從不同數(shù)學(xué)思想角度談解三角形(提升類)

1、將簡單的方法練到極致就是絕招!夕課題從不同數(shù)學(xué)思想角度談解三角形解三角形是近些年高考的熱點(diǎn)，各省市的命題人在命題方向上標(biāo)新立異，但是我們可以從不同的方向上來解析歷年省市的真題、各地的模擬題，從而探索解三角形的熱點(diǎn)命題規(guī)律，進(jìn)一步的提升考生對該知識點(diǎn)的解題能力。本篇將從不同的數(shù)學(xué)思想角度對解三角形問題進(jìn)行剖析！角度一：轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想方法在研究、解決數(shù)學(xué)問題中，當(dāng)思維受阻時考慮尋求簡單方法或從一種情形轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是成功的思維方式.利用正、余弦定理，通過“邊化角、角化邊、切化弦等”的角度對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化

2、為熟悉的三角恒等變換、三角函數(shù)、平面向量等問題，再進(jìn)行求解.1. （2015江南十校聯(lián)考）在三角形ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知a=2仙，c=H21+鬻=2c，則C等于（）tanBbA.30°B.45°C.45°或135°D.60°【解析】由1+等2=與和正弦定理，得cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA,tanBbcosA=60°.由正弦定理，得snA=snfC，則sinC=2-又c<a,-C<60°,故C=45°.【答案】選C2.

3、 （2015安徽合肥質(zhì)檢）在三角形ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且a2=b2+c2+V3bc.若a=5,S為ABC的面積，則S+3cosBcosC的最大值為（）A.3B.V2C.2D.3314b + c a /3bc【解析】由cos A=呼，A = 5,又 a=率,故 S= 1bcsin A= asin B asin C 26,22 sin A=3sin Bsin C,因此 S+ 3cos Bcos C=3sin Bsin C+3cos Bcos C=3cos (BC),于是當(dāng) B= C 時取得最大值3.【答案】選A3. （2015四川德陽二診）已知三角形ABC的三邊長是三

4、個連續(xù)的自然數(shù)，且最大的內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍，則最小內(nèi)角的余弦值為 （B.7102D- 3【解析】 依題意，不妨設(shè)三邊長 a=m1, b=m, c=m+1,其中m遜,mCN,則有C=2A, sin C=sin 2A=2sin Acos A,由正、余弦定理得 c=2a",則 bc2 = a(b2c2- a2),于是 m(m+ 1)2= (m2bc2b2 c2-a2-1)(m +4m),解得 m = 5,故 cos A= 2bc52+ 62- 42 3萬/=4【答案】選A4. （2015安徽合肥模擬）在銳角三角形ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c, b+"a=6co

5、s C, a btanC tanAtanCtanB的值是【解析】由b+>6cosC,得b2+a2=6abcosC.化簡整理得sin2c c2_2c2cos Csin Asin B-a2+ b2_ 廠 a2+ b2-c2ab . 2ab5.在 ABC 中，B=60°, AC = V3,貝U AB+2BC 的最大值為 （a2+b2）=3c2，將煞+黑切化弦,sinCcosCcosAcosBsinC(sinA+sinB)cosC©n(A+B)sinAsinBsinCsinCcosCsinAsinBsin2ccosCsinAsinB.根據(jù)正、余弦定理得22c.=4.fc2-c

6、2由正弦定理知ABsinC.3_BCsin60-sinA'AB=2sinC,BC=2sinA,又A+C=120°,AB+2BC=2sinC+4sin(120-C)=2(sinC+2sin120CosC-2cos120sinC)=2(sinC+V3cosC+sinC)=2(2sinC+V3cosC)=2市sin(C+%3其中tana=%，a是第一象限角，由于0°<C<120°,且a是第一象限角，因此AB+2BC有最大值25.【答案】256.（2015浙江高考）在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,已知tan/+A；=2.“、小s

7、in2A求sin2A+cos2A的值;(2)若B=4，a=3,求ABC的面積.【解】 由 tan'£+ A f= 2,得 tan A= 1, .4 3 * * * *sin2A2tan Asin2A cos A 2tan A 1(2)由tanA=；,AC(0,t),得sinA=q，cosA=f1031010又由a=,B=四正弦定理就=磊,得b=3V5由sinC=sin(A+B)=sin(A+j),得sinC=25451則ABC的面積S=2absinC=9.【變式11（2015廣東汕頭質(zhì)檢）鈍角三角形的三邊長為a,a+1,a+2,其最大角不超過120°,則a的取值范圍

