試題七(線代方程組誤差分析_數(shù)值積分)

1、考試課程 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)下午班級 姓名 學(xué)號 得分 說明（1）第一、二、三題的答案直接填在試題紙上；（2）第四題將數(shù)學(xué)模型、簡要解題過程和結(jié)果寫在試題紙上；卷面空間不夠時(shí)，請寫在背面；（3）除非特別說明，所有計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后保留4位數(shù)字。（4）考試時(shí)間為120分鐘。一、（10分）已知一組數(shù)據(jù)x00.10.20.30.40.5y05.31.82.64.96.3用數(shù)值積分求x在（0, 0.5）內(nèi)y的積分為 1.7750 。根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試建立2次多項(xiàng)式回歸模型，其回歸系數(shù)為。在顯著性水平為0.05情況下有無異常數(shù)據(jù)（若有，請指出第幾個點(diǎn)為異常數(shù)據(jù)）？第二個。數(shù)值積分：梯形公式：x=0:0.1:0.5;y

2、=0 5.3 1.8 2.6 4.9 6.3;S1=trapz(x,y)輸出結(jié)果：S1 =1.7750多項(xiàng)式回歸：y=0 5.3 1.8 2.6 4.9 6.3;x1=0:0.1:0.5; %切削時(shí)間x2=x1.2; %刀具厚度n=6; %已知的數(shù)據(jù)容量T=ones(n,1),x1', x2' %1與自變量組成的輸入矩陣b,bint,r,rint,s=regress(y',T); %回歸分析程序(=0.05)b,bint,s,rcoplot(r,rint)輸出結(jié)果：b = 1.4821 5.58216.6071二、(10分) 已知常微分方程組初值問題，試用數(shù)值方法求_0

3、.897893_(保留小數(shù)點(diǎn)后6位數(shù)字)。你用的方法是_龍格庫塔方法 _，其精度為_四階_。%待解常微分方程組函數(shù)M文件源程序：function dy=ff (x,y) dy=y(2);-y(1)*sin(x)- exp(x);%應(yīng)用歐拉方法和龍格-庫塔方法求解該常微分方程：ts=0:0.1:0.4;y0=1,0;x,y=ode45(ff, ts,y0); %龍格-庫塔方法求數(shù)值解x, y(:,1)輸出結(jié)果：三、 (10分) 已知線性代數(shù)方程組Ax=b, 其中, , ,若方程組右端項(xiàng)有小擾動，試根據(jù)誤差估計(jì)式估計(jì)_0.06416_ (保留小數(shù)點(diǎn)后5位數(shù)字)；若取初值，則用高斯-賽德爾迭代法求解

4、Ax=b時(shí)，_(1.07103,0.37900,-0.00072,-0.06084)_，此迭代是否收斂_是_。線性代數(shù)方程組解的誤差分析：故其誤差上限為：A=10 -7 0 1 ;-3 22 6 2 ;5 -1 51 -1 ;2 1 0 25; b=8 5 5 1;db=0 0 0 0.1;d=cond(A)*norm(db)/norm(b)輸出結(jié)果：d =A=10 -7 0 1 ;-3 22 6 2 ;5 -1 51 -1 ;2 1 0 25;D=diag(diag(A); %從稀疏矩陣A中提取DL=-tril(A,-1); %從稀疏矩陣A中提取LU=-triu(A,1); %從稀疏矩陣A中

5、提取U b=8 5 5 1' %設(shè)定方程組右端項(xiàng)向量x= zeros(4,1); %設(shè)定方程組初始向量 m= inv(D-L)*U;n= inv(D-L)*b; %高斯-賽德爾迭代法for j2=1:5 y=m*(x(:,j2); for i=1:4 x(i,j2+1)=y(i,:)+n(i,:); end endt2=x(:,end) %輸出迭代法最終結(jié)果j2 輸出結(jié)果： t2 = 0.378998741589479 -0.000722946127134 -0.060842528355687 高斯-賽德爾迭代判斂法：1) 若求收斂域,需要計(jì)算系數(shù)矩陣A的正定與對稱性質(zhì)；2) 若僅僅判

