第2章單自由度系統(tǒng)的振動ppt課件

1、第2章 單自由度系統(tǒng)的振動飛飛 行行 器器 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 動動 力力 學(xué)學(xué) 第第2 2章章 單自在度系統(tǒng)的振動單自在度系統(tǒng)的振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動西北工業(yè)大學(xué)西北工業(yè)大學(xué)第第2 2章章 單自在度系統(tǒng)的振動單自在度系統(tǒng)的振動 飛飛 行行 器器 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 動動 力力 學(xué)學(xué) 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動第第2 2章章 單自在度系統(tǒng)的振動單自在度系統(tǒng)的振動 2.1 2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動 2.2 2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 2.3 2.3 單自在度系統(tǒng)的工程運(yùn)用單自在度系統(tǒng)的工程運(yùn)用 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動第第2 2章章 單自在度系統(tǒng)

2、的振動單自在度系統(tǒng)的振動 2.1 2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動 正如第一章所述，振動系統(tǒng)可分為離散模型和延正如第一章所述，振動系統(tǒng)可分為離散模型和延續(xù)模型兩種不同的類型。離散模型具有有限個自在度續(xù)模型兩種不同的類型。離散模型具有有限個自在度，而延續(xù)模型那么具有無限個自在度。，而延續(xù)模型那么具有無限個自在度。 系統(tǒng)的自在度定義為能完全描畫系統(tǒng)運(yùn)動所必系統(tǒng)的自在度定義為能完全描畫系統(tǒng)運(yùn)動所必需的獨(dú)立的坐標(biāo)個數(shù)。需的獨(dú)立的坐標(biāo)個數(shù)。 在離散模型中，最簡單的是單自在度線性系統(tǒng)，在離散模型中，最簡單的

3、是單自在度線性系統(tǒng)，它用一個二階常系數(shù)常微分方程來描畫。這類模型常它用一個二階常系數(shù)常微分方程來描畫。這類模型常用來作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似描畫。用來作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似描畫。第2章 單自在度系統(tǒng)的振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 彈性元件最典型的例子是彈簧，通常假定彈簧為無質(zhì)量元彈性元件最典型的例子是彈簧，通常假定彈簧為無質(zhì)量元件。如圖件。如圖2-1(a)所示，彈簧力所示，彈簧力Fs 與其相對變形與其相對變形 x2-x1的典型函數(shù)的典型函數(shù)關(guān)系如以下圖關(guān)系如以下圖2-1b所示。所示。 構(gòu)成離散模型的元素有三個，彈性元件、阻尼元件和慣構(gòu)成離散模型的元素有三個，彈性元件、阻尼元件和慣性元件。性

4、元件。 構(gòu)成離散模型的元素構(gòu)成離散模型的元素 彈性元件彈性元件圖圖2-1 2-1 彈簧模型彈簧模型2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 當(dāng)當(dāng)x2-x1 比較小時，可以以為彈簧力與彈簧變形量比較小時，可以以為彈簧力與彈簧變形量成正比，比例系數(shù)為圖中曲線的斜率成正比，比例系數(shù)為圖中曲線的斜率k，假設(shè)彈簧任，假設(shè)彈簧任務(wù)于彈簧力與其相對變構(gòu)成正比的范圍內(nèi)，那么稱彈務(wù)于彈簧力與其相對變構(gòu)成正比的范圍內(nèi)，那么稱彈簧為線性彈簧，常數(shù)稱為彈簧常數(shù)簧為線性彈簧，常數(shù)稱為彈簧常數(shù)k ，或彈簧剛度。，或彈簧剛度。普通用普通用k 表示。單位為表示。單位為N/m。 圖圖2-1

5、 2-1 彈簧模型彈簧模型2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動阻尼元件通常稱為阻尼器，普通也假設(shè)為無質(zhì)量。阻尼元件通常稱為阻尼器，普通也假設(shè)為無質(zhì)量。 常見的阻尼模型三種方式常見的阻尼模型三種方式: (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 圖圖2-22-2阻尼模型阻尼模型 阻尼元件阻尼元件由物體在粘性流體中運(yùn)動時遭到的阻力所致的粘滯阻尼。由相鄰構(gòu)件間發(fā)生相對運(yùn)動所致的干摩擦庫侖阻尼。由資料變形時資料內(nèi)部各平面間產(chǎn)生相對滑移或滑動引起內(nèi)摩擦所致的滯后阻尼。 粘滯阻尼是一種最常見的阻尼模型。2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單

6、自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 在本書中，如無特別闡明，所說的阻尼均指粘在本書中，如無特別闡明，所說的阻尼均指粘滯阻尼，其阻尼力滯阻尼，其阻尼力Fd 與阻尼器兩端的相對速度成與阻尼器兩端的相對速度成正比，如圖正比，如圖2-2b，比例系數(shù)，比例系數(shù) c 稱為粘性阻尼系稱為粘性阻尼系數(shù)，它的單位為牛頓數(shù)，它的單位為牛頓-秒秒/米米N-s/m，阻尼器通常，阻尼器通常用用c 表示。表示。圖圖2-22-2阻尼模型阻尼模型 2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動 (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 慣性元件就是

7、離散系統(tǒng)的質(zhì)量元件，慣性力慣性元件就是離散系統(tǒng)的質(zhì)量元件，慣性力Fm與質(zhì)量元件的加速度與質(zhì)量元件的加速度 成正比，如圖成正比，如圖2-3所示，比所示，比例系數(shù)就是質(zhì)量例系數(shù)就是質(zhì)量m 。m 的單位為千克的單位為千克kg 。 )(tx 圖圖2-3 2-3 質(zhì)量模型質(zhì)量模型 慣性元件慣性元件2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 并聯(lián)時彈簧的等效剛度并聯(lián)時彈簧的等效剛度 在實(shí)踐工程系統(tǒng)中，經(jīng)常會有多個彈性元件以各種方式在實(shí)踐工程系統(tǒng)中，經(jīng)常會有多個彈性元件以各種方式組合在一同的情況，其中最典型的是并聯(lián)和串聯(lián)兩種方式，組合在一同的情況，其中最典型的是并聯(lián)和串聯(lián)

