一致連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

1、1、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，證明在上一致可導(dǎo)的充分必要條件是在上連續(xù)。這里在上一致可導(dǎo)是指：對任給，存在，使得對任意，當(dāng)時(shí)，就有成立。 證明 充分性 設(shè)在上連續(xù)，于是在上一致連續(xù)， 對任給，存在，使得對任意，當(dāng)時(shí)，就有成立；對任意，存在位于之間，使得，顯然，于是，即得在上一致可導(dǎo)；必要性 設(shè)在上一致可導(dǎo)，注到的地位對稱，因此有對任給，存在，當(dāng)，時(shí)，就有，從而 ，故得到在上一致連續(xù)，因此在上連續(xù)。2、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上非李普希茲連續(xù)，證明在區(qū)間上一致連續(xù)的充分必要條件是：對任給的，總存在正數(shù)，使當(dāng)，滿足時(shí)，就有.證明 充分性 對任給，取，對任意，當(dāng)時(shí)， 若滿足，就有；若成立，則有，即得在區(qū)間上一致連續(xù)

2、。充分性 用反證法.假若在區(qū)間上不一致連續(xù)，則存在，存在，使得，但，則有，由假設(shè)條件，對，只需要充分大，就滿足，就有，矛盾，所以在區(qū)間上一致連續(xù)；必要性 證法一 設(shè)在區(qū)間上一致連續(xù)，對任意，存在，當(dāng)，時(shí)，有；若有，滿足，必有，取，若有，滿足時(shí)，我們斷言必有；假若不成立，也就是假若有，必得矛盾。 事實(shí)上，令，則存在正整數(shù)，使得，設(shè)，則有，； 不妨設(shè)，因?yàn)?，故由連續(xù)函數(shù)介值定理，知存在，使得，；同理，存在，使得，；如此繼續(xù)下去，則得，其中規(guī)定；這時(shí)，對每個，因?yàn)椋视梢恢逻B續(xù)的定義，；從而，這與，矛盾；對于的情況，可類似討論。必要性證畢。 證法二 假若結(jié)論不成立，則存在，對任意正整數(shù) ，存在，盡管

3、，但； 由于在區(qū)間上一致連續(xù)，對，存在，當(dāng)，時(shí)，有；于是必有，不妨設(shè)，則存在正整數(shù)，使得，取，；，則有，從而有，這與相矛盾，故必要性結(jié)論成立。注：對函數(shù)，或者，或，顯然在上一致連續(xù)，不出現(xiàn)必要性的條件，不成立必要性的結(jié)論，所以此題應(yīng)只有充分性，應(yīng)無必要性.再者條件也難造出來。 對，顯然在上一致連續(xù)；，若，且 ，則必有 ， 。對，顯然在上一致連續(xù)。例29,（）.解 ，又，故.例30證明（1）；（2），（）.證明 設(shè)是以為周期的函數(shù)，;當(dāng)時(shí)，（）;由傅立葉展開定理,得，特別地，當(dāng)時(shí)，有，于是；故.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，試證明：在上一致連續(xù)的充分必要條件是對區(qū)間上任意兩數(shù)列與，當(dāng)時(shí)，有.1 證明

4、：必要性 設(shè)在上一致連續(xù)，則對，當(dāng)，時(shí)，有.由，對于上述，當(dāng)時(shí)，有，從而有，所以.充分性：用反證法 假設(shè)在上不一致連續(xù)，則，對，存在，盡管，但，不妨取，存在，盡管，但，上述，滿足，但是，與條件,矛盾.二、 設(shè)于區(qū)間上一致連續(xù)，且收斂，證明 也收斂，問若將于區(qū)間上一致連續(xù)改為于區(qū)間上連續(xù)，上述結(jié)論是否仍成立？說明理由.證明 由于在上一致連續(xù)，對任意，存在，當(dāng)，時(shí)，有，由收斂，知對上述，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，于是有，即是Cauchy序列，所以收斂.若在上連續(xù)，收斂 ，未必有收斂，例如，顯然收斂，但是不收斂.三、設(shè)為有限區(qū)間，在上有定義，試證：在上一致收斂充要條件是把Cauchy序列映射為Cauch

