高數(shù)-2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及審斂法ppt課件

1、無(wú)窮級(jí)數(shù) 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具無(wú)窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)表示函數(shù)研究性質(zhì)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)第十一章常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 第一節(jié) 第十一章 給定一個(gè)數(shù)列給定一個(gè)數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依將各項(xiàng)依,1nnu即即1nnunuuuu321稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)， 其中第其中第 n 項(xiàng)項(xiàng)nu叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和nkknuS1稱為級(jí)數(shù)的部分和稱為級(jí)數(shù)的部分和.nuuuu321次相加次相加, 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為,lim存在若SSnn收斂收斂 ,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)并稱并稱

2、S 為級(jí)數(shù)的和為級(jí)數(shù)的和, 記作記作一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 1nnuS當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值稱差值21nnnnuuSSr為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).,lim不存在若nnS則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .顯然顯然0limnnr例例1. 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù)又稱幾何級(jí)數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比 ) 的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè),1q12nnqaqaqaaSqqaan1時(shí)，當(dāng)1q, 0limnnq由于從而qannS1lim因此級(jí)數(shù)收斂 ,;1 qa,1時(shí)當(dāng)q,limnnq由于從而,limnnS則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散

3、.其和為2). 假設(shè),1q,1時(shí)當(dāng)qanSn因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,1時(shí)當(dāng)qaaaaan 1) 1(因而nSn 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而nnSlim綜合 1)、2)可知,1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;1q時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .那么,級(jí)數(shù)成為,a,0不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.例例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;23ln34lnnn1ln(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級(jí)數(shù)

4、(2) 收斂, 其和為 1 .31214131111nn二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu收斂于 S ,1nnuS則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)1nnuc也收斂 ,說(shuō)明說(shuō)明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .性質(zhì)性質(zhì)2. 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù),1nnuS1nnv則級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂, 其和為.S說(shuō)明說(shuō)明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 那么)(1nnnvu 必發(fā)散 . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(1

5、2 nnv0nnvu而(1) 性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證)性質(zhì)性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性的斂散性.性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)數(shù)的和的和.推論推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但但1111例如，例如，發(fā)散發(fā)散.性質(zhì)性質(zhì)5、級(jí)數(shù)收斂的必要條件、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)收斂

6、級(jí)數(shù),1nnuS則必有則必有.0limnnu證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見(jiàn): 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般項(xiàng)為1) 1(1nnunn不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.nun,時(shí)當(dāng)注意注意:0limnnu并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)nnn13121111雖然，01limlimnunnn但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .事實(shí)上事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 那那么么0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假設(shè)不真 .21例例3.判

7、斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:113121)2)( ) 531111 5 8313)4)100 101 1023 6 93nnnnnnn 例例4.判斷級(jí)數(shù)的斂散性判斷級(jí)數(shù)的斂散性:141141131131121121解解: 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù))()()(1411411311311211211111nnan12nnna2發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nn121例例5. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂求其和若收斂求其和:3211(1);32nnnn因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnkn

8、kkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121,41limnnS這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂 ,1.4)2)(1(1nnn其和為)2)(1(121121nn32252321nSnn212 12nnSS解：1432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂, 其和為 3 ., 3limnnS故121(2).2nnn二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂 第二節(jié)第二節(jié)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正

9、項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 第十一章 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法假設(shè),0nu1nnu定理定理 1. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù) .定理定理2 (比較審斂法比較審斂法)設(shè),1nnu1nnv且存在,ZN對(duì)一切,Nn 有(1) 若強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv則弱級(jí)數(shù)1nnu(2) 若弱級(jí)數(shù)1nnu則強(qiáng)級(jí)數(shù)1nnv則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .nnvku 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (常數(shù) k 0 ),證明級(jí)數(shù)1) 1(1nnn發(fā)散 .證證: 因?yàn)橐驗(yàn)?) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn而級(jí)數(shù)111nn2

10、1kk發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知, 所給級(jí)數(shù)發(fā)散 .例例2.2.例例1. 討論討論 p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè), 1p因?yàn)閷?duì)一切,Zn而調(diào)和級(jí)數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1, 1p2) 假設(shè)p 級(jí)數(shù)收斂, 1p因?yàn)楫?dāng)nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂 .時(shí),1) 1(11pn12) 假設(shè)定理定理3. (比較審斂法的極限形

11、式比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 ,1收斂時(shí)且nnv;1也收斂nnu(3) 當(dāng) l = ,1發(fā)散時(shí)且nnv.1也發(fā)散nnu設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 0, 使nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0 xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理2. 假設(shè)假設(shè)0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:1) 假設(shè) 0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng),1x原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng),1x原級(jí)數(shù)發(fā)散.x即1x時(shí),1) 當(dāng) 0 時(shí),2) 當(dāng) 0 時(shí),3) 當(dāng) 時(shí),即時(shí),那么 1x2)

12、 假設(shè), 0則根據(jù)比值審斂法可知,;R絕對(duì)收斂 ,3) 假設(shè),則對(duì)除 x = 0 以外的一切 x 原級(jí)發(fā)散 ,.0R對(duì)任意 x 原級(jí)數(shù)因而因而 因此級(jí)數(shù)的收斂半徑.1R對(duì)端點(diǎn) x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對(duì)端點(diǎn) x = 1, 級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),1) 1(11nnn收斂; 級(jí)數(shù)為,11nn發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域?yàn)槔?.1.求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) limn 例例2.12) 1(nnnnx求冪級(jí)數(shù)的收斂域.解解: 令令 ,1 xt級(jí)數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2)

13、 1(2lim12當(dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為,11nn此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時(shí), 級(jí)數(shù)為,) 1(1nnn此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?22t故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?212x即.31x例例4.nnxnn202) !(! )2(求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的收斂半徑 .解解: 級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng)級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21R21x即142x當(dāng)21x即) 1(