6、斷收斂，直接計(jì)算迭代矩陣L的譜半徑與義的大小關(guān)系；lamda=eig(inv(D-L)*U)pubanjing=max(abs(lamda)輸出結(jié)果：pu四、（20分）飛機(jī)在飛行過程中，能夠收到地面上各個監(jiān)控臺發(fā)來的關(guān)于飛機(jī)當(dāng)前位置的信息，根據(jù)這些信息可以比較精確地確定飛機(jī)的位置。如下圖所示，高頻多向?qū)Ш皆O(shè)備（VOR）能夠得到飛機(jī)與該設(shè)備連線的角度信息；距離測量裝置（DME）能夠得到飛機(jī)與該設(shè)備的距離信息。圖中飛機(jī)接收到來自3個VOR給出的角度和1個DME給出的距離（括號內(nèi)是相應(yīng)設(shè)備測量的精度，即絕對誤差限），并已知這4種設(shè)備的x，y坐標(biāo)（假設(shè)飛機(jī)和這些設(shè)備在同一平面上）。請你根據(jù)這些信息確定

7、當(dāng)前飛機(jī)的位置，要求建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并給出解答。提示：對角度信息進(jìn)行處理時(shí)，可以考慮使用MATLAB的 atan2 函數(shù)。提示：對角度信息進(jìn)行處理時(shí)，可以考慮使用MATLAB的 atan2 函數(shù)。0yxVOR2x=629, y=375309.00 (1.30)864.3(2.0)飛機(jī)x=?, y=?VOR1x=764, y=1393161.20 (0.80)DMEx=155, y=987VOR3x=1571, y=25945.10 (0.60)北DMEx=155, y=987第四題圖：飛機(jī)與監(jiān)控臺（圖中坐標(biāo)和測量距離的單位是“公里”）考試課程 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)下午班級 學(xué)號 姓名 得分 說明（1）第

8、一、二、三題的答案直接填在試題紙上；（2）第四題將數(shù)學(xué)模型、簡要解題過程和結(jié)果寫在試題紙上；卷面空間不夠時(shí)，請寫在背面；（3）除非特別說明，所有計(jì)算結(jié)果小數(shù)點(diǎn)后保留4位數(shù)字。（4）考試時(shí)間為120分鐘。一、（10分）已知一組數(shù)據(jù)x00.10.20.30.40.5y00.31.88.64.96.3用數(shù)值積分求x在（0, 0.5）內(nèi)y的積分為 。根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試建立2次多項(xiàng)式回歸模型，其回歸系數(shù)為。在顯著性水平為0.05情況下有無異常數(shù)據(jù)（若有，請指出第幾個點(diǎn)為異常數(shù)據(jù)）？ 。二、(10分) 已知常微分方程組初值問題，試用數(shù)值方法求_(保留小數(shù)點(diǎn)后6位數(shù)字)。你用的方法是_ _，其精度為_ _。三

9、、 (10分) 已知線性代數(shù)方程組Ax=b, 其中, , , 若方程組右端項(xiàng)有小擾動，試根據(jù)誤差估計(jì)式估計(jì)_ (保留小數(shù)點(diǎn)后5位數(shù)字)；若取初值，則用高斯-賽德爾迭代法求解Ax=b時(shí)，_，此迭代是否收斂_。四、（20分）飛機(jī)在飛行過程中，能夠收到地面上各個監(jiān)控臺發(fā)來的關(guān)于飛機(jī)當(dāng)前位置的信息，根據(jù)這些信息可以比較精確地確定飛機(jī)的位置。如下圖所示，高頻多向?qū)Ш皆O(shè)備（VOR）能夠得到飛機(jī)與該設(shè)備連線的角度信息；距離測量裝置（DME）能夠得到飛機(jī)與該設(shè)備的距離信息。圖中飛機(jī)接收到來自3個VOR給出的角度和1個DME給出的距離（括號內(nèi)是相應(yīng)設(shè)備測量的精度，即絕對誤差限），并已知這4種設(shè)備的x，y坐標(biāo)（假

