó)周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)往屆競(jìng)賽題研討

1、從從20072007年起競(jìng)賽風(fēng)格與往屆相比有年起競(jìng)賽風(fēng)格與往屆相比有考察學(xué)生面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)能否考察學(xué)生面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)能否、的能力；的能力；考查學(xué)生的考查學(xué)生的能力；能力；在解題時(shí)考察學(xué)生能否靈活運(yùn)用在解題時(shí)考察學(xué)生能否靈活運(yùn)用，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)單而巧妙地解題。單而巧妙地解題?？疾鞂W(xué)生考察學(xué)生的能力，分工協(xié)作、相的能力，分工協(xié)作、相互配合、動(dòng)手制作的能力。互配合、動(dòng)手制作的能力。1題量少，內(nèi)涵多；題量少，內(nèi)涵多；2趣味新穎；趣味新穎；3靈活；靈活；4強(qiáng)調(diào)發(fā)散思維。強(qiáng)調(diào)發(fā)散思維。射擊的最高境界，不僅是指哪打哪，還要知道往哪兒指。射擊的最高境界，不僅是指哪打哪，還要知道往哪兒指。歡迎來(lái)到這個(gè)與眾不同的射擊場(chǎng)。

2、在這里，共有歡迎來(lái)到這個(gè)與眾不同的射擊場(chǎng)。在這里，共有10個(gè)小球個(gè)小球Pi( (號(hào)碼從號(hào)碼從0到到9) )，你需要把某個(gè)小球放在圓弧的適當(dāng)位置上，你需要把某個(gè)小球放在圓弧的適當(dāng)位置上，然后靜止釋放小球即可。然后靜止釋放小球即可。假設(shè)系統(tǒng)在同一豎直平面內(nèi)假設(shè)系統(tǒng)在同一豎直平面內(nèi)( (如圖所示如圖所示) )，不考慮摩擦。圓弧，不考慮摩擦。圓弧AB的半徑為的半徑為R，B點(diǎn)與地面的高度點(diǎn)與地面的高度為為H。均質(zhì)細(xì)桿。均質(zhì)細(xì)桿CD的質(zhì)量為的質(zhì)量為M，長(zhǎng)為長(zhǎng)為L(zhǎng)H，懸掛點(diǎn)，懸掛點(diǎn)C與與B 處于處于同一水平位置，同一水平位置，BC距離為距離為S。小。小球球Pi 質(zhì)量均為質(zhì)量均為m，不計(jì)半徑，小球，不計(jì)半徑，

3、小球Pi 與與CD桿或地面碰撞的恢復(fù)桿或地面碰撞的恢復(fù)因數(shù)均為因數(shù)均為ei，且滿足，且滿足 ( (i=0,1,2,9) )。9/ ieiP1 擊中桿上擊中桿上D點(diǎn)，試確定靜止釋放時(shí)的點(diǎn)，試確定靜止釋放時(shí)的q q，距離，距離S 有何限制？有何限制？ CD桿上的桿上的E點(diǎn)點(diǎn)，為使為使E點(diǎn)盡可能遠(yuǎn)離點(diǎn)盡可能遠(yuǎn)離D點(diǎn)，試確定該小球的號(hào)點(diǎn)，試確定該小球的號(hào)碼及靜止釋放時(shí)的碼及靜止釋放時(shí)的q q，此時(shí)，此時(shí)CE 的距離的距離是多少？是多少？CD桿上桿上的的E點(diǎn)，為使懸掛點(diǎn)點(diǎn)，為使懸掛點(diǎn)C處的沖量處的沖量盡可能小，試確定該小球的號(hào)盡可能小，試確定該小球的號(hào)碼及靜止釋放時(shí)的碼及靜止釋放時(shí)的q q，此時(shí)，此時(shí)C

