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1、第七章 彎曲變形7-2 圖示外伸梁AC，承受均布載荷q作用。已知彎曲剛度EI為常數(shù)，試計(jì)算橫截面C的撓度與轉(zhuǎn)角，。題7-2圖 解：1. 建立撓曲軸近似微分方程并積分 支座A與B的支反力分別為 AB段（0x1a）：(a)(b) BC段（0x2a）：(c)(d) 2. 確定積分常數(shù) 梁的位移邊界條件為(1)(2)連續(xù)條件為(3)(4) 由式（b）、條件（1）與（2），得， 由條件（4）、式（a）與（c），得由條件（3）、式（b）與（d），得 3. 計(jì)算截面C的撓度與轉(zhuǎn)角 將所得積分常數(shù)值代入式（c）與（d），得CB段的轉(zhuǎn)角與撓度方程分別為將x2=0代入上述二式，即得截面C的轉(zhuǎn)角與撓度分別為7-3

2、圖示各梁，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試根據(jù)梁的彎矩圖與約束條件畫出撓曲軸的大致形狀。題7-3圖解：各梁的彎矩圖及撓曲軸的大致形狀示如圖7-3。圖7-37-6 圖示簡支梁，左、右端各作用一個(gè)力偶矩分別為M1與M2的力偶。如欲使撓曲軸的拐點(diǎn)位于離左端l/3處，則力偶矩M1與M2應(yīng)保持何種關(guān)系。題7-6圖解：梁的彎矩圖如圖7-6所示。依題意，拐點(diǎn)或M=0的截面，應(yīng)在處，即要求由此得圖7-67-7 在圖示懸臂梁上，載荷F可沿梁軸移動(dòng)。如欲使載荷在移動(dòng)時(shí)始終保持相同的高度，則此梁應(yīng)預(yù)彎成何種形狀。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。題7-7圖解：在位于截面x的載荷F作用下，該截面的撓度為因此，如果將梁預(yù)彎成的形狀，則當(dāng)載

3、荷F沿梁軸移動(dòng)時(shí)，載荷始終保持同樣高度。7-8 圖示懸臂梁，彎曲剛度EI為常數(shù)。在外力作用下，梁的撓曲軸方程為式中，a為已知常數(shù)。試畫梁的剪力與彎矩圖，并確定梁所承受的載荷。題7-8圖 解：1. 內(nèi)力分析梁的剪力、彎矩圖如圖7-8所示。圖7-8 2. 外力分析在區(qū)間AB內(nèi)，由上式與剪力、彎矩圖的連續(xù)性可知，在該區(qū)間內(nèi)既無分布載荷，也無集中載荷。由剪力、彎矩圖可知，截面B的剪力與彎矩分別為在梁端切取微段BB，并研究其平衡，得作用在截面B的集中力與集中力偶矩分別為 （i） （Q）7-9 圖示各梁，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試用奇異函數(shù)法計(jì)算截面B的轉(zhuǎn)角與截面C的撓度。題7-9圖 (a)解：1.求支反力

4、由梁的平衡方程和，得2建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標(biāo)，由題圖可見，彎矩的通用方程為撓曲軸的通用近似微分方程為將其相繼積分兩次，得(a)(b)3確定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為：在處， (c)在處，(d)將條件(c)代入式(b)，得將條件(d)代入式(b)，得4建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b)，得撓曲軸的通用方程為由此得段與段的撓曲軸方程分別為5計(jì)算和將代入上述或的表達(dá)式中，得截面的撓度為將以上所得值和代入式(a)，得截面的轉(zhuǎn)角為(b)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得2建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標(biāo)，由題圖可見，彎矩的通用方程為撓曲軸的通用近似微分方程為將其相繼積分

5、兩次，得(a)(b)3確定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為：(c)(d)將條件(c)與(d)分別代入式(b)，得4建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b),得撓曲軸的通用方程為由此得段與段的撓曲軸方程分別為5計(jì)算和將代入上述或的表達(dá)式中，得截面的撓度為將以上所得值和代入式（a），得截面的轉(zhuǎn)角為(c)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得2建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標(biāo)，由題圖可見，彎矩的通用方程為撓曲軸的通用近似微分方程為將其相繼積分兩次，得3確定積分常數(shù)該梁的位移邊界條件為：(c)(d)將條件(c)與(d)分別代入式(b)和(a)，得4建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b)，得撓曲軸的通

