一致收斂性及其判別法ppt課件

1、一、一致收斂性及其判別法一、一致收斂性及其判別法二、含參量反常積分的性質(zhì)二、含參量反常積分的性質(zhì)2 2 含參量反常積分含參量反常積分定義在無界區(qū)域定義在無界區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxf一、一致收斂性及其判別法一、一致收斂性及其判別法,| ),( ycbxayxR反反常常積積分分的的上上，若若對對于于每每一一個個固固定定,bax )1(),( cdyyxf有有記記這這個個函函數(shù)數(shù)為為的的函函數(shù)數(shù)則則它它是是都都收收斂斂),(,xIx,),()(baxdyyxfxIc 的的無無窮窮限限上上的的含含參參量量式式為為定定義義在在則則xba,量量反反常常積積分分反反常常積積分分，或或簡簡稱稱含含參參反反

2、常常積積分分即即對對于于每每一一個個,bax 都收斂，由反常積分收斂的定義，即都收斂，由反常積分收斂的定義，即 | )(),(|xIdyyxfMc其中其中 N 與與 x 有關(guān)有關(guān). 如果存在一個與如果存在一個與,bax 無關(guān)的無關(guān)的)( N使得該不等式成立，就稱使得該不等式成立，就稱反常積分在區(qū)間反常積分在區(qū)間 a, b 上一致收斂上一致收斂 cdyyxfxI),()( cdyyxfxI),()(設(shè)反常積分設(shè)反常積分在在 a, b 收斂收斂,),(, 0cxN 使得使得,NM ，都都有有對對一一切切,bax | )(),(|xIdyyxfMc),(,xIba一一致致收收斂斂于于在在則則稱稱含含

3、參參量量反反常常積積分分 cdyyxf),(.,一一致致收收斂斂或或含含參參量量積積分分在在ba0,NcMN 若使得當(dāng)時，定義定義1. |),(|Mdyyxf所以上述定義中的不等式所以上述定義中的不等式 cdyyxfxI),()(由于由于 | )(),(|xIdyyxfMc也可表示為也可表示為 一致收斂一致收斂在在積分積分,),(badyyxfc時時，對對一一切切，使使得得當(dāng)當(dāng)MAAcM 21, 0 ，都都有有,bax |),(|21AAdyyxf19.7(定理一致收斂的柯西準則）設(shè)含量反常設(shè)含量反常但在但在）上一致收斂（其中）上一致收斂（其中，在在),0 ）內(nèi)不一致收斂。）內(nèi)不一致收斂。，（

4、 0 |dsin|Ayyxy分析分析要證：要證：時時，使使得得當(dāng)當(dāng)NAN , 0, 0 ，都都有有對對一一切切), x0sin xydyy證明含參量反常積分例例1.證證:令令 u = x y , 得得 AxAuuuyyxydsindsin其中其中 A 0. 由于由于 0dsinuuu收斂，故收斂，故時時，使使得得當(dāng)當(dāng)MAcM , 0 就有就有 |dsin|Auuu取取 ，MA 則當(dāng)則當(dāng)，NA時時 ，MN 對一切對一切，) ，x 有有，MAAx |dsin|dsin|AxAuuuyyxy從而從而 0sindyyxy），在在 所以所以一致收斂一致收斂.19.8( , )cf x y dy設(shè)含參量反

5、常積分定理一致收斂一致收斂在在,ba，其其中中的的遞遞增增數(shù)數(shù)列列對對任任一一趨趨于于)(1cAAn 函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù))(),(111xudyyxfnnnAAnn .,上一致收斂上一致收斂在在baM魏爾斯特拉斯判別法).,),(),( cybaxygyxf ccyyxfdyygd),(,)(則則收收斂斂若若使使得得設(shè)設(shè)有有函函數(shù)數(shù)),(yg.,上一致收斂上一致收斂在在ba.),(上上一一致致收收斂斂在在 證證因為，有因為，有并且反常積分并且反常積分dxx 0211收斂收斂所以所以dxxxy 021cos.),(上上一一致致收收斂斂在在 2211|1cos|xxxy y證明含參量反常積分dx