4、E的距離是多少？沖量有多大？的距離是多少？沖量有多大？設(shè)小球設(shè)小球P1 到達(dá)到達(dá)B處時(shí)速度為處時(shí)速度為vB)cos1 (2qgRvB)cos1 (0212qmgRmvB小球小球P1離開(kāi)離開(kāi)B 處后作處后作0 xm mgym 0 x gy P1 擊中桿上擊中桿上D點(diǎn)，試確定靜止釋放時(shí)的點(diǎn)，試確定靜止釋放時(shí)的q q，距離，距離S 有何限制？有何限制？3/19/11e0 x gy Bvx tvxBgty221gtHy小球小球P1 桿上的桿上的D點(diǎn)？點(diǎn)？與地面碰撞，與地面碰撞，回跳時(shí)撞擊桿？回跳時(shí)撞擊桿？撞擊桿？撞擊桿？鏈接鏈接P1與桿上與桿上D點(diǎn)碰撞點(diǎn)碰撞小球小球P1直接擊中直接擊中D點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí)1tv

5、SB21212gtHH小球小球P1 在在 x 方向作方向作運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)，在 y 方向作方向作運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)。mgHmvvvmByx22221)(21小球小球P1與地面碰撞前的速度與地面碰撞前的速度)(001yyvve小球小球P1與地面碰撞后的速度與地面碰撞后的速度HHeh9121gHvy2yyvev1h回跳高度回跳高度mghvvmmvyxB)(2121222P1回跳時(shí)回跳時(shí)碰到碰到D點(diǎn)點(diǎn)P1與桿上與桿上D點(diǎn)碰撞點(diǎn)碰撞HCDH21小球小球P1 先與地面碰撞先與地面碰撞返回返回)21arccos(2HRSq90, 0(q021cos2HRSqHRS2CD桿上的桿上的E點(diǎn)點(diǎn)，為使為使E點(diǎn)盡可能遠(yuǎn)離點(diǎn)盡可

6、能遠(yuǎn)離D點(diǎn)，試確定該小球的號(hào)點(diǎn)，試確定該小球的號(hào)碼及靜止釋放時(shí)的碼及靜止釋放時(shí)的q q，此時(shí)，此時(shí)CE 的距離的距離是多少？是多少？9/ iei19e當(dāng)當(dāng) 時(shí)反彈最高，可擊中時(shí)反彈最高，可擊中C點(diǎn)。點(diǎn)。此時(shí)點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)E（與點(diǎn)（與點(diǎn)C重合）離重合）離D點(diǎn)最遠(yuǎn)，點(diǎn)最遠(yuǎn)，CE = = 0。設(shè)小球設(shè)小球P9從離開(kāi)從離開(kāi)B處到與地面處到與地面碰撞所需的時(shí)間為碰撞所需的時(shí)間為t202122gtHygHt221e當(dāng)當(dāng) 時(shí)，球落下的軌跡與時(shí)，球落下的軌跡與回跳的軌跡回跳的軌跡。設(shè)小球與地面碰撞設(shè)小球與地面碰撞n次擊中次擊中E22tvnSB)161arccos(22HRnSqCD桿上的桿上的E點(diǎn)，為使懸掛點(diǎn)點(diǎn)，為

7、使懸掛點(diǎn)C處的沖量盡可能小，試確定該處的沖量盡可能小，試確定該小球的號(hào)碼及靜止釋放時(shí)的小球的號(hào)碼及靜止釋放時(shí)的q q，此時(shí)此時(shí)CE的距離是多少？沖量有的距離是多少？沖量有多大？多大？當(dāng)碰撞沖量當(dāng)碰撞沖量 IE CE ，且，且作用于撞擊中心，作用于撞擊中心，1CCMJCECHMHM41)21(312H31即即時(shí)，時(shí)，C 處的處的 IC = 0。小球回跳至小球回跳至?xí)r碰撞，碰撞點(diǎn)距地面時(shí)碰撞，碰撞點(diǎn)距地面 。H32mgHmvvvmByx22221)(21設(shè)小球離開(kāi)設(shè)小球離開(kāi)B與地面碰撞前的與地面碰撞前的速度為速度為 vx 、vy vx = vBgHvy2)(00yyivvegHeviy2小球與地面