8、兩種方式，分別如圖分別如圖2-4a和和2-4b所示。所示。 圖圖2-4 2-4 彈簧的組合彈簧的組合 彈性元件的組合2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動)(1211xxkFs)(1222xxkFs2-1 )()()(1212212121xxkxxkxxkFFFeqsss所以等效彈簧剛度為所以等效彈簧剛度為 2-221kkkeq第2章 單自由度系統(tǒng)的振動1neqiikk 串聯(lián)時彈簧的等效剛度串聯(lián)時彈簧的等效剛度111neqiikk2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動在圖在圖2-4b所示的串聯(lián)情況下，可以得到如下關(guān)系所示的串聯(lián)情況下，可以得到如下關(guān)系)(101xxk

9、Fs)(022xxkFs將將x0 消掉，可得消掉，可得)(12xxkFeqs12111kkkeq2-62-52-42-3假設(shè)有假設(shè)有n 個彈簧串聯(lián)時，可以證明有以下結(jié)論個彈簧串聯(lián)時，可以證明有以下結(jié)論第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1.1 單自在度系統(tǒng)的運(yùn)動方程單自在度系統(tǒng)的運(yùn)動方程 圖圖2-5 2-5 單自在度模型單自在度模型 單自在度彈簧單自在度彈簧-阻尼器阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)可由圖質(zhì)量系統(tǒng)可由圖2-5a表示，下面用牛頓定律來建立系統(tǒng)的運(yùn)動方程。繪系表示，下面用牛頓定律來建立系統(tǒng)的運(yùn)動方程。繪系統(tǒng)的分別體圖如圖統(tǒng)的分別體圖如圖2-5b。 運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自

10、在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動( )( )( )( )mx tcx tkx tF t2-8 ( )( )( )( )sdF tF tF tmx t由于由于 ， 方程方程2-7變?yōu)樽優(yōu)? )()(tkxtFs)()(txctFd2-8式是一個二階常系數(shù)常微分方程。常數(shù) m ，c， k是描畫系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)。方程2-8的求解在振動實(shí)際中是非常重要的。 用用 F(t)表示作用于系統(tǒng)上的外力，用表示作用于系統(tǒng)上的外力，用x(t) 表示質(zhì)量表示質(zhì)量m 相對相對于平衡位置的位移，可得于平衡位置的位移，可得:2 -7 2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動

11、n稱為系統(tǒng)的無阻尼自然角頻率?？梢宰C明稱為系統(tǒng)的無阻尼自然角頻率?？梢宰C明2-9式具有如式具有如下方式的通解下方式的通解:2( )( )0nx tx t2nkm 2-912( )cossinnnx tAtAt2-102.1.2 無阻尼自在振動無阻尼自在振動 本節(jié)首先討論單自在度系統(tǒng)的自在振動。在自在振動情況本節(jié)首先討論單自在度系統(tǒng)的自在振動。在自在振動情況下，下，F(xiàn) (t) 恒等于零。在恒等于零。在2-8式中令，式中令，F(xiàn) (t) =0 ，c = 0 那么那么有有: 其中其中A1和和A2為積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決議，即由初為積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決議，即由初始位移始位移x(0)和初始速

12、度和初始速度 決議。決議。)0( x 運(yùn)動方程運(yùn)動方程2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動假設(shè)引入假設(shè)引入1cosAA2sinAA 2-11可得可得:2212AAA121tanAA蔣蔣(2-11)代入代入(2-10)可導(dǎo)得可導(dǎo)得:( )cosnx tAt 2-122-13 A和和也是積分常數(shù)，同樣由也是積分常數(shù)，同樣由x(0) 和和 決議。決議。方程方程2-13闡明系統(tǒng)以為闡明系統(tǒng)以為n 頻率的簡諧振動，這頻率的簡諧振動，這樣的系統(tǒng)又稱為簡諧振蕩器。樣的系統(tǒng)又稱為簡諧振蕩器。2-13式描畫的是最式描畫的是最簡單的一類振動。簡單的一類振動。 )0(x 2

13、.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 在簡諧振動中，完成一個完好的運(yùn)動周期所需的時間定在簡諧振動中，完成一個完好的運(yùn)動周期所需的時間定義為周期義為周期T 周期周期2nT 從物理概念上講，從物理概念上講，T代表完成一個完好的振蕩所需的時間，代表完成一個完好的振蕩所需的時間，現(xiàn)實(shí)上現(xiàn)實(shí)上T等于振動過程中相鄰的兩個完全一樣的形狀所對應(yīng)的等于振動過程中相鄰的兩個完全一樣的形狀所對應(yīng)的時間差，其單位為秒。時間差，其單位為秒。 自然頻率自然頻率12nnfT自然頻率的單位為赫茲自然頻率的單位為赫茲(HZ)。自然頻率通常也用每秒的循環(huán)次數(shù)表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為自然頻率通常

14、也用每秒的循環(huán)次數(shù)表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動 2-142-15第2章 單自由度系統(tǒng)的振動00( )cossinnnnvx txtt2-16100tannvx2200nvAx 下面給出用初始條件表示的積分常數(shù)下面給出用初始條件表示的積分常數(shù)A和和 的表達(dá)的表達(dá)式。引入符號式。引入符號 ， ，利用方程，利用方程2-10不難證明簡諧振子對初始條件不難證明簡諧振子對初始條件 x0和和v0 的呼應(yīng)為的呼應(yīng)為0(0)xx)0(0 xv 比較方程比較方程2-11和和2-16，并利用，并利用2-12式的式的關(guān)系，可以導(dǎo)出振幅關(guān)系，可以導(dǎo)出振幅A與相角與相角 有如

15、下方式有如下方式 積分常數(shù)積分常數(shù)A和和 的表達(dá)式的表達(dá)式2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動2-17第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例例2-1 如圖如圖2-6 ，一個半徑為，一個半徑為R的半圓形薄殼，的半圓形薄殼，在粗糙的外表上滾動，試推導(dǎo)此殼體在小幅運(yùn)動下的在粗糙的外表上滾動，試推導(dǎo)此殼體在小幅運(yùn)動下的運(yùn)動微分方程，并證明此殼體的運(yùn)動象簡諧振子，計(jì)運(yùn)動微分方程，并證明此殼體的運(yùn)動象簡諧振子，計(jì)算振子的自然振動頻率。算振子的自然振動頻率。 圖圖2-6 2-6 例例2-12-1題圖題圖 2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動ccIMa 分析分

