彈性變形與塑性變形

1、一、彈性和塑性的概念可變形固體在外力作用下將發(fā)生變形。根據(jù)變形的特點，固體在受力過程中的力學行為可 分為兩個明顯不同的階段：當外力小于某一限值（通常稱之為彈性極限荷載）時，在引起變形的外力卸除后，固體能完全恢復原來的形狀，這種能恢復的變形稱為彈性變形，固體只產(chǎn)生彈性變形的階段稱為 彈性階段；當外力一旦超過彈性極限荷載時，這時再卸除荷載，固體 也不能恢復原狀，其中有一部分不能消失的變形被保留下來，這種保留下來的永久變形就稱 為塑性變形，這一階段稱為 塑性階段。根據(jù)上述固體受力變形的特點，所謂 彈性，就定義為固體在去掉外力后恢復原來形狀的性 質(zhì)；而所謂塑性，則定義為在去掉外力后不能恢復原來形狀的性

2、質(zhì)?！皬椥裕‥lasticity ）”和“塑性（Plasticity ） ”是可變形固體的基本屬性，兩者的主要區(qū)別在于以下兩個方面：1）變形是否可恢復：彈性變形是可以完全恢復的，即彈性變形過程是一個可逆的過程；塑性 變形則是不可恢復的，塑性變形過程是一個不可逆的過程。2） 應力和應變之間是否一一對應:在彈性階段，應力和應變之間存在對應的單值函數(shù)關 系，而且通常還假設是線性關系；在塑性階段，應力和應變之間通常不存在一一對應的關系， 而且是非線性關系（這種非線性稱為物理非線性）。工程中，常把脆性和韌性也作為一對概念來講，它們之間的區(qū)別在于固體破壞時的變形大 小，若變形很小就破壞，這種性質(zhì)稱為脆性；

3、能夠經(jīng)受很大變形才破壞的，稱為韌性或延性。 通常，脆性固體的塑性變形能力差，而韌性固體的塑性變形能力強。二、彈塑性力學的研究對象及其簡化模型彈塑性力學是固體力學的一個分支學科，它由彈性理論和塑性理論組成。彈性理論研究理想 彈性體在彈性階段的力學問題，塑性理論研究經(jīng)過抽象處理后的可變形固體在塑性階段的力 學問題。因此，彈塑性力學就是研究經(jīng)過抽象化的可變形固體，從彈性階段到塑性階段、直 至最后破壞的整個過程的力學問題。構(gòu)成實際固體的材料種類很多，它們的性質(zhì)各有差異，為便于研究，往往根據(jù)材料的主要性 質(zhì)做出某些假設，忽略一些次要因素，將它抽象為理想的“模型”。在彈性理論中，實際固 體即被抽象為所謂的

4、“理想彈性體”，它是一個近似于真實固體的簡化模型?！袄硐霃椥浴钡奶?征是：在一定的溫度下，應力和應變之間存在一一對應的關系，而且與加載過程無關，與時 間無關。在塑性理論中，由于實際固體材料在塑性階段的應力-應變關系過于復雜，若采用它進行理論 研究和計算都非常復雜，因此，同樣需要進行簡化處理。常用的簡化模型可分為兩類，即 理 想塑性模型和強化模型。1 理想塑性模型在單向應力狀態(tài)下，理想塑性模型的特征如圖 0.1所示。理想塑性模型又分為 理想彈塑性 模型和理想剛塑性模型。當所研究的問題具有明顯的彈性變形時，常采用理想彈塑性模型。 在總變形較大、而且彈性變形部分遠小于塑性變形部分時，為簡化計算，常常

5、忽略彈性變形 部分，而采用理想剛塑性模型；另外，在計算結(jié)構(gòu)塑性極限荷載時，也常采用理想剛塑性模 型。2強化模型在單向應力狀態(tài)下，強化模型的特征如圖0.2所示。強化模型又分為線性強化彈塑性模型、 線性強化剛塑性模型 和幕次強化模型 三種。 = £與爲& 莓)銭性強化剛塑性模型圖02強化模型b =込(刃耳幾0簽圧1(c)幕次強化模型以上介紹的塑性簡化模型僅僅是材料在單向應力狀態(tài)下的情況，在二維和三維復雜應力狀態(tài)下，塑性模型就要復雜得多了，有關這方面的概念，將在第三章中介紹。由于在土木工程 實踐中，理想塑性模型應用較多，所以，本書在介紹與塑性理論相關的內(nèi)容時，基本都采用 了這個簡化