8、碰撞后的速度小球與地面碰撞后的速度Hgvy32)(2022小球回跳至小球回跳至?xí)r時(shí)3/2ie69/6e設(shè)小球從離開(kāi)設(shè)小球從離開(kāi)B處到與地面碰處到與地面碰撞所需的時(shí)間為撞所需的時(shí)間為t3設(shè)碰撞結(jié)束小球回跳至最高點(diǎn)設(shè)碰撞結(jié)束小球回跳至最高點(diǎn)所需的時(shí)間為所需的時(shí)間為t402123gtHygHt2340gtvygHet26443tvtvSBBHReS262)1 (41arccosq 一個(gè)好的試題應(yīng)該有一個(gè)好的試題應(yīng)該有解決，而采用不同的解決，而采用不同的途徑可以反映出學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解程度、對(duì)力學(xué)概念的掌途徑可以反映出學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解程度、對(duì)力學(xué)概念的掌握程度。握程度。解題時(shí)，可能的處理方式有：解題時(shí)，

9、可能的處理方式有： 如果說(shuō)趣味性是為了吸引學(xué)生對(duì)力學(xué)的興趣，靈活性如果說(shuō)趣味性是為了吸引學(xué)生對(duì)力學(xué)的興趣，靈活性則是為了考查學(xué)生力學(xué)素養(yǎng)的高低。則是為了考查學(xué)生力學(xué)素養(yǎng)的高低。 力學(xué)素養(yǎng)好的學(xué)生，應(yīng)該是力學(xué)概念清楚，能夠領(lǐng)悟力學(xué)素養(yǎng)好的學(xué)生，應(yīng)該是力學(xué)概念清楚，能夠領(lǐng)悟問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，了解處理問(wèn)題的方法和思路，有時(shí)可以不經(jīng)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，了解處理問(wèn)題的方法和思路，有時(shí)可以不經(jīng)過(guò)復(fù)雜分析就能過(guò)復(fù)雜分析就能或或一部分答案。一部分答案。 第第2 2問(wèn)求碰撞點(diǎn)與桿上問(wèn)求碰撞點(diǎn)與桿上D點(diǎn)距離的極大值。點(diǎn)距離的極大值。這一問(wèn)的這一問(wèn)的在于可以在于可以部分答案：采用完全彈部分答案：采用完全彈性小球有可能得到最優(yōu)解，

10、因?yàn)槠渌∏蚨疾荒芊磸椀狡綊佇孕∏蛴锌赡艿玫阶顑?yōu)解，因?yàn)槠渌∏蚨疾荒芊磸椀狡綊仌r(shí)的初始高度。時(shí)的初始高度。第第3 3問(wèn)求懸掛點(diǎn)沖量的極小值。問(wèn)求懸掛點(diǎn)沖量的極小值。 如果學(xué)生如果學(xué)生最小值是否可以為零？這樣自然會(huì)引出碰最小值是否可以為零？這樣自然會(huì)引出碰撞中心的概念，從而順利求解。撞中心的概念，從而順利求解。 但絕大部分學(xué)生會(huì)按正常順序做，即小球從某位置釋放但絕大部分學(xué)生會(huì)按正常順序做，即小球從某位置釋放落下落下反彈反彈與桿碰撞與桿碰撞求極值。如果這樣做，要聯(lián)立大求極值。如果這樣做，要聯(lián)立大量復(fù)雜的公式，還要對(duì)兩個(gè)變量求極值（其中一個(gè)是連續(xù)的量復(fù)雜的公式，還要對(duì)兩個(gè)變量求極值（其中一個(gè)是連續(xù)

11、的角度變量，一個(gè)是離散的號(hào)碼變量）！角度變量，一個(gè)是離散的號(hào)碼變量）！魔術(shù)正式開(kāi)始，仍用上一題中的道具魔術(shù)正式開(kāi)始，仍用上一題中的道具( (板和球的具體參板和球的具體參數(shù)見(jiàn)第三題數(shù)見(jiàn)第三題) )。 魔術(shù)師首先撤去了滾軸魔術(shù)師首先撤去了滾軸D，觀眾看到兩個(gè)水晶球在板上，觀眾看到兩個(gè)水晶球在板上任意位置靜止釋放，都會(huì)從板的任意位置靜止釋放，都會(huì)從板的B端掉下去。但是細(xì)心的觀端掉下去。但是細(xì)心的觀眾發(fā)現(xiàn)，即使兩水晶球放在板的相同位置，掉下去所需時(shí)間眾發(fā)現(xiàn)，即使兩水晶球放在板的相同位置，掉下去所需時(shí)間卻明顯不同。卻明顯不同。 魔術(shù)師解釋說(shuō)，雖然兩魔術(shù)師解釋說(shuō)，雖然兩水晶球的尺寸和重量完全相水晶球的尺寸