16、析:本例運(yùn)動方程的建立過程要比彈簧質(zhì)量系統(tǒng)復(fù)雜一本例運(yùn)動方程的建立過程要比彈簧質(zhì)量系統(tǒng)復(fù)雜一些，運(yùn)用實(shí)際力學(xué)中平面運(yùn)動的實(shí)際，可建立系統(tǒng)的運(yùn)動方些，運(yùn)用實(shí)際力學(xué)中平面運(yùn)動的實(shí)際，可建立系統(tǒng)的運(yùn)動方程。程。 設(shè)殼體傾斜角為設(shè)殼體傾斜角為如圖如圖2-6，設(shè)，設(shè)c 為殼體與粗糙外表的為殼體與粗糙外表的接觸點(diǎn)，在無滑動的情況下，殼體瞬時在繞接觸點(diǎn)，在無滑動的情況下，殼體瞬時在繞c 點(diǎn)作轉(zhuǎn)動。對點(diǎn)作轉(zhuǎn)動。對c 點(diǎn)取矩，可得系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。點(diǎn)取矩，可得系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。 解：解：2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2222222sinsincos2sincM

17、RdwgRdgRgR b 其中，其中，IC為繞點(diǎn)為繞點(diǎn) C的轉(zhuǎn)動慣量，的轉(zhuǎn)動慣量， MC為重力作用下的恢復(fù)力矩。為方便起為重力作用下的恢復(fù)力矩。為方便起見，設(shè)殼體的長度為單位長度，由圖見，設(shè)殼體的長度為單位長度，由圖2-6，對于給定的，對于給定的，對，對C點(diǎn)的恢復(fù)力矩點(diǎn)的恢復(fù)力矩MC 有有如下方式：如下方式：ccIMa2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR b2222322sin(1 cos )21 cos2(2cos )cIRRdmRdRc殼體對殼體對C 點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為: 其

18、中，其中， dw是給定角是給定角位置的微元體分量，位置的微元體分量，是殼體單位面積的是殼體單位面積的質(zhì)量。質(zhì)量。 2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 當(dāng)殼體作小幅振動時，即當(dāng)殼體作小幅振動時，即很小時，引入近似表達(dá)式很小時，引入近似表達(dá)式sin，cos1 ， 并將并將b、c兩式代入兩式代入a中，得到中，得到:32222RgR d02gRe2ngRf整理可得整理可得: e式闡明，當(dāng)式闡明，當(dāng) 很小時，系統(tǒng)運(yùn)動確實(shí)象簡諧振子，其很小時，系統(tǒng)運(yùn)動確實(shí)象簡諧振子，其自然頻率為自然頻率為: ccIM a2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章

19、 單自由度系統(tǒng)的振動2( )2( )( )0nnx tx tx t2-18b( )stx tAe2-192220nnss(2-20)2.1.3 有阻尼自在振動有阻尼自在振動 有阻尼自在振動方有阻尼自在振動方程程: 其中，其中， 稱為粘性阻尼因子。設(shè)稱為粘性阻尼因子。設(shè)2-18b式的解有如式的解有如下方式下方式:nmc2/將將2-19代入代入2-18b中，可得代數(shù)方程中，可得代數(shù)方程 有阻尼自在振動方程有阻尼自在振動方程 2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動( )( )( )0mx tcx tkx t2-18a 寫成寫成: 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2220nnss(2-20)這

20、就是系統(tǒng)的特征方程，它是這就是系統(tǒng)的特征方程，它是s 的二次方程，有兩個解：的二次方程，有兩個解： 1221ssn 很明顯，很明顯，s1、s2 的性質(zhì)取決的性質(zhì)取決于阻尼因子于阻尼因子 ，其相互關(guān)系可以從，其相互關(guān)系可以從s 平面，即復(fù)平面上得到反映如平面，即復(fù)平面上得到反映如圖圖2-7。 2-21圖圖2-7 s1 、s2 的復(fù)平面表示的復(fù)平面表示 2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2-20式的根式的根 s1 、s2 作作為阻尼因子為阻尼因子 的函數(shù)在復(fù)平的函數(shù)在復(fù)平面上描畫出一條曲線，圖中面上描畫出一條曲線，圖中可直觀地了解參數(shù)可直觀地了解參數(shù)對系

21、統(tǒng)對系統(tǒng)運(yùn)動行為的影響，或者說對運(yùn)動行為的影響，或者說對系統(tǒng)呼應(yīng)的影響。系統(tǒng)呼應(yīng)的影響。 參數(shù)參數(shù)對系統(tǒng)呼應(yīng)的影響。對系統(tǒng)呼應(yīng)的影響。2220nnss(2-20)2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 當(dāng)當(dāng) =0時，得到兩個復(fù)根時，得到兩個復(fù)根in ，此時系，此時系統(tǒng)就是簡諧振子。統(tǒng)就是簡諧振子。 當(dāng)當(dāng) 0 1時，時， 為復(fù)共軛，在圖中對為復(fù)共軛，在圖中對稱位置于實(shí)軸的兩側(cè)，并位于半徑為稱位置于實(shí)軸的兩側(cè)，并位于半徑為 n的圓上。的圓上。 當(dāng)當(dāng) =1時，特征方程的根時，特征方程的根 s1 、s2為為n ，落在實(shí)軸上。，落在實(shí)軸上。 當(dāng)當(dāng) 1時，特征方程的

22、根一直在實(shí)軸上時，特征方程的根一直在實(shí)軸上,且隨著且隨著 ， s1 0、s2 1221ssn 2-212.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 將特征方程的根將特征方程的根2-21代入代入2-19式，可得系統(tǒng)式，可得系統(tǒng)的通解的通解 :tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(2221222121212-22( )stx tAe2-191221ssn 2-21 系統(tǒng)的通解系統(tǒng)的通解2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 式式2-22，對應(yīng)于，對應(yīng)于 1的情況，此時系

23、統(tǒng)的的情況，此時系統(tǒng)的運(yùn)動是非振蕩的，并且隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，運(yùn)動是非振蕩的，并且隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，x(t) 確實(shí)切外形取決于確實(shí)切外形取決于A1 和和A2 ，也即取決于初始位，也即取決于初始位移移 x0 和初速度和初速度v0 。 1的情況稱為大阻尼或過的情況稱為大阻尼或過阻尼。阻尼。 大阻尼大阻尼( 1)tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(2221222121212-222.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動這也代表一指數(shù)衰減的呼應(yīng)，這也代表一指數(shù)衰減的呼應(yīng)， =1的情況稱為臨界阻尼。的情