8、是（）A . 0vav3C. 2vaW338. 3<a<35D.Ka<-【解析】因?yàn)閍, a+1, a +2為鈍角三角形的三邊長,，a+a+ 1 >a + 2,則a>1.由大邊對大角可知，邊長為a+2的邊對應(yīng)的角。最大，由余弦定理得a2+(a+1)2-(a+2)cos 0=2a(a + 1)2 一 13-e(0, -2),得夫<3.【答案】選B【變式12（2015甘肅蘭州模擬）若滿足條件C=60°,AB=V3,BC=a的三角形ABC有兩個，那么a的取值范圍是（）A.(1,亞)B.(亞.3)C.(V3,2)D.(1,2)【解析】因?yàn)镃=60°

9、;,AB=，3,由正弦定理，得ABBCsABC=sBCA=2,a2sina，又.a+b=120，BA在WC方向上的投影.求cosA的值；(2)若a=4"2,b=5,求向量八一B3cos B=-|, 5【解】(1)由2cos2cosBsin(AB)sinB+cos(A+C)=得cos(AB)+1cosBsin(AB)sinB3即cos(AB)cosBsin(AB)sinB=5.則cos(AB+B)=3,即cosA=3.55(2)由cosA=3,0<A<兀，彳導(dǎo)sinA=4,55abbsinA22由正弦7E理，有s-7=s-,所以sinB=r=2.,一,i兀由題知a>b

10、,則A>B,故B=t.4根據(jù)余弦定理，有（42）2=52+c22X5cX5j解得c=1或c=7（舍去）.故向量BA在bc方向上的投影為iBAicosb=乎.角度二：函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程思想，是從問題中的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.有時，還通過函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的.1. （2015石家莊模擬）在4ABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且滿足csinA=V3acosC,則sinA+

11、sinB的最大值是（）A.1B.亞C.V3D.3【解析】由csinA=V3acosC,得sinCsinA=43sinAcosC,在ABC中sinAwq所以sinC=J3cosC,cosA= V3sin,+ j ；，,tanC=，73,C(0,nt)則C=3t.所以sinA+sinB=sinA+sin甘+Aj=3sinA+23ACp,家所以當(dāng)A=3時，sinA+sinB取得最大值V3.【答案】選C2. （2015天津和平二模）AABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，DC=2BD,AD=<2,/ADC=45°,若AC=42aB,則BD等于（）B. 4A.2+3D.【解析】在ADC中，AC2=

12、AD2+DC22ADDCcos45=2+DC22v2DC芋=2+DC22DC;在ABD中，AB2=BD2+AD2-2BDADcos135=BD2+2+2/2BD號=2（2+BD2+2BD）,整理得BD24BD1=0,解得BD=2+75或2於（舍去）.【答案】選C3. （2015湖北武漢）在三角形ABC中，2sin2A=J3sinA,sin（B-C）=2cosBsinC,則爺=.2AB【解析】2sin2A=-J3sinA?1cosA=x/3sinA?sin（A+t）=1,因?yàn)?vAv丹A+3<9,則A2162666+6c=5f,所以A=2-再由余弦定理，得a2=b2+c2+bc,；將sin

13、（B-C）=2cosBsinC展開得sina2+b2c2a2+c2b2222BcosC=3cosBsinC,將其角化邊，得b：=c,即2b2c=a,；將代入，2ab2ac得b23c2bc=0,左右兩邊同除以c2,得A；2c3=0,解得bc="黃或：=上213（舍去），,AB=b=產(chǎn).【答案】子c224. （2015浙江杭州月考）在4ABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,已知bcosC+,bsinCac=0.求B；（2）若b=#,求2a+c的取值范圍.【解】（1）由正弦定理知sinBcosC+/sinBsinCsinAsinC=0,將sinA=sin（B+C）=sinBco

14、sC+cosBsinC代入上式，得V3sinBsinCcosBsinCsinC=0,在ABC中，sinCWQ則V3sinB-cosB1=0,即sin36!=2.一兀又0VBvTt,貝UB=".3(2)由(1)得sin B sin A sin C一，-_-.2兀一L-2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin(-A)=5sinA+43cosA=2j7sin(A+o),3其中tana=坐，a是第一象限角，由于0°vAv120°,且a是第一象限角，2>/7sin(A+a)C(M3,2/7因此2a+c的取值范圍為(43,2y75. (2015江西臨川二聯(lián)