12、和重量完全相同，但有一個(gè)水晶球的表面同，但有一個(gè)水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光涂了透明的新型材料，很光滑。說(shuō)完在后落下的水晶球滑。說(shuō)完在后落下的水晶球O1表面貼上了小紙片以示區(qū)別表面貼上了小紙片以示區(qū)別( (假設(shè)小紙片的尺寸和重量相假設(shè)小紙片的尺寸和重量相對(duì)水晶球均是小量對(duì)水晶球均是小量) )。只見(jiàn)魔術(shù)師對(duì)兩個(gè)水晶球吹了吹只見(jiàn)魔術(shù)師對(duì)兩個(gè)水晶球吹了吹，聲稱(chēng)已經(jīng)把魔力注入聲稱(chēng)已經(jīng)把魔力注入其中，然后小心地把貼有紙片的其中，然后小心地把貼有紙片的O1 球靜止放在板上球靜止放在板上( (接觸點(diǎn)接觸點(diǎn)為為B點(diǎn)點(diǎn)) )，同時(shí)讓紙片遠(yuǎn)離接觸位置同時(shí)讓紙片遠(yuǎn)離接觸位置，松手后水晶球松手后水晶球O1竟然

13、真竟然真的可以一直穩(wěn)穩(wěn)地停留在板上的可以一直穩(wěn)穩(wěn)地停留在板上B點(diǎn)。點(diǎn)。在觀眾的掌聲中，魔術(shù)師撤走了在觀眾的掌聲中，魔術(shù)師撤走了O1 球，把球，把O2 球拿了起來(lái)。球拿了起來(lái)。“這個(gè)水晶球不太聽(tīng)話，這個(gè)水晶球不太聽(tīng)話，我的魔力只能管我的魔力只能管1分鐘分鐘” 魔魔術(shù)師說(shuō)完把術(shù)師說(shuō)完把O2 球轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)，球轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)，然后更加小心地把然后更加小心地把O2 球也球也放在板上放在板上( (接觸點(diǎn)為接觸點(diǎn)為B點(diǎn)點(diǎn)) )。觀眾發(fā)現(xiàn)觀眾發(fā)現(xiàn)，O2球在球在B點(diǎn)停留點(diǎn)停留了大約了大約1分鐘，然后在沒(méi)有外界干擾的情況下突然從板上分鐘，然后在沒(méi)有外界干擾的情況下突然從板上B端端掉了下來(lái)掉了下來(lái)根據(jù)題目敘述，試判斷哪個(gè)水晶球

14、涂了新型材料？根據(jù)題目敘述，試判斷哪個(gè)水晶球涂了新型材料？水晶球水晶球O1 可在可在 B點(diǎn)一直穩(wěn)穩(wěn)地停留，簡(jiǎn)要敘述其原點(diǎn)一直穩(wěn)穩(wěn)地停留，簡(jiǎn)要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參數(shù)應(yīng)滿足的必理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參數(shù)應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系。要條件或關(guān)系。水晶球水晶球O2 只能在只能在 B點(diǎn)停留很短的時(shí)間，簡(jiǎn)要敘述其點(diǎn)停留很短的時(shí)間，簡(jiǎn)要敘述其原理，分析其中所涉及的原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參數(shù)應(yīng)關(guān)鍵參數(shù)，以及各參數(shù)應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系。滿足的必要條件或關(guān)系。 根據(jù)題目敘述，試判斷哪個(gè)水晶球涂了新型材料？根據(jù)題目敘述，試判斷哪個(gè)水晶球涂了新型材料？ 水晶球水晶

