2020屆高考數(shù)學(xué)(文)總復(fù)習(xí)課堂測(cè)試：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問(wèn)題

1、課時(shí)跟蹤檢測(cè)(六十三)圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值與存在性問(wèn)題2 21. (2019 貴陽(yáng)適應(yīng)性考試) )已知橢圓 C: 02+古=1(a b 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F2,點(diǎn) M 為短軸的上端點(diǎn)，MlT,MF2= 0,過(guò) F2垂直于 x 軸的直線交橢圓 C 于 A, B 兩點(diǎn),且 |AB|= 2.(1)求橢圓 C 的方程;的直線 I 與 C 相交于 G, H 兩點(diǎn).若 ki, k2分別為直線 MH , MG 的斜率，求 ki+ k2的值.- -解：( (1)由 MF1MF2= 0,得 b= c.+ 1) =- 1,所以 k1+ k2= 1.2. (2018 貴陽(yáng)摸底考試) )過(guò)拋物線 C: y2=

2、4x 的焦點(diǎn) F 且斜率為 k 的直線 I 交拋物線 C 于 A, B兩點(diǎn)，且|AB|= 8.(1)求直線 I 的方程;若A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 D，求證：直線 BD 過(guò)定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)的坐標(biāo).解：( (1)易知點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(1,0)，則直線 I 的方程為 y= k(x 1),代入拋物線方程 y2= 4x 得 k2x2 (2k2+ 4)x+ k2= 0,由題意知 kz0,且 = (2k2+ 4)2- 4k2R2=16(k2+ 1) 0,Fi,(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，- 1)且不經(jīng)過(guò)點(diǎn) M因?yàn)檫^(guò) F2垂直于x 軸的直線交橢圓C 于 A, B 兩點(diǎn)，且|AB|= 2,所以羊晉 又 a2=b2+

3、 c2,聯(lián)立，解得故橢圓 C 的方程為a2= 2, b2= 1,2號(hào) + y2= 1.I 的方程為 y+ 1 = k(x- 2)，即 y= kx-2k- 1,(2)易知直線 I 的斜率存在，可設(shè)直線2將 y= kx- 2k- 1 代入專(zhuān) + y2= 1 得(1 + 2k2)x2- 4k(2k+ 1)x+ 8k2+ 8k = 0,由題設(shè)可知 = 16k(k+ 2) 0,設(shè) G(X1, y1), H(X2, y2),2z4k2k + n8k + 8k則x1+x2= 1 + 2k2,x1x2= IT 泰,4k(2k+ 1)g 丄心 一 + Jsx = 2k -2k+2= 2k - (2kk1+k2=

4、 =+匸X28k2+ 8k1 + 2k2由拋物線的定義知|AB|= Xp+X2+2 = 8,2 2k + 42加亠-72= 6,. k = 1，即 k= 1,k.直線 I 的方程為 x+ y 1 = 0 或 x y 1 = 0.4直線 BD 的方程為 y+ y1= - (x x1),y2 yr即(yi y1) )y + yiy1 y2= 4x 4X1,-y1=4x1,y2=4X2,X1X2=1,2.(y1y2) )=16X1X2=16,即 y1y2= 4(y1, y2異號(hào)),直線 BD 的方程為 4(x+ 1) + (y1 y2) )y= 0，恒過(guò)點(diǎn)(1, 0).2 23. (2019 西安八

5、校聯(lián)考) )已知直線 I: x= my+ 1 過(guò)橢圓 C： p +*=1 的右焦點(diǎn) F，拋物線 x2= 4 3y 的焦點(diǎn)為橢圓 C 的上頂點(diǎn)，且 I 交橢圓 C 于 A, B 兩點(diǎn)，點(diǎn) A, F , B 在直線 x =4 上的射影依次為 D, K, E.(1)求橢圓 C 的方程;若直線 I 交 y 軸于點(diǎn) M，且蔽=入# , MB =他 BF，當(dāng) m 變化時(shí)，證明：入+ % 為定值；(3)判斷當(dāng) m 變化時(shí)，直線 AE 與 BD 是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并 給予證明；否則，說(shuō)明理由.解：( (1) / l: x= my+ 1 過(guò)橢圓 C 的右焦點(diǎn) F, 右焦點(diǎn) F(1,0)，即

6、 c= 1. x2= 4 3y 的焦點(diǎn)(0,3)為橢圓 C 的上頂點(diǎn), b= b 0)的離心率為一丁，左、右焦點(diǎn)分 別為 F1, F2,過(guò) F1的直線交橢圓于 A, B 兩點(diǎn).(1) 若以 AF1為直徑的動(dòng)圓內(nèi)切于圓x2+ y2= 9,求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)；- -(2) 當(dāng) b= 1 時(shí)，問(wèn)在 x 軸上是否存在定點(diǎn) T,使得 TA -TB 為定值？并說(shuō)明理由.解：( (1)設(shè) AF1的中點(diǎn)為 M，連接 0M , AF2( (0 為坐標(biāo)原點(diǎn)) )，在 AF1F2中，0 為 F1F2的中點(diǎn)，1 1 1所以 |OM|= AF2|= 2( (2a |AF1|)= a ?AF1|.1由題意得 |OM| = 3

7、 AF1|,所以 a = 3,故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 6.(2)由 b= 1,aa2= b2+ c2,得 c= 2,2, a= 3,/ MA=-入ME3 =X2,y2+ m=以 1 X2,y2) ),2 4 = 2myiy22 ,3m + 49m2783.-BF,yi+ m=入( (1 X1,-yi),1myi易知 E(4, y2) ),則 N? = 2, y2.綜上，在 x 軸上存在定點(diǎn) T“學(xué)學(xué)，o ,使得壬 A孑為定值.2所以橢圓 C 的方程為令+ y2= 1.當(dāng)直線 AB 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB 的方程為 y= k(x + 2購(gòu)購(gòu),由,x2+ 9y2= 9,廠消去,y= %x+ 2p2) )y, 得 (9k2+ 1)x2+ 36 2k2x+ 72k2 9= 0, 0 恒成立. 設(shè)A(xi, yi), B(X2, y2) ),72k29，x1x2=，k2yiy2=k2(x1+2 * 2)(x2+2,2)=9kH1.則 x1+ x2= 設(shè) T(xo,o) ),則TA JB= X1X2 g + X2) )x+ x0+ ypy2=9x0+36PHk十xo_ ,當(dāng) 9x+ 36 2x9k2+ 1+ 71 = 9(x0 9),即卩 xo=也2時(shí)，TA