15、)凸四邊形PABQ中，其中A、B為定點(diǎn)，AB=<3,P、Q為動點(diǎn)，滿足AP=PQ=QB=1.(1)寫出cosA與cosQ的關(guān)系式；(2)設(shè)三角形PAB和三角形PQB的面積分別為S和求S2+T2的最大值.【解】(1)在PAB中，由余弦定理知PB2=PA2+AB22PAABcosA=42，3cosA,同理，在APQB中PB2=22cosQ,.42V3cosA=22cosQ,cosQ=>/3cosA1,131(2)由已知得，S=2PAABsinA=2-sinA,T=PQQBsinQ,S2+T2=3sin2A+1sin2Q=3(1cos2A)+3(1cos2Q)444432也3327=-2

16、cosA+2cosA+4=-2c°sA61+8，當(dāng)cosA=乎時，S2+T2有最大值為8.【變式2-1已知ABC的三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,向量m=(sinB,1cosB)與向1量n=(2,0)的夾角0的余弦值為2.(1)求角B的大?。?2)若b=<3,求a+c的范圍.【解】(1).m=(sinB,1cosB),n=(2,0),.mn=2sinB,又|m|=Jsin2B+(1cosB2=弋2-2cosB=2sin2,B兀BB,0<B<7t,-0<2'<2，-sin2>0,.|m|=2sin.工mn2sinBB1B%2.5而|

17、n|=2,cos0=麗|=cos2=2，出=3,-8=萬.(2)由(1)得.D=.人=.八=2,且A+C=qsinBsinAsinC3a+c=2sinA+2sinC=2sinA+2sin(gA)=sinA+3cosA=2sin(A+3),又0vA<3，所以3VA+3v2,所以當(dāng)vsinp+3得，(® 2.所以娟2sinb+3,2,即a+c的取值范圍為【變式22(2015湖南高考)設(shè)4ABC的三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,a=btanA,且B為鈍角.、._兀(1)證明：BA=2；(2)求sinA+sinC的取值范圍.俁A)【證明】由a-A及正弦定理得羽二3=器，所以s

18、inB=cosA,即sinB=sin又B為鈍角，則j+AC£,nt)故B=A+2,即B-A=2.【解】(2)由可知C=兀一(A+B)=兀一(2A+2)=2t2A>0,故AC(0,力.則sinA+sinC=sinA+sin2J2AUsinA+cos2A=2sin2A+sinA+1=.0vA<4，故0vsinAv,因止匕苗-2(sinA-由此可知sin A+ sin C的取值范圍是【變式23(2015河北衡水五調(diào))已知圓。的半徑為R(R為常數(shù))，它的內(nèi)接ABC滿足2R(sin2Asin2C)=(42ab)sinB,其中a,b,c分別為角A,B,C的對邊，求ABC面積的最大值.

19、【解】由正弦定理得a2c2=b(亞ab),即a2+b2c2=M2ab由余弦定理得cosC=a+2bc=*，則C=；2ab24則S=2absinC=J2RsinA2RsinBsin；=V2R2sinAsinB37tEr37t又A+B=r即b7A則S=/R2sinAsinB=V2R2sinAsin(34？-A)=R2(sin2A+sinAcosA)=R2sin(2A4)+2又0VA竽,則-*2A-東竽則當(dāng)2A-j=2,即A=B=8附，4ABC面積的最大值為Smax=2角度三：數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，將反映問題的抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)合起來，也

20、是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來的一種解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.1. （2015河南長葛模擬）在三角形ABC中，已知A：B=1：2,/ACB的平分線CD把三角形分成面積為3：2的兩部分，則cosA等于（1B.2D.0【解析】如圖,Saacd 3 ADSa bcd 2DBB = 2A/ACD=/BCD,設(shè) AD = 3k, BD = 2k (k>0),A D B在AACD中，由正弦定理得CD：.3ksinAsin/ACD在ABCD中，由正弦定理得-C

21、D=.2k=.2k即丁CD一.2工;sinBsin/BCDsin/ACD2sinAcosAsin/ACD'一一33由得2cosA=2,即cosA=j.【答案】選C2.（2015吉林長春調(diào)研）在扇形AOB中，圓心角/AOB等于60°,半徑為2,在弧AB上有一動點(diǎn)P,過點(diǎn)P引平行于OB的直線交OA于點(diǎn)C,設(shè)/AOP=。，則三角形POC面積取最大值時。的值為.【解析】如圖，,.CP/OB,./CPO=ZPOB=60°-0,ZOCP=120°,在4POC中，由正弦定理得OPCPCPsin/PC。sin 8 '' sin120 sin O'4

