小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理

1、小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理學(xué)而思教材編寫組侍春雷前言小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理，對(duì)于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過，對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國少年報(bào)社主編的華杯賽教材、華杯賽集訓(xùn)指南以及學(xué)而思的寒假班系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題），原則上簡明扼要，努力刻畫小學(xué)奧數(shù)知識(shí)的主樹干。                  

2、60;           概述一、計(jì)算1四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)運(yùn)算順序分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧一般而言：加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化繁分?jǐn)?shù)的化簡2簡便計(jì)算湊整思想基準(zhǔn)數(shù)思想裂項(xiàng)與拆分提取公因數(shù)商不變性質(zhì)改變運(yùn)算順序運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用連減的性質(zhì)連除的性質(zhì)同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)增減括號(hào)的性質(zhì)變式提取公因數(shù)形如： 3估算求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法4比較大小通分a.通分母b.通分子跟“中介”比利用倒數(shù)性質(zhì)若 ，則c>b>a.。形如： ，則 。5定義新運(yùn)算6特殊數(shù)列求和

3、運(yùn)用相關(guān)公式： 1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n 二、數(shù)論1奇偶性問題奇 奇=偶          奇×奇=奇奇 偶=奇          奇×偶=偶偶 偶=偶          偶×偶=偶2位值原則形如： =100a+10b+c3數(shù)的整除特征：整除數(shù)特    征2末尾是0、2、4、6、83各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上

4、數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)4整除性質(zhì)如果c|a、c|b，那么c|(a b)。如果bc|a，那么b|a，c|a。如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。如果c|b,b|a,那么c|a.a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。5帶余除法一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0rb,使得a=b×q+r當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。當(dāng)r0時(shí)，我們稱a不能被b整

5、除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=qr, 0rb a=b×q+r6. 唯一分解定理任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1 × p2 ×.×pk 7.約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 × p2 ×.×pk 那么：n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1)n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1 +p1 ）（1+P2+P2 +p2 ）（1+Pk+Pk +pk ）8.同余定理 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被

6、自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為ab(mod m)若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。9完全平方數(shù)性質(zhì)平方差：A -B =（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。平方和。10孫子定理（中國剩余定理）11輾轉(zhuǎn)相除法12數(shù)論解題的常用方法：枚舉、歸

7、納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)三、幾何圖形1平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2)×180°等積變形（位移、割補(bǔ)）三角形內(nèi)等底等高的三角形平行線內(nèi)等底等高的三角形公共部分的傳遞性極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系         S1S2 =ab ；S1S2=S4S3 或者S1×S3=S2×S4相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ;S1S2=a2A2S1S3S2S4= a2b2abab ;S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF

8、：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；差不變?cè)碇?-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。隱含條件的等價(jià)代換例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。組合圖形的思考方法化整為零先補(bǔ)后去正反結(jié)合2立體圖形規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形   水中浸放物體：V升水=V物    測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開圖最短線路與展開圖形狀問題染色問題幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。四、典型應(yīng)用題1植樹問題開放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系2方陣問題外層邊長數(shù)-2=內(nèi)層邊長數(shù)（外層邊長數(shù)-1）&#

9、215;4=外周長數(shù)外層邊長數(shù)2-中空邊長數(shù)2=實(shí)面積數(shù)3列車過橋問題車長+橋長=速度×時(shí)間車長甲+車長乙=速度和×相遇時(shí)間車長甲+車長乙=速度差×追及時(shí)間列車與人或騎車人或另一列車上的司機(jī)的相遇及追及問題車長=速度和×相遇時(shí)間車長=速度差×追及時(shí)間4年齡問題差不變?cè)?雞兔同籠假設(shè)法的解題思想6牛吃草問題原有草量=（牛吃速度-草長速度）×時(shí)間7平均數(shù)問題8盈虧問題分析差量關(guān)系9和差問題10和倍問題11差倍問題12逆推問題      還原法，從結(jié)果入手13代換問題   

10、60;  列表消元法      等價(jià)條件代換五、行程問題1相遇問題路程和=速度和×相遇時(shí)間2追及問題路程差=速度差×追及時(shí)間3流水行船順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷24多次相遇線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)×2-1環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=單在單個(gè)全程所行路程×共行全程數(shù)5環(huán)形跑道6行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路程一定，速度和時(shí)間成反比。速度一定，路程和時(shí)間成正比。時(shí)間一定，路程和速

11、度成正比。7鐘面上的追及問題。時(shí)針和分針成直線；時(shí)針和分針成直角。8結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問題的一些類型。9行程問題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。六、計(jì)數(shù)問題1加法原理：分類枚舉2乘法原理：排列組合3容斥原理：總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC常用：總數(shù)量=A+B-AB4抽屜原理：至多至少問題5握手問題在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛角、線段、三角形，長方形、梯形、平行四邊形正方形七、分?jǐn)?shù)問題1量率對(duì)應(yīng)2以不變量為“1”3利潤問題4濃度問題倒三角原理例： 5工程問題  合作問題水池進(jìn)出水問題6按比例分配八、方程解題1等量關(guān)系相關(guān)聯(lián)量的表示法例： 

12、  甲 + 乙=100甲÷乙=3x100-x3xx解方程技巧恒等變形2二元一次方程組的求解代入法、消元法3不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度4不等方程的分析求解九、找規(guī)律周期性問題年月日、星期幾問題余數(shù)的應(yīng)用數(shù)列問題等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d求項(xiàng)數(shù)：n= 求和：S= 等比數(shù)列求和：S= 裴波那契數(shù)列策略問題搶報(bào)30放硬幣最值問題最短線路a.一個(gè)字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數(shù)最優(yōu)化問題a.統(tǒng)籌方法b.烙餅問題十、算式謎1填充型2替代型3填運(yùn)算符號(hào)4橫式變豎式5結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn)十一、數(shù)陣問題1相等和值問題2數(shù)列分組知行列數(shù)，求某數(shù)知某數(shù)，求行列數(shù)

13、3幻方奇階幻方問題：楊輝法  羅伯法偶階幻方問題：雙偶階：對(duì)稱交換法單偶階：同心方陣法十二、二進(jìn)制1二進(jìn)制計(jì)數(shù)法二進(jìn)制位值原則二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化二進(jìn)制的運(yùn)算2其它進(jìn)制（十六進(jìn)制）十三、一筆畫1一筆畫定理：一筆畫圖形中只能有0個(gè)或兩個(gè)奇點(diǎn)；兩個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)必須從一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)，另一個(gè)奇點(diǎn)出；2哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈3多筆畫定理筆畫數(shù)= 十四、邏輯推理1等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換2列表法3對(duì)陣圖競賽問題，涉及體育比賽常識(shí)十五、火柴棒問題1移動(dòng)火柴棒改變圖形個(gè)數(shù)2移動(dòng)火柴棒改變算式，使之成立十六、智力問題1突破思維定勢2某些特殊情境問題十七、解題方法（結(jié)合雜題的處理）1代換法2消元法3倒推法4假設(shè)法5反證法6極值法7設(shè)數(shù)法8整體法9畫圖法10列表法11排除