24、況稱為臨界阻尼。 在特殊情況在特殊情況 =1,方程方程2-20有一個重根，有一個重根，s1=s2=n ，不難證明在這種情況下，系統(tǒng)有如下方式的解，不難證明在這種情況下，系統(tǒng)有如下方式的解:tnetAAtx)()(212-23 由表達(dá)式由表達(dá)式 可見當(dāng)可見當(dāng) =1時，臨界粘時，臨界粘性阻尼性阻尼/2ncmkmmcncr22 臨界阻尼臨界阻尼 =1 臨界阻尼是臨界阻尼是 1和和 1的一個分界點(diǎn)，應(yīng)該留意的一個分界點(diǎn)，應(yīng)該留意到，到， =1時，系統(tǒng)的運(yùn)動趨近于平衡位置的速度是時，系統(tǒng)的運(yùn)動趨近于平衡位置的速度是最大的。最大的。 =1也是系統(tǒng)振動與非振動運(yùn)動的臨界點(diǎn)。也是系統(tǒng)振動與非振動運(yùn)動的臨界點(diǎn)。

25、2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動2220nnss2-20第2章 單自由度系統(tǒng)的振動圖圖2-8 1 時時x(t) 曲線曲線 1 、 =1時系統(tǒng)的自在振動如圖時系統(tǒng)的自在振動如圖2-8-圖圖2-9 。圖圖2-9 =1 時時x(t) 曲線曲線 2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動其中，其中， ，通常稱為有阻尼自在振動頻率。，通常稱為有阻尼自在振動頻率。 212)1 (nd由于由于 :titetiteddtiddtiddsincossincos2-25 0 1時，解時，解2-22可改寫成如下方式：可改寫成如下方式： 221212( )exp

26、1exp1nddntnnitittx tAitAiteAeA ee 2-24 小阻尼小阻尼 0 12.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 方程方程2-24簡化成簡化成)cos()(tAetxdtn2-27 可見上式表示的運(yùn)動為振動，頻率為常值可見上式表示的運(yùn)動為振動，頻率為常值 ，相角，相角為為 ，而幅值為，而幅值為 ，以指數(shù)方式衰減。常數(shù)，以指數(shù)方式衰減。常數(shù) 、 由由初始條件決議。初始條件決議。 稱為小阻尼或欠阻尼情況。稱為小阻尼或欠阻尼情況。dtnAeA10并設(shè)并設(shè)cos21AAAsin)(21AAAi2-262.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度

27、系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動小阻尼情況的典型呼應(yīng)曲線如圖小阻尼情況的典型呼應(yīng)曲線如圖2-10所示，曲線所示，曲線 為呼應(yīng)曲線的包絡(luò)線。很明顯，當(dāng)為呼應(yīng)曲線的包絡(luò)線。很明顯，當(dāng)t ， x(t) 0，因此呼應(yīng)最終趨于消逝。因此呼應(yīng)最終趨于消逝。tnAe圖圖2-10 0 1 時時x(t) 曲線曲線2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動tnAetnAedTt)(txAA0欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動)sin()sincos()(000tAetxxtxetxdtddnd

28、tnn時間時間位置位置第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例例2-2 對于圖對于圖2-5所示的單自在度系統(tǒng)，計(jì)算系統(tǒng)分所示的單自在度系統(tǒng)，計(jì)算系統(tǒng)分別在別在 ， 和和 時，對于初始條件時，對于初始條件 ， 的呼應(yīng)。的呼應(yīng)。 11010)0(x0)0(vx12AA 解解: 對于對于 ，用，用2-22式有式有 ，所以，所以0)0(21AAx1a因此因此,系統(tǒng)呼應(yīng)應(yīng)有如下方式系統(tǒng)呼應(yīng)應(yīng)有如下方式teAtxntn1sinh2)(21b因此，系統(tǒng)呼應(yīng)對因此，系統(tǒng)呼應(yīng)對b式求導(dǎo)，并代入初始條件式求導(dǎo)，并代入初始條件 可得可得0(0)xvnvA12201 c 可得可得 時，系統(tǒng)的呼應(yīng)時，系統(tǒng)的呼應(yīng)1tevtxntn

29、n1sinh1)(220d2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 對于對于 ，從，從2-23式中容易導(dǎo)出式中容易導(dǎo)出 和和 ，所以此，所以此時的呼應(yīng)為時的呼應(yīng)為:101A02vA tntevtx0)(e 對于對于 ，在，在2-27式中用初始條件式中用初始條件 得得 ，幅值那么與初始速度有關(guān)，幅值那么與初始速度有關(guān)， ，因此，因此2-27簡化為簡化為 :100)0(x2/dvA/0tevtxdtdnsin)(021nd f 表達(dá)式表達(dá)式d、e、f分別對應(yīng)于大阻尼、臨分別對應(yīng)于大阻尼、臨界阻尼和小阻尼的情況，其圖形分別見圖界阻尼和小阻尼的情況，其圖形分別見圖

30、2-82-10。圖。圖中將中將 、 、 作為參數(shù)，給出了呼應(yīng)作為參數(shù)，給出了呼應(yīng) 隨這些參數(shù)隨這些參數(shù)的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 n0v)(tx2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1.4 對數(shù)衰減率對數(shù)衰減率 如前所述，在小阻尼情況下粘性阻尼使振動按指數(shù)規(guī)律衰減，如前所述，在小阻尼情況下粘性阻尼使振動按指數(shù)規(guī)律衰減，而指數(shù)本身又是阻尼因子而指數(shù)本身又是阻尼因子 的線性函數(shù)。下面來尋求經(jīng)過衰減呼應(yīng)的線性函數(shù)。下面來尋求經(jīng)過衰減呼應(yīng)確定阻尼因子確定阻尼因子 的途徑。的途徑。圖圖2-112-111 1時時x(t)x(t)的普通規(guī)律的普通規(guī)律 在圖在圖2-1