6、模型。三、基本假定彈塑性力學是一門力學學科，所以，由牛頓最早總結(jié)出，其后又由拉格朗日(Lagrange)和哈米爾頓(Hamilton )等發(fā)展了的力學的一般原理在這里仍然有效，而且是構(gòu)成它的理論體系的基石。但除此而外，它還包含有新的內(nèi)容，這主要是以下幾個基本假定：1 連續(xù)性假定所謂連續(xù)性假定，是指將可變形固體視為連續(xù)密實的物體，即組成固體的質(zhì)點無空隙地充滿整個物體空間。任何物體都是由原子分子組成的。對于固體來講，還由于整個固體由許多 結(jié)晶顆粒組成，從而更增加了固體的不連續(xù)性。所以，仔細推敲起來，這個假設與實際情況 是不相符合的。但如果研究的是固體的宏觀力學性態(tài)，則所研究的每個微小單位實際上不僅

7、 包含有相當多的原子、分子，而且還包含有相當多的晶體，這時物體便可以認為是“連續(xù)的” 了。可見，連續(xù)性假定是在一定條件下對客觀事物的一個近似。從這一假定出發(fā)進行的力學 分析，得到的結(jié)果已被廣泛的實驗和工程實踐證明是正確的。根據(jù)連續(xù)性假定，固體內(nèi)部任何一點的力學性質(zhì)都是連續(xù)的，例如密度、應力、位移和應變等，就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示（因而相應地被稱為 密度場、應力場、位移場和應變 場等），而且變形后物體上的質(zhì)點與變形前物體上的質(zhì)點是一一對應的。有了連續(xù)性假定，在進行彈塑性力學分析時，就可以利用基于連續(xù)函數(shù)的一系列數(shù)學工具，避免了數(shù)學上的極大 困難。2 均勻性假定所謂均勻性假定，即認為所研究的可

8、變形固體是由同一類型的均勻材料所構(gòu)成的，因此， 其各部分的物理性質(zhì)都是相同的，并不因坐標位置的變化而變化。例如，固體內(nèi)各點的彈性 性質(zhì)都相同。根據(jù)均勻性假定，在研究問題的時候，就可以從固體中取出任一單元來進行分 析，然后將分析的結(jié)果用于整個物體。3 各向同性假定所謂各向同性，即假定可變形固體內(nèi)部任意一點在各個方向上都具有相同的物理性質(zhì)，因 而，其彈性常數(shù)不隨坐標方向的改變而改變。實際上，有不少固體材料不具有這種性質(zhì)，例如木材、竹材、纖維增強復合材料等，但這類材料不在本書討論范圍之內(nèi)。此外，各向同性 假定也僅僅應用于彈性階段，即使是初始各向同性的固體，在進入塑性階段后，也成為各向 異性的。4.

9、小變形假定所謂小變形假定，即假定固體在外部因素（外力、溫度變化等）作用下所產(chǎn)生的變形，遠 小于其自身的幾何尺寸。根據(jù)小變形假定，可以不考慮因變形引起的固體的尺寸變化，而采 用變形前的幾何尺寸來代替變形后的尺寸，使得問題大為簡化。例如，在研究物體的平衡時， 可不考慮由于變形所引起的物體尺寸和位置的變化；在建立應變和位移之間的關系時，就可 以略去幾何方程中的二階小量等，使基本方程線性化。5. 無初應力假定假定所研究的可變形固體初始處于自然狀態(tài)，即在外部因素（外力、溫度變化等）作用之 前，其內(nèi)部是沒有應力的。這個假定僅僅為了表述簡便而引進的，若固體內(nèi)有初應力存在， 則在外部因素（外力、溫度變化等）作

10、用時，其內(nèi)部實際存在的應力即等于初應力加上外部 因素作用所產(chǎn)生的應力。以上假定是本書所討論的問題的基礎。此外，本書還不考慮固體與時間有關的力學性質(zhì)如 粘性等；同時，也不考慮固體在外力作用下的動力效應，即假設外力作用過程是一個緩慢的 加載過程，在這個過程中，慣性力效應可以忽略不計（這樣的加載過程稱為準靜態(tài)加載過程）。四、彈塑性力學問題的研究方法彈塑性力學作為固體力學的一個獨立的分支學科，已有一百多年的歷史。它源于生產(chǎn)實踐, 反過來又直接為生產(chǎn)實踐服務。彈塑性力學雖然是一門古老的學科，但在土木、機械、水利、 航空、材料等工程領域，隨著新材料、新結(jié)構(gòu)和新技術的不斷發(fā)展，實踐又給它提出了越來 越多新的