5、y序列，（即當(dāng)為Cauchy序列時(shí)，亦為Cauchy序列）。證明 必要性 設(shè)在上一致連續(xù)，對，當(dāng)時(shí)，有，設(shè)是Cauchy序列，則對此，當(dāng)時(shí)，有，從而有，所以有是Cauchy序列；充分性 用反證法，假若在上非一致連續(xù)，則，雖然，但，注意到為有限區(qū)間， ，因此中存在收斂的子列，因，故亦收斂，且，從而穿插之后，序列亦收斂，為Cauchy序列，但其像序列恒有，不是Cauchy序列，與一致條件矛盾，所以假設(shè)不成立，故有在上一致連續(xù)，命題得證。注：當(dāng)為無限區(qū)間時(shí)，充分性不再成立，例如把上的任一Cauchy序列，映成Cauchy序，但在上不一致連續(xù)。四、 設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上，定義，證明在上一致連續(xù).五、設(shè)在

6、有限區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，證明：也在內(nèi)一致連續(xù)。證明 首先證明都在上有界，因?yàn)樵谟邢迏^(qū)間內(nèi)一致連續(xù)，從而存在，滿足當(dāng)此，時(shí)，有 ，現(xiàn)取正整數(shù)，滿足，令，；對任意，存在，使得 ， ，即得在上是有界的； 同理在上也是有界的； 下面證明，若在區(qū)間上有界，且都一致連續(xù)，則在區(qū)間上一致連續(xù)。 設(shè)，滿足，;那么由得一致連續(xù)性得到，對于任意，存在，使得當(dāng)，時(shí)，有 ，從而，即得在上一致連續(xù)。1. 設(shè)在上一致連續(xù)，在上連續(xù)，且，證明：在上一致連續(xù).證明：設(shè)，則在上連續(xù)，由存在，可知在上一致連續(xù)，又在上一致連續(xù)，所以在上一致連續(xù).3、設(shè)在上連續(xù)可微，收斂，且在上一致連續(xù)，試證必有.證明 由在上一致連續(xù)，得，對，當(dāng)，且時(shí)

7、，便有；由收斂，由微分中值定理，存在，使得，于是有.對上述，存在，當(dāng)時(shí)，便有； 取，對任意，必存在正整數(shù)，使得，故得 .4、設(shè)且存在，在上有界，試證成立 .5、用定積分的定義證明：若在上連續(xù)，且存在上的連續(xù)可微函數(shù)，使得，則在a, b上可積，且 .證明：對區(qū)間的任意分割：，任取 ，記，；存在，使得，；再由在上一致連續(xù)，得，對，當(dāng)時(shí)，有，；從而，即得函數(shù)在上可積，且 。6、用積分的定義，（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算 .解.（1） ，提示： ， ，仿照4題的證明過程，可具體可算出使得 成立的點(diǎn)； （2），提示： ， 。定理9 若在上連續(xù),則在上必可積.證明:由在上連續(xù)，得在上一致連續(xù)，對任意給定，由一致連續(xù)性，必存在，使得對任意的，只要，就有.取定的一個分割,使,由最大、最小值定理,可取,使 ,從而.根據(jù)定理6 , 在上可積.定理 設(shè)在上連續(xù)。對區(qū)間的任意分割：，任取 ，記，；成立。證明 因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上可積，于是；再由在上連續(xù)，得在上有界，在上一致連續(xù)，進(jìn)而成立，故結(jié)果得證。1. 證明：（1）若在上連續(xù)可導(dǎo)，且都收斂，則有 ； （2）設(shè)在上連續(xù)，且收斂，若在上一致連續(xù)，則必有 .（1）提示：由及條件，得存在，又收斂，得.（2）證明 由在上一致連續(xù)，得，對，當(dāng)，且時(shí)，便有；由于收斂，則有，由積分平均值定理，存在，使得，于是有，對上述，存在，當(dāng)時(shí)，便有； 取，對任意，必存