6、用方程為由此得段、段和段的撓曲軸方程依次為5計(jì)算wC和將代入上述或的表達(dá)式中，得截面的撓度為將以上所得值和代入式(a)，得截面的轉(zhuǎn)角為(d)解：1.求支反力由梁的平衡方程和，得2建立撓曲軸近似微分方程并積分自向右取坐標(biāo)，由題圖可見，彎矩的通用方程為撓曲軸的通用近似微分方程為將其相繼積分兩次，得(a)(b)3確定積分常數(shù)梁的位移邊界條件為：在處， (c)在處， (d)將條件(c)代入式(b)，得將條件(d)代入式(b)，得4建立撓曲軸方程將所得C與D值代入式(b)，得撓曲軸的通用方程為由此得段與段的撓曲軸方程分別為5計(jì)算和將代入上述的表達(dá)式中，得截面的撓度為將以上所得值和代入式(a)，得截面的轉(zhuǎn)

7、角為7-10 圖示各梁，彎曲剛度EI均為常數(shù)。試用疊加法計(jì)算截面B的轉(zhuǎn)角與截面C的撓度。題7-10圖 (a)解：由產(chǎn)生的位移為由產(chǎn)生的位移為應(yīng)用疊加法，得截面的轉(zhuǎn)角及截面的撓度分別為(b)解：梁段及梁段的受力情況示如圖7-10b(1)和(2)。圖7-10b由圖(1)可得截面的轉(zhuǎn)角為由圖(1)和圖(2)，應(yīng)用疊加法得截面的撓度為(c)解：梁段及梁段的受力情況示如圖7-10c(1)和(2)。圖7-10c由圖(1)可得截面的轉(zhuǎn)角為由圖(1)和圖(2)，應(yīng)用疊加法得截面的撓度為(d)解：求時(shí)可以書中附錄E的7號(hào)梁為基礎(chǔ)，以x代替a，以q(x)dx代替F，寫出B端截面的微轉(zhuǎn)角 (a)式中，q(x)為截面

8、x處的載荷集度，其值為 (b)將式(b)代入式(a)后兩邊積分，即得截面B的轉(zhuǎn)角為求wC可以教材附錄E中8號(hào)梁為基礎(chǔ)，所求截面的撓度為表中所列的一半，即7-12 圖示外伸梁，兩端承受載荷F作用，彎曲剛度EI為常數(shù)。試問：(a) 當(dāng)x / l為何值時(shí)，梁跨度中點(diǎn)的撓度與自由端的撓度數(shù)值相等；(b) 當(dāng)x / l為何值時(shí)，梁跨度中點(diǎn)的撓度最大。題7-12圖解：在端點(diǎn)力偶矩Me作用下，跨度為a的簡支梁的中點(diǎn)撓度為將梁端載荷F簡化到截面D與G，得簡支梁DG的受力如圖b所示,梁端各作用一附加力偶矩Fx。根據(jù)上述公式，簡支梁DG中點(diǎn)的撓度為(a)在上述二力偶矩作用下，截面D的轉(zhuǎn)角為 （Q）所以，外伸梁端點(diǎn)

9、A的撓度為(b)為使梁跨度中點(diǎn)C與梁端A的撓度數(shù)值相等，即使得為使梁跨度中點(diǎn)C的撓度最大，由式（a），并令得7-14 圖示各剛架，各截面的彎曲剛度與扭轉(zhuǎn)剛度分別為EI與GIt，試用疊加法計(jì)算自由端形心C的水平與鉛垂位移。題7-14圖(a)解：由圖7-14a可以看出，在力偶矩作用下,桿段AB的截面B產(chǎn)生水平位移DBx與轉(zhuǎn)角，其值分別為由此得截面C的水平與鉛垂位移分別為圖7-14(b)解：由圖7-14b可以看出，桿段AB處于彎扭受力狀態(tài)，截面B的鉛垂位移與轉(zhuǎn)角分別為由此得截面C的水平與鉛垂位移分別為7-16 試用疊加法計(jì)算圖示各階梯形梁的最大撓度。設(shè)慣性矩I2 = 2I1 。題7-16圖 (a)解

10、：容易判斷，最大撓度發(fā)生在截面處（見下圖）。如圖7-16a(1)所示，梁段在F和Fa作用下，有和圖7-16a由圖(2)可得最后，應(yīng)用疊加法求得最大撓度為(a)(b)解：不難判斷，最大撓度發(fā)生在中間截面處。圖7-16b如圖7-16b(1)所示，由于左右對(duì)稱，截面的轉(zhuǎn)角必然為零。由此可將圖(1)求的問題轉(zhuǎn)化為圖(2)所示懸臂梁求撓度的問題，并可利用本題(a)中所得的結(jié)果，只需將式(a)中的更換為即可。最后求得的最大撓度為(b)7-17 圖示懸臂梁，承受均布載荷q與集中載荷ql作用。材料的彈性模量為E，試計(jì)算梁端的撓度及其方向。題7-17圖解： 梁端的總撓度為其方向示如圖7-17，由圖可知，圖7-1

