2021年高考文科數(shù)學(xué)(人教A版)一輪復(fù)習(xí)講義：第7講拋物線

1、第 7 講 拋物線一、知識梳理1.拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：(1) 在平面內(nèi)；動點到定點 F 的距離與到定直線 I 的距離相等;(3)定點不在定直線上.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)y2=2px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的幾何意義：焦點 F 到準(zhǔn)線 1 的距離圖形頂點0(0, 0)對稱軸y= 0 x 0焦占八 、八、F2020F 0,pF 0，p離心率e= 1準(zhǔn)線方程x=- PX2px 2衛(wèi)y2py2范圍x 0, y Rx 0,x Ryw0,xR開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(xo, yo)|PF|= X0+ 2|

2、PF| X0+ 2|PF|-y+：|PF| y0+常用結(jié)論與焦點弦有關(guān)的常用結(jié)論(以圖為依據(jù))設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2).2p2(1) yiy2= p , xix2= 4.2p(2) |AB |= xi+ X2+ p =(0為直線 AB 的傾斜角).sin0112(3) |AF|+麗為定值 p.(4) 以 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.(5) 以 AF 或 BF 為直徑的圓與 y 軸相切.(6) 過焦點垂直于對稱軸的弦長等于2p(通徑).二、習(xí)題改編11 .(選修 1-1P58 例 1(2)改編)若拋物線的焦點是F 0, 2，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.答案：x2= 2y2._ (

3、選修1-1P59練習(xí)T2改編)拋物線 y2+ 4x= 0 的準(zhǔn)線方程 _ .答案：x= 13.(選修 1-1P59 練習(xí) T3(2)改編)拋物線 y2= 12x 上與焦點的距離等于6 的點的坐標(biāo)是_.答案：(3，土 6)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1)平面內(nèi)與一個定點 F 和一條定直線 I 的距離相等的點的軌跡(2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切.(3)若一拋物線過點 P( 2, 3),則其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.答案：(1)X(2)X(3)X(4)X二、易錯糾偏定是拋物線.()( )/= 2px(p0).()( )

4、常見誤區(qū)(1)不注意拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式;(2)忽視 p 的幾何意義.1. 頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點A. y2= xC. y2= 8x 或 x2= y解析：選 D.設(shè)拋物線為 y2= mx,y2= x;設(shè)拋物線為 x2= ny,代入點2. 已知拋物線程是_ .解析：由已知可知雙曲線的焦點為設(shè)拋物線方程為 y2= 2px(p0),則 p= 2,P( 4, 2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()B. x2= 8yD. y2= x 或 x2= 8y代入點 P( 4, 2),解得 m= 1 ,則拋物線方程為P( 4, 2)，解得 n= 8,則拋物線方程為 x?= 8yC 與雙曲線 x2 y2= 1 有

5、相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C 的方(2, 0), ( .2, 0).所以 p= 2 .2,所以拋物線方程為 y2= 4 2x.答案：y2=2x拋物線的定義（典例遷移）(1)(2020 安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢)已13知拋物線 C: x2= 2py(p0)的焦點為 F，點 P xo, J 在 C 上，且|PF| = 4 貝 U p=()1 1AB.23C.4D. 1(2)設(shè) P是拋物線 y2= 4x上的一個動點，F(xiàn) 為拋物線的焦點，若B(3, 2),則|PB|+ |PF|的最小值為_ .【解析】(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為 y= 2,因為 P xo,2在拋物線上，所以點 P 到準(zhǔn) 線的距離d=

6、 1+ p= |PF|= 4,則 p = *,故選 B.(2)如圖，過點 B 作 BQ 垂直準(zhǔn)線于點 Q,交拋物線于點 P1,則|P1Q|=|P1F|.則有 |PB|+ |PF| |PiB|+ |PiQ|= |BQ|= 4.即|PB|+ |PF|的最小值為 4.【答案】(1)B (2)4【遷移探究 1】(變條件)若將本例中的 B 點坐標(biāo)改為(3, 4)，試求|PB|+ |PF|的最小 值.解：由題意可知點(3，4)在拋物線的外部.因為|PB|+ |PF|的最小值即為 B, F 兩點間的距離，所以 |PB|+ |PF| |BF| = ,42+ 22=16 + 4= 2 ,5,即|PB|+ |PF