22、 .CP =、sin 0,3'OOC2-4又=Tni5>n-OC=_jzsin(600),sin(60-0)sin120V3，三角形 POC 面積為 S(0)=1CP OCsin120 = 1 4sin 21 2 “J34e- .3：sin(60 -)34。42 =73sin 0 sin(60 。飛sin 6(當(dāng)cos 0 2sin =祠o 1sin(2 0+ 30 ) 2, .長(060 ), .,.2 9+ 30°C (30 ； 150°), .當(dāng) 0= 30°時，S（0）取得最大值為孚.【答案】30。3【變式31（2015浙江杭州模擬）在三角形

23、ABC中，ZC=90°,M是BC的中點(diǎn).若sin/BAM=1,3則sin/BAC=【解析】如圖，設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,在ABM中，由正弦定理得1 2asin/22BAM sin/BMA'因?yàn)?sinZBMA = sin ZCMA = AC , AMI又 AC=b = /c2a2, AM =、c2a2. sin ZBMA = 3 24a1一一 2ac 42 24,又由得 =一22 ，兩邊平萬化間得 4c 12a c + 9a = 0,1, c -a2c23a2=。，則 sinZBAC=a當(dāng).【答案】乎【變式3-2（2015新課標(biāo)全國卷）AABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD

24、平分/ABC,AABD面積是ADC面積的2倍.sinZB求力C,2(2)若AD=1,DC=2,求BD和AC的長.Saabd=2Sxacd,/BAD=/CAD,.AB=2AC,4十口m/曰sin/BAC1由正弦te理，信sinZC=AB=2,(2).#=BD,，BD=#,SaacdDC在ABD和AACD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD22 AD BD cos/ ADB,AC2=AD2+ DC2-2 AD DC cosZ ADC,故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6,由(1)知AB=2AC,.ACnl.角度四：分類討論思想所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，如不

25、能用同一標(biāo)準(zhǔn)、同一種運(yùn)算、同一個定理或同一種方法去解決，因而會出現(xiàn)多種情況，我們就需要對研究的對象進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)論得到整個問題的解答.實(shí)質(zhì)上分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略.分類討論時應(yīng)注意理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到“確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)、不遺漏地分類討論”.3,31 .在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ac=3,Saabc=.求B;(2)若b=也,求ABC的周長.【解】(1)因?yàn)镾AABc=2acsinB,所以1><3sinB=乎，即sinB=3.又因?yàn)?<B

26、v兀，所以B=f.33萬，、27r(2)由(1)可知，B=或后，33當(dāng)B=3H因?yàn)閍2+c2-ac=(a+c)2-3ac=2,ac=3,所以a+c=<11;當(dāng)B=2輸，因?yàn)閍2+c2+ac=2,ac=3,所以a2+c2=1(舍去)，所以ABC的周長為a+c+b=VH+V2.2 .在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別是a,b,c.若c=2,C=3,且ABC的面積為®求a,b的值；(2)若sinC+sin(BA)=sin2A,試判斷ABC的形狀.【解】(1)c=2,C=3，由余弦定理c3.3,.(2) .S*BC = 2absin C=， ab = 6若 C =；,由余弦定理

27、 c2= a2+b22abcos C,可得 a+b = 5;若C = 2由余弦定理 c2= a2+b22abcos C,可得a2+b2=1,無解；故 a + b = 5.【變式42(2015江西重點(diǎn)中學(xué)二聯(lián))在三角形 ABC中，2sin 2Acos A- sin 3A+V3cos A= 布.=a2+b22abcosC得a2+b2ab=4.1又,.ABC的面積為J3，-absinC=用，ab=4.a2+b2ab=4,聯(lián)立方程組解得a=2,b=2.ab=4,(2)由sinC+sin(B-A)=sin2A,得sin(A+B)+sin(BA)=2sinAcosA,即2sinBcosA=2sinAcosA,cosA(sinAsinB)=0,cosA=0或sinAsinB=0,當(dāng)cosA=0時，0<A<Tt,，A=2,4ABC為直角二角形；當(dāng)si