31、1中，設(shè)中，設(shè)t1 和和 t2表示兩相鄰周期中相距一個完好周期表示兩相鄰周期中相距一個完好周期 T 的兩對應(yīng)點(diǎn)的時間。的兩對應(yīng)點(diǎn)的時間。2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動由由2-27式，可得式，可得)cos()cos(212121tAetAexxdtdtnn2-28)cos()(tAetxdtn2-27)cos()cos(12ttdd 由于由于 ， 是有阻尼振動的周期，所以是有阻尼振動的周期，所以Ttt12dT/2TTttnnneeexx1212-29這樣這樣2-28式可化為式可化為:2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由

32、度系統(tǒng)的振動 察看察看2-29式的指數(shù)關(guān)系，可以自然地引入以式的指數(shù)關(guān)系，可以自然地引入以下關(guān)系式下關(guān)系式:22112lnTxxn2-30 要確定系統(tǒng)的阻尼，可以丈量兩恣意相鄰周期的要確定系統(tǒng)的阻尼，可以丈量兩恣意相鄰周期的對應(yīng)點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn) x1 和和 x2 ，計(jì)算對數(shù)衰減率，計(jì)算對數(shù)衰減率21lnxx2222-31此處，此處，稱為對數(shù)衰減率。稱為對數(shù)衰減率。從而得到從而得到2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 對于微小阻尼情況，對于微小阻尼情況，2-31式可近似為式可近似為22-32 值得留意的是，值得留意的是， 可以經(jīng)過丈量相隔恣意周期的兩對可以經(jīng)過丈

33、量相隔恣意周期的兩對應(yīng)點(diǎn)的位移應(yīng)點(diǎn)的位移 ， 來確定。設(shè)來確定。設(shè) 、 為為 、 對對應(yīng)的時間，應(yīng)的時間， 為整數(shù)，那么為整數(shù)，那么1x1jx1tjTttj111x1jxjTjjnexx112-33 由由2-33可導(dǎo)得可導(dǎo)得11ln1jxxj2-342.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例例2-3 實(shí)驗(yàn)察看到一有阻尼單自在度系統(tǒng)的振動幅值在實(shí)驗(yàn)察看到一有阻尼單自在度系統(tǒng)的振動幅值在5個個完好的周期后衰減了完好的周期后衰減了50%，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計(jì)算系統(tǒng)的，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計(jì)算系統(tǒng)的阻尼因子。阻尼因子。 解解:設(shè)設(shè) ，那么，那么5j13

34、863. 02ln515 . 0ln51ln511161xxxx 由由2-31、2-32式分別得到：式分別得到：022058. 013863. 0213863. 0 2 222231022064. 0213863. 02322.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.1.5 2.1.5 彈簧的等效質(zhì)量彈簧的等效質(zhì)量 在圖在圖2-12中，設(shè)彈簧中，設(shè)彈簧 具有質(zhì)量，其單位長度的質(zhì)量具有質(zhì)量，其單位長度的質(zhì)量為為 ，那么彈簧的質(zhì)量對系統(tǒng)的振動有多大影響呢？下面，那么彈簧的質(zhì)量對系統(tǒng)的振動有多大影響呢？下面就來討論這個問題。就來討論這個問題。k圖圖2-12 2-

35、12 彈簧等效質(zhì)量系統(tǒng)表示圖彈簧等效質(zhì)量系統(tǒng)表示圖 設(shè)質(zhì)量設(shè)質(zhì)量 的位移用的位移用 表示，彈簧的長度為表示，彈簧的長度為 ，那么距，那么距左端為左端為 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 的微單元的位移那么可假設(shè)為的微單元的位移那么可假設(shè)為 ，設(shè)，設(shè) 為常數(shù)。為常數(shù)。 txLd txL/m2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 )()3(213)(21)(2121212023222202txLmLtxtxmdtxLtxmTLL2-35)(212tkxV 2-36 根據(jù)能量守恒原理根據(jù)能量守恒原理0dtVTddtdE2-37那么系統(tǒng)的動能和勢能可分別表示為那么系統(tǒng)的動能和勢

36、能可分別表示為2.1 單自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 可得可得0)()(tkxtxmeff 2-38 此處此處 稱為等效質(zhì)量。稱為等效質(zhì)量。3Lmmeff可見彈簧的質(zhì)量將會使系統(tǒng)的自然頻率降低到可見彈簧的質(zhì)量將會使系統(tǒng)的自然頻率降低到3Lmkn2-392-39式闡明彈簧將本身質(zhì)量的三分之一奉獻(xiàn)給系統(tǒng)的式闡明彈簧將本身質(zhì)量的三分之一奉獻(xiàn)給系統(tǒng)的等效質(zhì)量，當(dāng)然，前提是假設(shè)彈簧按等效質(zhì)量，當(dāng)然，前提是假設(shè)彈簧按 規(guī)律變形規(guī)律變形的。假設(shè)假設(shè)其他類型的變形方式，影響效果那么有能夠的。假設(shè)假設(shè)其他類型的變形方式，影響效果那么有能夠不同。不同。)(/txL2.1 單

37、自在度系統(tǒng)的自在振動單自在度系統(tǒng)的自在振動第2章 單自由度系統(tǒng)的振動第第2 2章章 單自在度系統(tǒng)的振動單自在度系統(tǒng)的振動 2.2 2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 工程振動中一個很重要方面是分析系統(tǒng)對外部鼓工程振動中一個很重要方面是分析系統(tǒng)對外部鼓勵的呼應(yīng)，這種振動有別于上節(jié)的自在振動，稱為強(qiáng)勵的呼應(yīng)，這種振動有別于上節(jié)的自在振動，稱為強(qiáng)迫振動，這是本節(jié)要討論的內(nèi)容。迫振動，這是本節(jié)要討論的內(nèi)容。 對于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，可以分別求系統(tǒng)對于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，可以分別求系統(tǒng)對于初始條件的

38、呼應(yīng)和對于外部鼓勵的呼應(yīng)，然后再對于初始條件的呼應(yīng)和對于外部鼓勵的呼應(yīng)，然后再合成為系統(tǒng)的總呼應(yīng)。合成為系統(tǒng)的總呼應(yīng)。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.2.1 2.2.1 系統(tǒng)對于簡諧鼓勵的呼應(yīng)系統(tǒng)對于簡諧鼓勵的呼應(yīng) 對于圖對于圖2-5所示的有阻尼單自在度系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為所示的有阻尼單自在度系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為)()()()(tFtkxtxctxm 2-40 首先思索最簡單的情況，即簡諧鼓勵情況，設(shè)首先思索最簡單的情況，即簡諧鼓勵情況，設(shè)F(t) 有如下方式有如下方式圖圖2-5 2-5 單自在度模型單自在度模型 tkAtkftFcos)()(2-41 運(yùn)動方程運(yùn)動方程2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