7、|的最小值為 2 ,5.【遷移探究 2】(變設(shè)問)若本例(2)條件不變，求 P 到準(zhǔn)線 I 的距離與 P 到直線 3x+ 4y + 7 =0 的距離之和的最小值是 _.解析：由拋物線定義可知點 P 到準(zhǔn)線 I 的距離等于點 P 到焦點 F 的距離，由拋物線 y2=4x 及直線方程 3x + 4y+ 7= 0 可得直線與拋物線相離，所以點 P 到準(zhǔn)線 I 的距離與點 P 到=2.答案：2拋物線定義的應(yīng)用(1)利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線距直線 3x+ 4y+ 7 = 0 的距離之和的最小值為點F(1 ,0)到直線 3x+ 4y + 7= 0 的距離，即|

8、3+ 7|32+ 42離的等價轉(zhuǎn)化即 “看到準(zhǔn)線想到焦點，看到焦點想到準(zhǔn)線注意靈活運(yùn)用拋物線上一點P(x, y)到焦點 F 的距離|PF|=|X|+號或|PF|= |y|+1.已知 F 是拋物線 y1 2= x 的焦點，A, B 是該拋物線上的兩點，且|AF|+ |BF|= 3,則線 段 AB 的中點到 y 軸的距離為()B.1D.解析：選 C.如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 I, AB 的中點為 M ,作 AAi丄|于點 Ai, BBi丄 I 于點 Bi, MMi丄 I 于點 Mi,1由拋物線的定義知 p =彳，|AAi|+ |BBi|= AF 汁|BF|= 3,A45P i15則點 M 到 y

9、 軸的距離為|MMi| 2=2（AAI|+=才故選 C.2.（2020 沈陽市質(zhì)量監(jiān)測（一）拋物線/= 6x 上一點 M（xi, yi）到其焦點的距離為號，則點 M 到坐標(biāo)原點的距離為_ .解析：由 y2= 6x,知 p= 3,由焦半徑公式得=x2+ yi= 3 德（0 為坐標(biāo)原點）,故填3答案：3 3拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)（師生共研）（1）（2020 陜西榆林二模）已知拋物線 y2=2px（p0）上的點 M 到其焦點 F 的距離比點 M 到 y 軸的距離大；則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為+ 2= 2,即 xi= 3.代入得 yi= 18,則|M0|A . y2= xB. y2= 2xC. y2= 4x

10、D. y2= 8x(2)以拋物線 C 的頂點為圓心的圓交 C 于 A, B 兩點， 交 C 的準(zhǔn)線于 D, E 兩點.已知|AB| =4 2, |DE|=2 .5,則 C 的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A. 2B. 4C. 6D. 8【解析】(1)拋物線 y2= 2px(p0)上的點 M 到其焦點 F 的距離比點 M 到 y 軸的距離大2,由拋物線的定義可得XM+p=XM+ 2,所以 p = 1 ,所以拋物線方程為 y2= 2x.故選 B.(2)由題意，不妨設(shè)拋物線方程為 y2= 2px(p 0),由 |AB|= 4 2, |DE|= 2 5,可取 A4, 2 2 , D 5 ,p 2設(shè) O 為坐標(biāo)

11、原點，由 QA|= |OD |,得+ 8=p+ 5,得 p = 4,故選 B.【答案】(1)B(2)B(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1先定位：根據(jù)焦點或準(zhǔn)線的位置;2再定形：即根據(jù)條件求 p.拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準(zhǔn)線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程;要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡化運(yùn)算.1 若拋物線的焦點在直線x 2y 4= 0 上，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ .解析：令 x= 0,得 y= 2;令 y= 0，得 x= 4.所以拋物線的焦點是（4, 0）或（0, 2）, 故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2= 16x 或/= 8y.答案：y2= 16x 或 x