15、球O1可在可在B點(diǎn)一直點(diǎn)一直穩(wěn)穩(wěn)地停留，簡(jiǎn)要敘述其原理，穩(wěn)穩(wěn)地停留，簡(jiǎn)要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參數(shù)應(yīng)滿足的必要條件以及各參數(shù)應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系?；蜿P(guān)系。涂了新型材料涂了新型材料光滑，先落下。光滑，先落下。在板自重、球重力作用下，在板自重、球重力作用下，板發(fā)生彎曲變形。板發(fā)生彎曲變形。EIlqlEIqlB2623qEIql323lABq qBOBE0PPWB只要只要 （）fqB即即EIqlfBs32tantantan3fq水晶球水晶球O1就靜止于板上的就靜止于板上的B點(diǎn)點(diǎn)000PPrPPEOBrqsinBBPPqqsin1sin0BPq只要小紙

16、片與水晶球的重心落在過(guò)只要小紙片與水晶球的重心落在過(guò)B點(diǎn)的鉛垂線上，點(diǎn)的鉛垂線上，水晶球水晶球O1就能靜止于板上的就能靜止于板上的B點(diǎn)。點(diǎn)。取大于號(hào)時(shí)，小紙取大于號(hào)時(shí)，小紙片與球心的連線非水平，但重心都要落在過(guò)片與球心的連線非水平，但重心都要落在過(guò)B點(diǎn)的鉛垂線上。點(diǎn)的鉛垂線上。要使小紙片與水晶球的重心落在過(guò)要使小紙片與水晶球的重心落在過(guò)B點(diǎn)點(diǎn)的鉛垂線上，必須的鉛垂線上，必須q qBOBE000PPPPEOBrqsinBBrPrPqqsinsin0設(shè)小紙片離設(shè)小紙片離O點(diǎn)的水平距離為點(diǎn)的水平距離為 BrEOrqsinBBrrPrPqqsinsin0BBPqqsin1sin取等號(hào)時(shí)，小紙片與球心的

17、連線水平；取等號(hào)時(shí)，小紙片與球心的連線水平； 水晶球水晶球O2 只能在只能在 B點(diǎn)停留很短的時(shí)間，簡(jiǎn)要敘述其原點(diǎn)停留很短的時(shí)間，簡(jiǎn)要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參數(shù)應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系。各參數(shù)應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系。沒(méi)貼紙片的水晶球沒(méi)貼紙片的水晶球O2 是是問(wèn)題問(wèn)題球在板上打滑，在一段時(shí)間內(nèi)球心速度為零，從而實(shí)現(xiàn)球在板上打滑，在一段時(shí)間內(nèi)球心速度為零，從而實(shí)現(xiàn)動(dòng)平衡。動(dòng)平衡。q qBOBa aw w 在一段時(shí)間后，球心速度不為零，球從板上掉下。在一段時(shí)間后，球心速度不為零，球從板上掉下。FmgxmBqsin BmgFmqcos0NrFmra2

18、52NFfF)cos(sinBBfgxqq rfgB2cos5qatfgxBB)cos(sinqqrfgtB2cos50qww2)cos(sin21tfgxBBqq00 x 00 xrfgttB4cos520qw00w00水晶球水晶球O2可以可以在板上在板上當(dāng)當(dāng)EIqlfB32tantan3q時(shí)時(shí)0 x 0 x 0 x但是，隨著時(shí)間但是，隨著時(shí)間t 增大，增大，角速度角速度w w 減小。減小。rfgtB2cos50qww水晶球水晶球O2會(huì)從板上會(huì)從板上當(dāng)當(dāng)即角速度即角速度w w 時(shí)，時(shí)，摩擦力摩擦力F 也也。0 x 0 x 當(dāng)當(dāng)t =1 min =60 s 時(shí)，時(shí)，w w = 0。rfgBqw

19、cos1500rgBqsin150q qBOBa aw w BfqtanrEIgql3100EIqlB323q 試題以人物為主體，有簡(jiǎn)單的情節(jié)，有看似沖突的結(jié)試題以人物為主體，有簡(jiǎn)單的情節(jié)，有看似沖突的結(jié)果。果。學(xué)生面對(duì)的是奇怪的現(xiàn)象或結(jié)果，需要的條件或參數(shù)學(xué)生面對(duì)的是奇怪的現(xiàn)象或結(jié)果，需要的條件或參數(shù)在敘述中給出。某些條件可能是沒(méi)有用的。在敘述中給出。某些條件可能是沒(méi)有用的。同一問(wèn)題，可以有不同的提問(wèn)方式。同一問(wèn)題，可以有不同的提問(wèn)方式。比較容易，偏重集中性思維。比較容易，偏重集中性思維。比較困難，偏重發(fā)散性思維。比較困難，偏重發(fā)散性思維。魔術(shù)師的問(wèn)題是典型的逆問(wèn)題，令人回味。魔術(shù)師的問(wèn)題是