39、單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動tkAtkftFcos)()(2-41將將2-41代入代入2-40，兩邊同除以，兩邊同除以m 有有 tAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22 2-42當(dāng)當(dāng)A 為零時，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的自在振動呼為零時，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的自在振動呼應(yīng)，自在振動呼應(yīng)隨時間衰減，最后消逝，所以自在振動應(yīng)，自在振動呼應(yīng)隨時間衰減，最后消逝，所以自在振動呼應(yīng)也叫瞬態(tài)呼應(yīng)。呼應(yīng)也叫瞬態(tài)呼應(yīng)。式式2-42的特解也就是強(qiáng)迫振動呼應(yīng)不會隨時間衰減，所的特解也就是強(qiáng)迫振動呼應(yīng)不會隨時間衰減，所以稱為穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)。以稱為穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)。2.2 單自在

40、度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動)cos()(tXtx2-43將將2-43代入方程代入方程2-42，可得，可得 tAttXnnncos)sin(2)cos(2222-44利用三角函數(shù)關(guān)系利用三角函數(shù)關(guān)系 sincoscossinsinsinsincoscoscostttttt根據(jù)根據(jù)2-44式中式中 的系數(shù)相等可得的系數(shù)相等可得tcos0cos2sinsin2cos22222nnnnnXAX2-45 設(shè)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)2-42的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)有如下方式的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)有如下方式 穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動21

41、222)2(1nnAX2-462112tannn2-47 將將2-46、2-47代入代入2-43得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。解解2-45式可得式可得 2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動典型的鼓勵與呼應(yīng)關(guān)系曲線如圖典型的鼓勵與呼應(yīng)關(guān)系曲線如圖2-13所示。所示。 將將 f(t)用復(fù)數(shù)方式表示用復(fù)數(shù)方式表示: 圖圖2-13 簡諧鼓勵簡諧鼓勵f(t) 與呼應(yīng)與呼應(yīng) x(t)曲線曲線 tiAetf)(2-48 f(t)的這種表示只是一種數(shù)學(xué)上的處置，是為了求解方便，不言的這種表示只是一種數(shù)學(xué)上的處置，是為了求解方便，不言而喻地隱含著激振力僅由而喻地

42、隱含著激振力僅由 f(t)的實(shí)部表示，當(dāng)然，呼應(yīng)也應(yīng)由的實(shí)部表示，當(dāng)然，呼應(yīng)也應(yīng)由x(t) 的實(shí)部表示。式中的實(shí)部表示。式中A 普通為復(fù)數(shù)。普通為復(fù)數(shù)。 2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 特性：特性： 總振動呼應(yīng)總振動呼應(yīng)=阻尼自在振阻尼自在振 動呼應(yīng)的通解動呼應(yīng)的通解+簡諧振動簡諧振動 的特解的特解 通解：瞬態(tài)振動；通解：瞬態(tài)振動； 特解：穩(wěn)態(tài)振動特解：穩(wěn)態(tài)振動 過渡過程過渡過程 穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程 結(jié)論：具有粘性阻尼的系統(tǒng)遭到簡諧激振力作用時結(jié)論：具有粘性阻尼的系統(tǒng)遭到簡諧激振力作用時,受迫振

43、動也是一個簡諧振動受迫振動也是一個簡諧振動,其頻率和激振頻率一樣其頻率和激振頻率一樣,振幅、相位角取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)和激振力的性質(zhì)，而與振幅、相位角取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)和激振力的性質(zhì)，而與初始條件無關(guān)。初始條件無關(guān)。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)呼應(yīng) nntinntiniAeiAetx21Re2Re)(22222-50由上式可見，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)由上式可見，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)呼應(yīng) x(t)與激振力與激振力f(t) 成正比，且比例因子成正比，且比例因子為為nniH211)(22-51這稱為復(fù)頻呼應(yīng)這稱為復(fù)頻呼應(yīng).在復(fù)數(shù)表示情況下，系統(tǒng)呼應(yīng)和鼓勵滿足關(guān)系在復(fù)數(shù)表示情況下，系統(tǒng)呼應(yīng)和鼓勵滿足

44、關(guān)系tinnnnAetftxtxtx222)()()(2)( 2-492.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 由由2-51式，可見式，可見 的模的模 等于呼應(yīng)幅值和等于呼應(yīng)幅值和鼓勵幅值鼓勵幅值 的無量綱比，即的無量綱比，即 )(H)(HA21222211)(nnH 常稱為幅值因子。常稱為幅值因子。 )(H2-53)()()()()()()(tFtFtFtkxtftxHs2-52 這闡明復(fù)頻呼應(yīng)是彈簧力與實(shí)踐的外鼓勵這闡明復(fù)頻呼應(yīng)是彈簧力與實(shí)踐的外鼓勵 的無的無量綱比。這里量綱比。這里 中的中的 是由靜平衡位置算起的。是由靜平衡位置算起的。 )(tF)

45、(tF)(tx由由2-50、2-51式可得式可得 2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動圖圖2-14 簡諧鼓勵的呼應(yīng)簡諧鼓勵的呼應(yīng) 圖圖2-14 給出了在不同阻尼比給出了在不同阻尼比 下下 與與 的關(guān)系曲線。的關(guān)系曲線。 n/ 從圖中可見，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對從圖中可見，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對于于 的位置左移。的位置左移。1/n2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 )(H第2章 單自由度系統(tǒng)的振動21221n2-54 當(dāng)當(dāng)=0時，在時，在 =n處處H () 不延續(xù)。不延續(xù)。對對2-53式求導(dǎo)，并令其等于零，