6、xxy 021cos例例狄利克雷判別法狄利克雷判別法設(shè)設(shè) 存在存在 M 0, M 0, 對一切對一切 N c , N c , 及一切及一切 x a, b x a, b MyyxfNc |d),(|都有都有 對每一個固定的對每一個固定的 x a, b x a, b ，函數(shù)，函數(shù) g ( x, y ) g ( x, y ) 關(guān)于關(guān)于 y y 單調(diào)遞減且當(dāng)單調(diào)遞減且當(dāng)y時，對參量時，對參量 x , g ( x, y ) 一致一致地收斂于地收斂于 0 ， 那么那么 cyyxgyxfd),(),(在在 a, b 上一致收斂上一致收斂.阿貝爾判別法阿貝爾判別法設(shè)設(shè) 對每一個固定的對每一個固定的 x a,

7、b x a, b ，函數(shù)，函數(shù) g ( x, y ) g ( x, y ) 為為 y y 的單調(diào)函數(shù)，且存在的單調(diào)函數(shù)，且存在 M 0, 使得使得那么那么 cyyxgyxfd),(),(在在 a, b 上一致收斂上一致收斂. cyyxfd),(在在 a, b 上一致收斂上一致收斂.cybaxMyxg ,| ),(|., 0上上一一致致收收斂斂在在d收斂，收斂，證證因為，反常積分因為，反常積分dxxx 0sin從而對于參量從而對于參量 y 它在它在 0, d 上一致收斂，上一致收斂，函數(shù)函數(shù)xyyxg e),(對每個對每個 x 0, d ，關(guān)于變量，關(guān)于變量 y 0,0, 1|e| ),(| x

8、dyyxgxy單調(diào)減少，且在單調(diào)減少，且在 0, d 上一致有界：上一致有界：故由阿貝爾判別法，知故由阿貝爾判別法，知dxxxxy 0sine在在 0, d 上一致收斂上一致收斂證明含參量反常積分dxxxxy 0sine例例 3 cdyyxfxI),()(二、含參量反常積分的性質(zhì)二、含參量反常積分的性質(zhì)),(yxf定理定理 19.919.9連續(xù)性）連續(xù)性） 設(shè)設(shè)在在), cba連續(xù)，假設(shè)連續(xù)，假設(shè)上上一一致致收收斂斂，在在,ba上上連連續(xù)續(xù)。在在則則,)(baxI證證: : cdyyxfxI),()(上上在在,ba因為因為一一致致收收斂斂，由定理由定理19.819.8，對任一遞增且趨于，對任一

9、遞增且趨于 的數(shù)列的數(shù)列),(1cAAn 函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) 11)(d),()(1nnnAAxuyyxfxInn在在),(yxf), cba在在 a, b a, b 上一致收斂上一致收斂. .又由于又由于連續(xù)，連續(xù)，故每個故每個 un( x ) un( x ) 都在都在 a, b a, b 上連續(xù)上連續(xù). .根據(jù)函數(shù)項根據(jù)函數(shù)項.,)(上上連連續(xù)續(xù)在在baxI級數(shù)的連續(xù)性定理，函數(shù)級數(shù)的連續(xù)性定理，函數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)，若若 cdyyxfxIcba),()(),上上一一致致收收斂斂，在在上上收收斂斂，,),(,badyyxfbacx 上上可可微微，且且在在則則,)(baxI cxdyyxf

10、xI),()(在在區(qū)區(qū)域域與與設(shè)設(shè)),(),(yxfyxfx定理定理 19.10上上連連續(xù)續(xù)，若若), cba cdyyxfxI),()(上上在在上一致收斂，則上一致收斂，則在在,)(,baxIba可積，且可積，且 cbacbaxdyxfdydyyxfdx),(),(在在設(shè)設(shè)),(yxf（可積性）（可積性）定理定理11.19若若上上連連續(xù)續(xù).),), ca19.12定理在在設(shè)設(shè)),(yxf axyxfd),(上上一一致致收收斂斂，在在任任何何閉閉區(qū)區(qū)間間關(guān)關(guān)于于,dcy cyyxfd),(上上一一致致收收斂斂，在在任任何何閉閉區(qū)區(qū)間間關(guān)關(guān)于于,bax cayyxfdxd| ),(|積分積分與與 caxyxfdyd| ),(|中有一個收斂，則另一個積分也收斂，且中有一個收斂，則另一個積分也收斂，且 cacaxyxfdyyyxfdxd),(d),(), 0(dsinsine0abpxxaxbxIpx 例例5計算計算 0dsinxxaxI例例6計算計算例例7計算計算xrxrxdcose)(