極值存在定理

1、極小點(diǎn)的判定條件(一)內(nèi)點(diǎn)為極小值點(diǎn)的判定條件(求 min f(x), x D )一、一般條件定理1 (一階必要條件)設(shè)f ： D RnR1具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，x*是D的內(nèi)點(diǎn)，若x*是f(x)的局部極小點(diǎn)，則f(x*)0定理2 (二階必要條件)設(shè)f ： D Rn R1具有二階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)，若x是D的內(nèi)點(diǎn)且為f(x)的局部極小點(diǎn)，則 2f (x )是半正 定的。定理3 (二階充分條件)設(shè)f ： D RnR1具有二階連續(xù)偏導(dǎo)*n*數(shù)，x為D的內(nèi)點(diǎn)，且f(x) 0，若 f(x)正定，則X為f (x) 的嚴(yán)格局部極小點(diǎn)。定理4 (二階充分條件)設(shè)f ：RnR1具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，*c*x R且f(X

2、)0，若存在x的 鄰域N(x ,)使對(duì)x N(x ,)，都有2f (x)半正定，則x為f (x)的局部極小點(diǎn)。二、凸規(guī)劃極值判定條件凸規(guī)劃問(wèn)題：非空凸集 D上的凸函數(shù)的極小化問(wèn)題。定理5設(shè)f : D RnR1為凸集D上的凸函數(shù)，貝卩(1) f (x)的任一局部極小點(diǎn)x*為全局極小點(diǎn)；(2)若f (x)可微，且存在x* D，使f(x*) 0，則x*為f (x)在D上的全局極小點(diǎn);(3)若f(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)，且全局極小點(diǎn)存在，則必唯定理6 考慮如下特殊的凸規(guī)劃問(wèn)題:正定二次函數(shù)1 TTf (x)-x Qx b x2*4則x Q b為唯一的全局極小點(diǎn)C，x Rn)邊界點(diǎn)為極小值點(diǎn)的判定條件考慮一般

3、的非線(xiàn)性規(guī)劃(NP):min f (x)S(x) 0, i 1, hj(x)0, j 1,m,l(1)般條件定理1( K T條件)(或一階必要條件):設(shè)x*是(NP)的局部極小點(diǎn)，f(x),S1(x), ,Sm(x),h1(x), ,h(x)在點(diǎn) x*處可微，且點(diǎn) x*處的全部起作用約束的梯度線(xiàn)性無(wú)關(guān)(即 x*是正則點(diǎn))，則存在實(shí)數(shù)i，使下述條件成立(*)f(x )ii 1S(x )iS(x*)0, i1,2,i 0, i1,2,mm*ilj hj(x*)0j 1,m二、凸規(guī)劃極值判定條件考慮凸規(guī)劃問(wèn)題：min f (x)si(x) 0, i 1, ,m . hj (x) 0, j 1, ,l

4、(2)其中，f(x)是可微凸函數(shù)，Si(x), i 1, ,m是可微凹函數(shù)， hj(x), j 1, ,l 是線(xiàn)性函數(shù)。定理2 (凸規(guī)劃的極值)：若x*是凸規(guī)劃(2)的K T點(diǎn)，則x* 為全局極小點(diǎn)。注：線(xiàn)性函數(shù)既可視為凸函數(shù)，又可視為凹函數(shù)。三、等式約束極值判定條件min f (x)S.t. hj(x) 0, j 1, ,l(3)定理 3：(一階必要條件)假設(shè)( 1 )x* 為等式約束 (3)的局部極小點(diǎn)；( 2)f,hj(j1,l):Rn1R在x的某鄰域內(nèi)連續(xù)可微；( 3 )h1(x*),h2(x*),hl (x* )線(xiàn)性無(wú)關(guān)。則存在 1,* *2 , , lR 使得lf(x*)j1*j

5、hj(x*) 0(*)定理 4(二階充分條件)假設(shè)(1) f,hj(j 1, ,l):RnR1是二階連續(xù)可微函數(shù)；(2)存在xRn與i, 2, , iT R1使得式(*)成立;(3)關(guān)于x的海色矩陣；L(x ,)在切子空間T v hj(x)Tv 0, j 1,1上正定。則點(diǎn)x*是問(wèn)題(3)的嚴(yán)格局部極小點(diǎn)。四、線(xiàn)性約束的(NP)問(wèn)題極值判定條件考慮如下線(xiàn)性約束的(NP)問(wèn)題min f (x)(4)s.t. AxCx假設(shè)定理5:在約束問(wèn)題(4)中，i) x是容許點(diǎn)；Abii) A a ，b b 使得 Ax b，A x b ；iii) A和C的行向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)(即起作用約束的梯度線(xiàn)性無(wú)關(guān))；iv)

6、p*是如下線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解：min zf (x)T pAp 0(*Cp 0-e p e其中，e 1,1,五、幾何最優(yōu)性條件考慮不等式約束問(wèn)題(5)min f (x)s.t. si(x)0, i 1, ,m定理6 (幾何最優(yōu)性條件)：設(shè)x是問(wèn)題(2)的一個(gè)局部極小點(diǎn), 目標(biāo)函數(shù)f (x)在x*處可微，且1oSi(x)( i I )在 x*處可微；2oSi(x) (i I )在 x*處連續(xù)。則在x*處不存在容許下降方向，即不存在方向 p滿(mǎn)足f(x)Tp 0TSi(x ) p 0,i I六、線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的極值條件最優(yōu)性檢驗(yàn)判別數(shù)j:用非基變量表示的目標(biāo)函數(shù)式中，各非基變量的負(fù) 系數(shù)，即稱(chēng)為各非基變量的判別數(shù)。10最優(yōu)解判別定理：若在極小化問(wèn)題中，對(duì)于某個(gè)基本容許解, 所有判別數(shù)j 0，且人工變量為0,則該基本容許解是最優(yōu)解。2o無(wú)窮多最優(yōu)解判別定理：若在極小化問(wèn)題中，對(duì)于某個(gè)基本容許解，所有判別數(shù) j 0 ，又存在某個(gè)非基變量的判別數(shù)為 0，且 人工變量為 0，則該線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題有無(wú)窮多最優(yōu)解。3o 無(wú)容許解判別定理： 若在極小化問(wèn)題中，對(duì)于某個(gè)基本容許 解，所有判別數(shù) j 0 ，但人工變