20、典型的逆問(wèn)題，令人回味。真正的魔術(shù)表演，往往令觀眾百思不得其解，可是一真正的魔術(shù)表演，往往令觀眾百思不得其解，可是一旦解密，又很簡(jiǎn)單。旦解密，又很簡(jiǎn)單。 平時(shí)的作業(yè)絕大部分是平時(shí)的作業(yè)絕大部分是，很容易有思路，很容易有思路，剩下的只是補(bǔ)充細(xì)節(jié)。但剩下的只是補(bǔ)充細(xì)節(jié)。但的問(wèn)題往往讓學(xué)生不的問(wèn)題往往讓學(xué)生不容易找到思路，需要在各種可能的方法中試探比較。容易找到思路，需要在各種可能的方法中試探比較。 發(fā)散性思維問(wèn)題可以激發(fā)學(xué)生思考的積極性，同時(shí)讓發(fā)散性思維問(wèn)題可以激發(fā)學(xué)生思考的積極性，同時(shí)讓學(xué)生在思考過(guò)程中把學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分類(lèi)、組合、過(guò)濾，學(xué)生在思考過(guò)程中把學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分類(lèi)、組合、過(guò)濾，提高學(xué)生處

21、理問(wèn)題的能力。提高學(xué)生處理問(wèn)題的能力。 一個(gè)設(shè)計(jì)得很好的發(fā)散性思維問(wèn)題應(yīng)該是開(kāi)始時(shí)讓學(xué)一個(gè)設(shè)計(jì)得很好的發(fā)散性思維問(wèn)題應(yīng)該是開(kāi)始時(shí)讓學(xué)生百思不得其解，想到點(diǎn)子上立刻豁然開(kāi)朗。生百思不得其解，想到點(diǎn)子上立刻豁然開(kāi)朗。 試題中最明顯的試題中最明顯的是所謂的魔術(shù)師的問(wèn)是所謂的魔術(shù)師的問(wèn)題：水晶球?yàn)槭裁茨芡Ａ粼诿黠@傾斜的水晶板上，需要題：水晶球?yàn)槭裁茨芡Ａ粼诿黠@傾斜的水晶板上，需要學(xué)生從各種角度去解釋這看似不可能的現(xiàn)象。學(xué)生從各種角度去解釋這看似不可能的現(xiàn)象。第第2 2問(wèn)中魔術(shù)師看似不經(jīng)意貼的小紙片對(duì)水晶球的平問(wèn)中魔術(shù)師看似不經(jīng)意貼的小紙片對(duì)水晶球的平衡有重要影響。這是衡有重要影響。這是問(wèn)題。問(wèn)題。第第

22、3 3問(wèn)的要點(diǎn)是問(wèn)的要點(diǎn)是。如果知道本問(wèn)可以用剛。如果知道本問(wèn)可以用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程來(lái)解釋?zhuān)嘈藕芏鄬W(xué)生可能會(huì)驚訝體平面運(yùn)動(dòng)微分方程來(lái)解釋?zhuān)嘈藕芏鄬W(xué)生可能會(huì)驚訝為什么當(dāng)時(shí)想不到這一點(diǎn)。為什么當(dāng)時(shí)想不到這一點(diǎn)。一半球形高腳玻璃杯，半徑一半球形高腳玻璃杯，半徑r=5 cm，其質(zhì)量，其質(zhì)量m1=0.3 kg，杯底座半徑杯底座半徑R=5 cm，厚度不計(jì)，杯腳高度，厚度不計(jì)，杯腳高度h=10 cm。如果有。如果有一個(gè)質(zhì)量一個(gè)質(zhì)量m2=0.1 kg 的光滑小球自杯子的邊緣由靜止釋放后的光滑小球自杯子的邊緣由靜止釋放后沿杯的內(nèi)側(cè)滑下，小球的半徑忽沿杯的內(nèi)側(cè)滑下，小球的半徑忽略不計(jì)。已知杯子底座與水平面