12、2= 8y2. （2020 沈陽質(zhì)量檢測（一）已知正三角形 AOB（O 為坐標(biāo)原點）的頂點 A, B 在拋物線 y2=3x 上，則 AOB 的邊長是_.解析：如圖，設(shè)厶 AOB 的邊長為 a,則 A 23a,；a ,因為點 A 在拋物線 y2= 3x 上,所a= 6 3.答案：6 .33. （2020 東北四市模擬）若點 P 為拋物線 y= 2x2上的動點，F(xiàn) 為拋物線的焦點, 的最小值為1 1解析：由題意知 X2=2y,則 F 0, g ,|PF|1所以當(dāng) x0= 0 時，|PF|8直線與拋物線的位置關(guān)系（師生共研）設(shè) P （xo， 2X5） ，(2019 高考全國卷I)已知拋物線 C: y

13、23=3x 的焦點為 F，斜率為3 4 5 6的直線 I 與 C 的交點為 A, B,與 x 軸的交點為 P.(1)若 |AF|+ |BF|= 4，求 I 的方程；若 AP= 3PB，求 |AB|.、3【解】 設(shè)直線 I: y= x+ t, A(xi, yi), B(x2, y2).335(1)由題設(shè)得 F 4,0,故|AF|+ |BF|= Xi+ x2+ 2，由題設(shè)可得 Xi+ x2=3y=2x+1,12 (t 1)由7可得 9x8+ 12(t 1)x+ 4t2= 0，則 X1+ X2=9.29y = 3x解決直線與拋物線位置關(guān)系問題的方法37所以 I 的方程為 y=只8.(2) 由 AP=

14、 3PB 可得 y1= 3y2.3y=2x+t，2由可得 y2 2y+ 2t = 0.y2= 3x所以 y1+ y2= 2.從而一 3y2+ y2= 2,故 y2= 1, y1= 3.代入 C 的方程得 X1= 3, X2= 3.故 |AB|=智3.從而12(t 1)92,得 一 8.(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似， 一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題 ，要注意直線是否過拋物線的焦點， 若過拋物線的焦點，可直接使用公式 AB|=|X1|+ |X2|+ p,若不過焦點，則必須用一般弦長公式.(3)涉及拋物線的弦長、 中點、 距離等相關(guān)問題時，

15、 一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“ 設(shè)而不求 ”“整體代入 ” 等解法注意 涉及弦的中點、斜率時 ，一般用 “點差法 ”求解1.已知拋物線 x2= ay 與直線 y= 2x- 2 相交于 M , N 兩點，若 MN 中點的橫坐標(biāo)為 3,則此拋物線方程為 ()A . x2=3yB. x2= 6yC. x2=- 3yD. x2= 3y解析：選 D.設(shè)點 M(xi, yi), N(X2, y2).2x = ay,由消去 y 得 x2-2ax + 2a = 0,y= 2x- 2,X1+ X22a 所以一 2 = 2= 3,即 a = 3,所以所求的拋物線方程是x2= 3y.y2= 4x 的焦點為 F，過點

16、（2, 0）且斜率為舟的直3線與 C 交于 M, N 兩點，貝 U FM FN =（B. 6D.8x= 1 , x= 4,所以或不妨設(shè) M(1, 2), N(4, 4),y= 2 y=4,易知 F(1 , 0),所以 FM = (0 , 2), FN = (3, 4),所以 FM FN = 8故選2 2法二：過點（一 2, 0）且斜率為 2 的直線的方程為 y = 2（x+ 2）,由 5x+ 4= 0,設(shè) M(X1, y1) ,N(X2, y2),則 y10, y20 ,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系 ，得 x1+ X2= 5 , X1X2= 4易知 F(1, 0),所以 FM =(X1 1, y1) , FN = (X2 1, y2),所以 FM FN = (X1 1)(X2 1)+ y1y2= X1X2 (X1+ X2)+ 1 + 4Jx1X2= 4 5+ 1 + 8= 8.故選 D.3.過點(一 2 , 1)斜率為 k 的直線 I 與拋物線 y2= 4x 只有一個公共點，則由 k 的值組成 的