46、可得到曲線峰值點(diǎn)對應(yīng)的式求導(dǎo)，并令其等于零，可得到曲線峰值點(diǎn)對應(yīng)的 值值 當(dāng)當(dāng)=0時，對應(yīng)于無阻尼情況，此時系統(tǒng)的齊次微分方時，對應(yīng)于無阻尼情況，此時系統(tǒng)的齊次微分方程就是簡諧振子。程就是簡諧振子。 當(dāng)鼓勵頻率當(dāng)鼓勵頻率趨近于系統(tǒng)的自然頻率趨近于系統(tǒng)的自然頻率n時，簡諧振子的時，簡諧振子的呼應(yīng)趨于無窮，這種形狀稱為共振，系統(tǒng)會發(fā)生猛烈振呼應(yīng)趨于無窮，這種形狀稱為共振，系統(tǒng)會發(fā)生猛烈振動。動。2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 在微小阻尼情況下，如在微小阻尼情況下，如 0 .05， H () 的極大值的的極大值的位置幾乎與位置幾乎與 /n=1相差無幾

47、，引入符號相差無幾，引入符號H () max=Q ，在微小阻尼情況下，有在微小阻尼情況下，有21Q2-55 質(zhì)量因子質(zhì)量因子QtAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22 2-42 Q通常稱為質(zhì)量因子。2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動另外，在工程上另外，在工程上H () 常將取值為常將取值為 的兩點(diǎn)的兩點(diǎn)P1 和和P2稱稱為半功率點(diǎn)。半功率點(diǎn)所對應(yīng)頻率之差稱為半功率點(diǎn)帶寬，在小為半功率點(diǎn)。半功率點(diǎn)所對應(yīng)頻率之差稱為半功率點(diǎn)帶寬，在小阻尼情況下，不難證明，半功率點(diǎn)帶寬阻尼情況下，不難證明，半功率點(diǎn)帶寬 取如下值取如下值2/Qn2122

48、-56 比較比較2-55和和2-56式，可得式，可得 1221nQ2-572-57式給出了一種快速估計(jì)式給出了一種快速估計(jì)Q 和和 值的方法。值的方法。 2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 下面將留意力轉(zhuǎn)到相角上來，由下面將留意力轉(zhuǎn)到相角上來，由2-51和和2-53式，不式，不難得到難得到 ieHH)()(2-58這里這里2112tannn2-59這與這與2-472-47式的結(jié)果一樣。根據(jù)式的結(jié)果一樣。根據(jù)2-582-58式和式和2-592-59式，式，2-502-50式可寫為式可寫為 titie)(HARee )(AHRe)t ( x2-60 相

49、角相角2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動從從2-602-60式和圖式和圖2-152-15可以看出可以看出: : 對應(yīng)于不同對應(yīng)于不同 值的一切曲線均在值的一切曲線均在 /n=1處經(jīng)過共同點(diǎn)處經(jīng)過共同點(diǎn) 。2 對于對于 =0，隨，隨 /n的變化曲線在的變化曲線在 /n=1處延續(xù)。從處延續(xù)。從 的的 = 0 跳到跳到 /n1時的時的= 。這可以經(jīng)過。這可以經(jīng)過=0 時的時的x(t)解來解解來解釋。釋。 對于對于 /n1情況隨情況隨 /n減小，相角趨減小，相角趨于零。于零。 對于對于 /n1情況，隨情況，隨 /n增大，相角增大，相角趨于趨于 。 圖圖2-

50、15 2-15 簡諧鼓勵的相位簡諧鼓勵的相位 即即 /n1時呼應(yīng)同相，時呼應(yīng)同相， /n1時呼應(yīng)反相。時呼應(yīng)反相。2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動方程方程2-61也清楚地闡明簡諧振子在鼓勵頻率也清楚地闡明簡諧振子在鼓勵頻率 趨近于自然頻率趨近于自然頻率n時，呼應(yīng)變?yōu)闊o窮大。時，呼應(yīng)變?yōu)闊o窮大。 下面討論簡諧振子的共振呼應(yīng)，此時系統(tǒng)的運(yùn)動方下面討論簡諧振子的共振呼應(yīng)，此時系統(tǒng)的運(yùn)動方程變?yōu)槌套優(yōu)?:tAtxtxnnncos)()(22 2-62tinAetx211Re)(2-61 簡諧振子的共振呼應(yīng)簡諧振子的共振呼應(yīng)2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單

51、自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動不難證明系統(tǒng)有如下特解不難證明系統(tǒng)有如下特解ttAtxnnsin2)(2-63 此式闡明，解是一幅值隨時間線性添加的振蕩呼應(yīng)，這隱含了此式闡明，解是一幅值隨時間線性添加的振蕩呼應(yīng)，這隱含了隨著時間的增大，解將趨于無窮。因此在工程上講，共振是很危險隨著時間的增大，解將趨于無窮。因此在工程上講，共振是很危險的形狀，一定要防止。上式所描畫的共振呼應(yīng)特性示于以下圖。的形狀，一定要防止。上式所描畫的共振呼應(yīng)特性示于以下圖。 圖圖2-16 簡諧振子的共振呼應(yīng)簡諧振子的共振呼應(yīng) 有阻尼單自在度系統(tǒng)的總呼應(yīng)可由其自在呼應(yīng)與強(qiáng)迫呼應(yīng)疊加而成有阻尼單自在度系統(tǒng)的總呼

52、應(yīng)可由其自在呼應(yīng)與強(qiáng)迫呼應(yīng)疊加而成。 2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 例例2-4 如圖如圖2-17所示，有兩個帶有偏心的質(zhì)量所示，有兩個帶有偏心的質(zhì)量 反向旋轉(zhuǎn)，旋反向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度為常數(shù)轉(zhuǎn)角速度為常數(shù) ，不平衡質(zhì)量的垂直位移為，不平衡質(zhì)量的垂直位移為 ， 由靜平由靜平衡算起。求衡算起。求 。 2msinxltx)(tx圖圖2-17 例例2-4題圖題圖 解解:由題意不難得到系統(tǒng)的運(yùn)動方程由題意不難得到系統(tǒng)的運(yùn)動方程:0)sin()(2222kxdtdxctlxdtdmdtxdmM簡化為簡化為:tiemltmltkxtxctxM22Imsin)

53、()()( 2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動系統(tǒng)的呼應(yīng)為系統(tǒng)的呼應(yīng)為:mktHlMmeHlMmtxnntin222,)sin()()(Im)(相角相角由由2-38式給出。將上改寫為式給出。將上改寫為)sin()(tXtx可得可得:)(2HMmlXn在這一例子中，可將無量綱比寫為在這一例子中，可將無量綱比寫為)(2HmlMXn 的圖形與的圖形與 的圖形完全不同，這將于稍后表達(dá)。的圖形完全不同，這將于稍后表達(dá)。 )(2Hn)(H2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動例例2-5 2-5 研討一種根底激振的情況。

