第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)ppt課件

1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、有界性與最大值和最小值定理一、有界性與最大值和最小值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束一、有界性與最大值和最小值定理一、有界性與最大值和最小值定理【定義】【定義】.)()()()()()()(,),( 0000值值小小上上的的最最大大在在區(qū)區(qū)間間是是函函數(shù)數(shù)則則稱稱都都有有使使得得對(duì)對(duì)于于任任一一如如果果有有上上有有定定義義的的函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于在在區(qū)區(qū)間間Ixfxfxfxf

2、xfxfIxIxxfI 例如例如,sgn xy ,),(上上在在, 2max y; 1min y,), 0(上上在在 . 1minmax yy,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y, 1max y【注意】【注意】最值可以取在閉區(qū)間的端點(diǎn)處最值可以取在閉區(qū)間的端點(diǎn)處. .),(2上上無(wú)無(wú)最最值值在在baxy 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束【定理【定理1 1】( (有界性與最大值和最小值定理有界性與最大值和最小值定理) ) 在在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有界且必閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有界且必取得它的最大值和最小值取得它的最大值和最小值.

3、.ab2 1 xyo)(xfy ).()(),()(,;| )(|, 0,)(2121xffxffbaxbaMxfbaxMbaCxf 有有使使得得滿滿足足對(duì)對(duì)則則若若機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 【注意】【注意】1.1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間, ,定理不一定成立定理不一定成立; ;如圖如圖a a3.由此可知定理的條件是充分條件由此可知定理的條件是充分條件,不必要不必要.圖圖a a圖圖b b2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立定理不一定成立.如圖如圖b機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回

4、結(jié)束結(jié)束.)( , 0)(000的的零零點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為函函數(shù)數(shù)則則使使如如果果xfxxfx 二、零點(diǎn)定理與介值定理二、零點(diǎn)定理與介值定理0)()( , )( bfafbaxf上上連連續(xù)續(xù)，且且在在若若，使使得得則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)),(ba 【定義】【定義】【定理【定理2】(零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理):1.零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理【作用】常用于判斷方程有根【作用】常用于判斷方程有根 根的存在性根的存在性.0)( f即方程即方程 f (x)= 0 在在 (a,b) 內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)根.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束.)( ),( ),( , ,)()(,)(C

5、fbabaCBABbfAafbaCxf 使使至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間之之間間的的任任意意一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)與與那那么么對(duì)對(duì)于于不不相相等等與與且且端端點(diǎn)點(diǎn)值值設(shè)設(shè)ab3 2 1 【幾何解釋】【幾何解釋】. , )(軸至少有一個(gè)交點(diǎn)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點(diǎn)位于端點(diǎn)位于的兩個(gè)的兩個(gè)連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy 2、介值定理、介值定理定理定理3(3(介值定理介值定理):):機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束.)(至少有一個(gè)交點(diǎn)至少有一個(gè)交點(diǎn)直線直線與水平與水平連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧Cyxfy 【幾何解釋】【幾

6、何解釋】【證】【證】,)()(Cxfx 設(shè)設(shè)Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理, ,使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 那么那么,)(baCx ？機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束【推論】在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最【推論】在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最 大值大值 M M 與最小值與最小值 m m 之間的任何值之間的任何值. .【例【例1 1】.)1 , 0(01423內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在證證明明方方程程 x

7、x【證】【證】, 14)(23 xxxf令令, 1 , 0)( 上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理, ,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即. )1 , 0( 014 23 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在方方程程 xx【分析】至少有一根【分析】至少有一根存在性存在性【證】【證】設(shè)設(shè)m=f(x1),M=f(x2),而而 mM,在閉區(qū)間在閉區(qū)間x1,x2(或或 x2,x1)上應(yīng)用介值定理，即可得證上應(yīng)用介值定理，即可得證.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束【補(bǔ)例【補(bǔ)例2 2】.)(),(.)(,)(,)(

8、fbabbfaafbaxf使使得得證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)【證】【證】,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理, ,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即【分析】【分析】 本題關(guān)鍵是尋求符合零點(diǎn)定理的函數(shù)來(lái)證明本題關(guān)鍵是尋求符合零點(diǎn)定理的函數(shù)來(lái)證明. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束【注】【注】1.上面的上面的 稱為輔助函數(shù)稱為輔助函數(shù).xxfxF )()(把結(jié)論中的把結(jié)論中的 改寫成改寫成x 移項(xiàng)，使等式右邊為移項(xiàng)，使等式右邊為0

9、 0令左邊式子為令左邊式子為)(xF2.使用零點(diǎn)定理作輔助函數(shù)使用零點(diǎn)定理作輔助函數(shù)F(x)的一般作法：的一般作法：那么那么 即為所求的輔助函數(shù)即為所求的輔助函數(shù). .)(xF3. 一定注意本節(jié)中的所有定理的條件都是一定注意本節(jié)中的所有定理的條件都是充分條件充分條件.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束三、小結(jié)三個(gè)定理三個(gè)定理有界性與最值定理有界性與最值定理; ;介值定理介值定理; ;根的存在性定理根的存在性定理. .注意注意1 1閉區(qū)間；閉區(qū)間； 2 2連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立解題思路解題思路1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法:先作輔助函數(shù)先作輔助函數(shù)F(x),再利用零點(diǎn)定理再利用零點(diǎn)定理;機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束【思考題】【思考題】下述命題是否正確？下述命題是否正確？ 如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義，在在),(ba內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)()( bfaf，那那么么)(xf在在),(b