23、略不計(jì)。已知杯子底座與水平面之間的靜摩擦因數(shù)之間的靜摩擦因數(shù) fs。試分。試分析小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：析小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中：高腳玻高腳玻璃杯會(huì)不會(huì)滑動(dòng)；璃杯會(huì)不會(huì)滑動(dòng)；高腳玻璃杯高腳玻璃杯會(huì)不會(huì)側(cè)傾（即一側(cè)會(huì)不會(huì)側(cè)傾（即一側(cè)翹起）。翹起）。O杯子杯子小球小球小球在杯子未運(yùn)小球在杯子未運(yùn)動(dòng)前不脫離杯子動(dòng)前不脫離杯子動(dòng)能定理動(dòng)能定理cos021222grmvm牛頓第二定理牛頓第二定理cos2122gmFrvmcos321gmF 方程方程、杯子杯子Ox0ixF0sin1FF2sin5 . 12gmF 0iyF0cos11NFgmF221Ncos3gmgmF最大靜滑動(dòng)摩擦力最大靜滑動(dòng)摩擦力NSmaxFfFm

24、axFF 213mm )cos1 (5 . 122gm因因杯子杯子所以假設(shè)成立所以假設(shè)成立當(dāng)杯子處于側(cè)傾的當(dāng)杯子處于側(cè)傾的平衡狀態(tài)時(shí)平衡狀態(tài)時(shí)x = 0Ox0CiMC0)(sin)cos(111hrFRFgm0cossin3cos12綜上，當(dāng)小球自杯子的邊緣由靜止釋放后綜上，當(dāng)小球自杯子的邊緣由靜止釋放后沿杯子的內(nèi)側(cè)滑下到與鉛垂方向夾角沿杯子的內(nèi)側(cè)滑下到與鉛垂方向夾角 O時(shí)，高腳玻璃杯時(shí)，高腳玻璃杯（一側(cè)翹起）。（一側(cè)翹起）。解解 454 .63或或即即4 .63時(shí)，杯子側(cè)傾。時(shí)，杯子側(cè)傾。小球小球經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)的位置的位置 4 .63返回返回0cossin3cos120cos2cossin3sin

25、220)cos2)(sincos(sin1tan2tan或或 45或或4 .631cossin221.1.雜技演員將一個(gè)剛性圓環(huán)沿水平地面滾出，起始圓環(huán)雜技演員將一個(gè)剛性圓環(huán)沿水平地面滾出，起始圓環(huán)一跳一跳地向前滾動(dòng)，隨后不離開(kāi)地面向前滾動(dòng)，為什么？一跳一跳地向前滾動(dòng)，隨后不離開(kāi)地面向前滾動(dòng)，為什么？2.2.雜技演員拿出一個(gè)勻質(zhì)圓環(huán)，沿粗糙的水平地面向前雜技演員拿出一個(gè)勻質(zhì)圓環(huán)，沿粗糙的水平地面向前拋出，不久圓環(huán)又自動(dòng)返回到演員跟前。設(shè)圓環(huán)與地面接觸拋出，不久圓環(huán)又自動(dòng)返回到演員跟前。設(shè)圓環(huán)與地面接觸瞬時(shí)圓環(huán)中心瞬時(shí)圓環(huán)中心O 的速度大小為的速度大小為v0，圓環(huán)的角速度為，圓環(huán)的角速度為w w

26、0，圓環(huán)，圓環(huán)半徑為半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，圓環(huán)與地面間的靜摩擦因數(shù)為圓環(huán)與地面間的靜摩擦因數(shù)為 fs，不計(jì)，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試問(wèn)：滾動(dòng)摩阻，試問(wèn)：圓環(huán)能自己滾回來(lái)的條件是什么？圓環(huán)能自己滾回來(lái)的條件是什么？圓環(huán)開(kāi)始向回滾動(dòng)直到無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，圓環(huán)開(kāi)始向回滾動(dòng)直到無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓環(huán)所走過(guò)的距離是多少？在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓環(huán)所走過(guò)的距離是多少？當(dāng)圓環(huán)在水平地面上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)當(dāng)圓環(huán)在水平地面上無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，其中心的速度其中心的速度大小為大小為v1，圓環(huán)平面保持在鉛垂平面內(nèi)。試分析圓環(huán)碰到高，圓環(huán)平面保持在鉛垂平面內(nèi)。試分析圓環(huán)碰到高為為h( (hr/2) )的無(wú)彈性臺(tái)階后，能不脫