54、如圖研討一種根底激振的情況。如圖2-182-18所示所示: :解解:系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程有如下方式系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程有如下方式 :圖圖2-18 例例2-5題圖題圖 0yxkyxxxm 簡化為簡化為:yyxxxnnnn2222 設(shè)根底的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動，有如下方式設(shè)根底的運(yùn)動為簡諧運(yùn)動，有如下方式tiAetyRe)(那么系統(tǒng)的呼應(yīng)為那么系統(tǒng)的呼應(yīng)為tinnnAeiitx2121Re)(22.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動將將 簡寫成簡寫成)(tx1cos)(tXtx那么那么)(212121212212222HAAXnnnn22311212tannnn無量

55、綱比可寫為無量綱比可寫為)(21212HAXn2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 振動的隔離振動的隔離隔力：經(jīng)過彈性支承來隔離振動源傳到根底的力。隔力：經(jīng)過彈性支承來隔離振動源傳到根底的力。隔幅：經(jīng)過彈性支承減少根底傳到設(shè)備的振動副值。隔幅：經(jīng)過彈性支承減少根底傳到設(shè)備的振動副值。 隔離振動就是研討物體之間振動的傳送關(guān)系，減隔離振動就是研討物體之間振動的傳送關(guān)系，減少相互間所傳送的振動量。少相互間所傳送的振動量。 構(gòu)造系統(tǒng)安裝在根底上普通都墊以彈簧和阻尼構(gòu)造系統(tǒng)安裝在根底上普通都墊以彈簧和阻尼器減

56、振器以減少傳給根底的力或減少由于根底器減振器以減少傳給根底的力或減少由于根底鼓勵而傳給系統(tǒng)的呼應(yīng)，這種措施叫鼓勵而傳給系統(tǒng)的呼應(yīng)，這種措施叫“隔振。隔振。第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ddtAcxctkAkxcossin 在簡諧力作用下，根據(jù)單自在度系統(tǒng)在簡諧力作用下，根據(jù)單自在度系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)位移解，隔振器傳到根底的彈性力穩(wěn)態(tài)位移解，隔振器傳到根底的彈性力和阻尼力分別有：和阻尼力分別有：22220222022)2()1 ()2(1)2()1 ()2(1FFTFckAFfn傳送力幅值：傳送力幅值：力傳送率：力傳送率：令：令：第2章 單自由度系統(tǒng)的振動

57、2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 根底作簡諧運(yùn)動時，系統(tǒng)的絕對根底作簡諧運(yùn)動時，系統(tǒng)的絕對運(yùn)動傳送率為：運(yùn)動傳送率為：22222121AXTd位移傳送率與力傳送率具有完全一樣的方式。位移傳送率與力傳送率具有完全一樣的方式。另外另外 以后，添加阻尼以后，添加阻尼反而使隔振效果變壞。反而使隔振效果變壞。 ，T 1，才隔振，且，才隔振，且值越大，值越大，T 越小，隔振效果越好。越小，隔振效果越好。 2常選常選 為為2.5-52.5-5之間。之間。2第2章 單自由度系統(tǒng)的振動2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 為了獲得較好的隔振效果，系統(tǒng)該當(dāng)具有較低的固有頻率和為

58、了獲得較好的隔振效果，系統(tǒng)該當(dāng)具有較低的固有頻率和較小的阻尼。不過阻尼也不能太小，否那么振動系統(tǒng)在經(jīng)過較小的阻尼。不過阻尼也不能太小，否那么振動系統(tǒng)在經(jīng)過共振區(qū)時會產(chǎn)生較大的振動。共振區(qū)時會產(chǎn)生較大的振動。 22,112zTTdf第2章 單自由度系統(tǒng)的振動 簡諧振動的復(fù)指數(shù)描畫簡諧振動的復(fù)指數(shù)描畫 有阻尼系統(tǒng)的簡諧激振力和在激振力作用下的呼應(yīng)的復(fù)指有阻尼系統(tǒng)的簡諧激振力和在激振力作用下的呼應(yīng)的復(fù)指數(shù)描畫，可以經(jīng)過在復(fù)平面上的幾何圖形來闡明，將數(shù)描畫，可以經(jīng)過在復(fù)平面上的幾何圖形來闡明，將2-602-60式兩邊對求導(dǎo)得式兩邊對求導(dǎo)得)()()()()()(22)(txeHAitxtxieHAit

59、xtiti 2-64所以振動速度超前位移所以振動速度超前位移 /2 /2相角，加速度超前位移相角，加速度超前位移相角，并相角，并且分別放大且分別放大和和22的因子。的因子。 22sin2cosieiiieisincos1 據(jù)上所述，可以將方程據(jù)上所述，可以將方程2-422-42在復(fù)平面上繪圖如圖在復(fù)平面上繪圖如圖2-192-19，不失普通性地設(shè)不失普通性地設(shè)A A為實(shí)數(shù)。為實(shí)數(shù)。 我們知道我們知道2.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 ,第2章 單自由度系統(tǒng)的振動圖圖2-192-19闡明復(fù)向量闡明復(fù)向量 ， 與與 的和與的和與 平衡，這正是方程平衡，這正是方程2-422-42所必

60、需滿足的。所必需滿足的。圖圖2-19 2-19 簡諧振子的復(fù)平面表示簡諧振子的復(fù)平面表示 留意，整個圖形繞著復(fù)平面以角速度留意，整個圖形繞著復(fù)平面以角速度旋轉(zhuǎn)。從圖中也可以看旋轉(zhuǎn)。從圖中也可以看出，由于整個圖形是封鎖的，成為一個平衡系統(tǒng)，所以僅思索出，由于整個圖形是封鎖的，成為一個平衡系統(tǒng)，所以僅思索實(shí)部就相當(dāng)于將圖中各分量投影于實(shí)軸上。實(shí)際上講，投影于實(shí)部就相當(dāng)于將圖中各分量投影于實(shí)軸上。實(shí)際上講，投影于任何軸上都不改動系統(tǒng)各向量之間的關(guān)系。任何軸上都不改動系統(tǒng)各向量之間的關(guān)系。 )(tx )(2txn)(2txntinAe22.2 單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動單自在度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動 第2章 單自