11、理論問題和工程應用問題，使這門古老的學科處于不斷的發(fā)展中。工程實踐中，一個具體的彈塑性力學問題的求解方法可以分為以下幾類：1） 經(jīng)典方法。采用數(shù)學分析方法對彈塑性力學問題的定解方程進行求解，從而得出固體內(nèi)部的應力和位移分布等。這種方法需要求解一個偏微分方程組的邊值問題，在很多情況下，求 解的難度都相當大，所以，常采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和迦遼金等。2）數(shù)值方法。許多實際工程問題無法采用經(jīng)典解法求解，而需要采用數(shù)值方法求得近似解。 在數(shù)值方法中，常用的有差分法、有限元法及邊界元法等。隨著電子計算機技術的不斷發(fā)展， 目前，數(shù)值方法已被廣泛應用于各類工程結(jié)構(gòu)彈塑性力學問題的求解中

12、。3）實驗方法。采用機電方法、光學方法、聲學方法等來測定結(jié)構(gòu)部件在外力作用下的應力和 應變的分布規(guī)律，如光彈性法、云紋法等。4） 實驗與數(shù)值分析相結(jié)合的方法。這種方法常用于形狀非常復雜的工程結(jié)構(gòu)。例如對結(jié)構(gòu)的 特殊部位的應力分布規(guī)律難以確定，可以用光彈性方法測定；而對結(jié)構(gòu)整體，則采用數(shù)值方 法進行分析。五、與初等力學理論的聯(lián)系和區(qū)別彈塑性力學的主要任務是研究可變形固體在外部因素（例如外力、溫度變化等）作用下的 應力和變形分布規(guī)律，這也構(gòu)成了彈塑性力學的基本內(nèi)容。從研究對象、研究問題的內(nèi)容和 基本任務來看，彈塑性力學與材料力學和結(jié)構(gòu)力學都是相同的；從處理問題的方法來看，彈 塑性力學與材料力學和結(jié)

13、構(gòu)力學都是從靜力學、幾何學和物理學三個方面進行分析。但從所研究問題的范圍來看，它們是不同的。材料力學僅研究桿狀構(gòu)件（桿件），結(jié)構(gòu)力學主要研究由桿狀構(gòu)件組成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)（桿系結(jié)構(gòu)），而彈塑性力學既研究桿件，也研究諸如 板和殼以及擋土墻、堤壩、地基等實體結(jié)構(gòu)，因此，它的研究范圍涉及土木工程結(jié)構(gòu)的所有 類型。此外，材料力學和結(jié)構(gòu)力學研究的問題主要局限于彈性階段，而彈塑性力學則研究從 彈性階段到塑性階段、直至最后破壞的整個過程的力學問題。另外，從對所研究問題的簡化程度來看，彈塑性力學與材料力學和結(jié)構(gòu)力學也是不完全相 同的。在材料力學和結(jié)構(gòu)力學里，除了采用上述的幾個基本假定外，它們往往還要對桿件的 應力分

14、布和變形狀態(tài)做出某些假定，因此，得到的結(jié)果有時只是粗略的近似。但在彈塑性力 學里，貝U無須引進那些假定，所以其得到的結(jié)果就比較精確，并可以用來校核初等力學理論（這里，初等力學理論系指采用更簡化的力學模型建立起來的材料力學和結(jié)構(gòu)力學理論）的 結(jié)果是否準確。例如，在材料力學里研究直梁的橫力彎曲問題時，就引進了平截面的假定， 由此得到直梁橫截面上的彎曲應力分布是線性的；但在彈塑性力學里研究該問題時，由于無 需采用平截面假定就可求得問題的解，所以，彈塑性力學的求解結(jié)果可用來校核平截面假定 是否正確，以及應用該假定的條件性和局限性?？偟膩砜?，盡管彈塑性力學的研究對象和研究方法與初等力學理論基本相同，但它的研究 范圍更加廣泛，得到的結(jié)果也更加精確。彈塑性力學可以建立并給出用初等力學理論無法求 解的問題的理論和方法，同時還可以給出初等力學理論可靠性與精確度的度量。表0.1總結(jié)了彈塑性力學與初等力學理論之間的聯(lián)系和區(qū)別。表0.1彈塑性力學與初等力學理論的