27、離接觸地爬上該臺(tái)階所的無(wú)彈性臺(tái)階后，能不脫離接觸地爬上該臺(tái)階所應(yīng)滿足的條件。應(yīng)滿足的條件。，假設(shè)圓環(huán)保持在鉛垂平面內(nèi)滾動(dòng)假設(shè)圓環(huán)保持在鉛垂平面內(nèi)滾動(dòng)，如圖所示如圖所示。又知鐵棍與又知鐵棍與圓環(huán)之間的靜摩擦因數(shù)為圓環(huán)之間的靜摩擦因數(shù)為 ft ，圓環(huán)與地面間的滾動(dòng)摩阻系數(shù)為圓環(huán)與地面間的滾動(dòng)摩阻系數(shù)為d d。試。試求為使鐵棍的推力求為使鐵棍的推力( (鐵棍對(duì)圓環(huán)的作用鐵棍對(duì)圓環(huán)的作用力力) )最小，圓環(huán)上與鐵棍的接觸點(diǎn)的位最小，圓環(huán)上與鐵棍的接觸點(diǎn)的位置。置。1.1.雜技演員將一個(gè)剛性圓環(huán)沿水平地面滾出，起始圓環(huán)雜技演員將一個(gè)剛性圓環(huán)沿水平地面滾出，起始圓環(huán)一跳一跳地向前滾動(dòng)，隨后不離開(kāi)地面向前滾

28、動(dòng)，為什么？一跳一跳地向前滾動(dòng)，隨后不離開(kāi)地面向前滾動(dòng)，為什么？，質(zhì)心不在圓環(huán)的中心。，質(zhì)心不在圓環(huán)的中心。開(kāi)始滾動(dòng)角速度大，圓環(huán)一跳一跳地向前滾動(dòng)；開(kāi)始滾動(dòng)角速度大，圓環(huán)一跳一跳地向前滾動(dòng)；隨后角速度減小，所以圓環(huán)不離開(kāi)地面向前滾動(dòng)。隨后角速度減小，所以圓環(huán)不離開(kāi)地面向前滾動(dòng)。CDwrvvD圓環(huán)與地面接觸點(diǎn)圓環(huán)與地面接觸點(diǎn)D剛開(kāi)始剛開(kāi)始0Dv圓環(huán)與地面有圓環(huán)與地面有NssFfF mgF NsFmagfas勻減速運(yùn)動(dòng)勻減速運(yùn)動(dòng)gtfvvs0rFmrs2aCDmgfFssrgf/sa圓環(huán)勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)圓環(huán)勻減速轉(zhuǎn)動(dòng)rgtf/s0ww由于摩擦力存在由于摩擦力存在v 和和w w 都隨時(shí)間而減小都隨時(shí)間而減小gtfrvrvvDs002ww隨時(shí)間減小隨時(shí)間減小0Dv時(shí)刻開(kāi)始時(shí)刻開(kāi)始gfrvts0012w即即此時(shí)質(zhì)心速度大小為此時(shí)質(zhì)心速度大小為要使圓環(huán)能夠返回，必須要使圓環(huán)能夠返回，必須1s01gtfvv)(2100rvw01v即即rv00wCD質(zhì)心速度質(zhì)心速度0vgfvts02此時(shí)此時(shí)所需時(shí)間為所需時(shí)間為gfrvts0012w00vrvDw00Dv所需時(shí)間為所需時(shí)間為圓環(huán)從開(kāi)始向回滾動(dòng)直到純滾動(dòng)的過(guò)程中：圓環(huán)從開(kāi)始向回滾動(dòng)直到純滾動(dòng)的過(guò)程中：所求距離所求距離221)(21ttaSgfs質(zhì)心作初速度為零、加速度為質(zhì)心作初速度為零、加速度為 的加速運(yùn)