10、設(shè)飛機(jī)和這些設(shè)備在同一平面上）。請你根據(jù)這些信息確定當(dāng)前飛機(jī)的位置，要求建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并給出解答。提示：對角度信息進(jìn)行處理時(shí)，可以考慮使用MATLAB的 atan2 函數(shù)。0yxVOR2x=629, y=375309.00 (1.30)861.3(2.0)飛機(jī)x=?, y=?VOR1x=764, y=1393161.20 (0.80)DMEx=155, y=987VOR3x=1571, y=25945.10 (0.60)北DMEx=155, y=987第四題圖：飛機(jī)與監(jiān)控臺（圖中坐標(biāo)和測量距離的單位是“公里”）考試課程 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)A卷（班級-姓名-學(xué)號）一、1.7750;

11、 1.4821, 5.5821, 6.6071; 第2個點(diǎn)為異常數(shù)據(jù)二、0.897892 (或0.897893), 龍格-庫塔方法，3級2階(ode23)(或5級4階(ode45)三、0.06146, 1.0710, 0.3790, -0.0007, -0.0608, 收斂四、模型為 得到飛機(jī)的坐標(biāo)為（978.3070，723.9838），誤差的平方和為0.6685。附主要程序示例：（fun為上述函數(shù)，程序略）X=746 629 1571 155;Y=1393 375 259 987;theta=161.2,45.1,309.0-360*2*pi/360; % 角度轉(zhuǎn)換sigma=0.8,0.

12、6,1.3*2*pi/360;d4=864.3; %B卷為861.3sigma4=2;x0=900,700; % 初值x,norm,res,exit,out=lsqnonlin(fun,x0,X,Y,theta,sigma,d4,sigma4)B卷（班級-學(xué)號-姓名）一、1.8750; -0.9821, 28.5464, -27.3214; 第4個點(diǎn)為異常數(shù)據(jù)二、0.831371 (0.831373), 龍格-庫塔方法，3級2階(ode23)( 5級4階(ode45)三、0.07726, 1.0610, 0.3776, 0.0026, -0.0600, 收斂四、模型同A卷。計(jì)算結(jié)果：飛機(jī)的坐標(biāo)

13、為（975.2474，723.1857），誤差的平方和為0.9132。評分標(biāo)準(zhǔn)：一、第一空4分，中間三空每空1分，最后一空3分。二、第一空6分，后兩空每空2分。三、第一空3分，中間一空5分，最后一空2分。四、 模型15分（基本擬合模型5分；角度轉(zhuǎn)換正確5分；無量綱化處理正確5分）；計(jì)算結(jié)果5分（若因模型錯誤導(dǎo)致結(jié)果錯誤，可依計(jì)算方法或程序是否正確、完整給分，最多給3分；若無計(jì)算方法或程序的說明，則不給分）。考試課程 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)A卷（班級-姓名-學(xué)號）一、1.7750; 1.4821, 5.5821, 6.6071; 第2個點(diǎn)為異常數(shù)據(jù)二、0.897892 (或0.897893

14、), 龍格-庫塔方法，3級2階(ode23)(或5級4階(ode45)三、0.06146, 1.0710, 0.3790, -0.0007, -0.0608, 收斂四、模型為 得到飛機(jī)的坐標(biāo)為（978.3070，723.9838），誤差的平方和為0.6685。附主要程序示例：（fun為上述函數(shù)，程序略）X=746 629 1571 155;Y=1393 375 259 987;theta=161.2,45.1,309.0-360*2*pi/360; % 角度轉(zhuǎn)換sigma=0.8,0.6,1.3*2*pi/360;d4=864.3; %B卷為861.3sigma4=2;x0=900,700; % 初值x,norm,res,exit,out=lsqnonlin(fun,x0,X,Y,theta,sigma,d4,sigma4)B卷（班級-學(xué)號-姓名）一、1.8750; -0.9821, 28.5464, -27.3214; 第4個點(diǎn)為異常數(shù)據(jù)二、0.831371 (0.831373), 龍格-庫塔方法，3級2階(ode23)( 5級4階(ode45)三、0.07726, 1.0610, 0.3776, 0.0026, -0