11、77-19 試求圖示各梁的支反力。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。題7-19圖 (a)解：此為三度靜不定問題，但有反對(duì)稱條件可以利用。此題以解除多余內(nèi)約束較為方便。在作用面處假想將梁切開，并在其左、右面各施加一，在切開截面僅有反對(duì)稱內(nèi)力存在，示如圖7-19a。圖7-19a變形協(xié)調(diào)條件為(a)截面的撓度之所以為零，這是由反對(duì)稱條件決定的。利用疊加法，得(b)將式(b)代入式(a)，于是得方向如圖所示。據(jù)此可求得其它支反力為(b)解：此為兩度靜不定問題?？稍诹洪g鉸處解除多余約束，得該靜不定結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖7-19b所示。圖7-19b變形協(xié)調(diào)條件為(d)物理關(guān)系為(e)將式(e)代入式(d)，得由相當(dāng)系統(tǒng)的

12、平衡條件，求得其它支反力為7-21 題7-20所示傳動(dòng)軸，由于加工誤差，軸承C處的位置偏離軸線= 0.25mm，試計(jì)算安裝后軸內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。已知軸的彈性模量E = 200GPa。解：此為一度靜不定問題。傳動(dòng)軸的相當(dāng)系統(tǒng)示如圖7-21。變形協(xié)調(diào)條件為(a)圖7-21在多余支反力作用下，截面的撓度為(b)將式(b)代入式(a)，得由此得由圖可知，梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在截面，其值為由此得梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力為7-22圖示結(jié)構(gòu)，梁AB與DG用No18工字鋼制成，BC為圓截面鋼桿，直徑d = 20 mm，梁與桿的彈性模量均為E = 200 GPa。若載荷F = 30 kN，試計(jì)算梁與桿內(nèi)的最大正應(yīng)力

13、，以及橫截面C的撓度。題7-22圖解：設(shè)桿BC受拉，軸力為FN。在載荷F與軸力FN作用下，梁DG中點(diǎn)C的鉛垂位移為梁桿結(jié)構(gòu)ABC的下端截面C的鉛垂位移則為根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，得 (a)對(duì)于No18工字鋼，桿BC的橫截面面積為代入式（a），得而梁AB與DG的最大彎矩則分別為根據(jù)上述分析，得桿BC橫截面上的正應(yīng)力為梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力為而截面C的撓度則為7-23圖a所示結(jié)構(gòu)，由梁AB與桿CB組成，并承受鉛垂載荷F作用。梁各截面的彎曲剛度均為EI，桿各截面的拉壓剛度均為EA，且I=Al2/2，試計(jì)算梁的最大彎矩與桿的軸力。題7-23圖解：本問題屬于一度靜不定。在載荷F作用下，桿BC軸向受拉，軸力用FN

14、表示，梁的受力如圖b所示。設(shè)桿的軸向變形為Dl，梁截面B的撓度為d，則變形協(xié)調(diào)條件為(a) 梁截面B的撓度為桿的軸向變形為將上述二式代入式（a），得補(bǔ)充方程為由此得桿BC的軸力為而梁的最大彎矩則為7-24 圖示剛架，彎曲剛度EI為常數(shù)，試畫剛架的彎矩圖。題7-24圖解：圖a與b所示結(jié)構(gòu)均為一度靜不定問題。解除端的多余約束，代之以多余約束反力，由變形協(xié)調(diào)條件解得此二剛架的多余約束反力依次為此二剛架的彎矩圖分別如圖7-24a和b所示。圖7-24 7-25 圖a所示梁，彎曲剛度EI為常數(shù)。若欲使梁端支座A旋轉(zhuǎn)q，則需在A端施加多大的力偶矩MA，并求相應(yīng)的支反力。題7-25圖解：取相當(dāng)系統(tǒng)如圖b所示，

15、在FAy與MA作用下，截面A的撓度與轉(zhuǎn)角分別為由上述二式，并分別令即經(jīng)聯(lián)立求解，于是得， 并從而有， 7-26 如圖a所示，一長度為l、彎曲剛度為EI、重量為W的細(xì)長直梁，放置在水平剛性平臺(tái)上。設(shè)在梁端施加鉛垂載荷F=W/3后，部分梁段離開臺(tái)面，試求分離段的長度a、梁端的撓度與梁內(nèi)的最大彎矩。題7-26圖 解：梁段BC與水平剛性平臺(tái)緊貼，各截面的撓度、轉(zhuǎn)角與曲率均為零，即當(dāng)不考慮剪力對(duì)梁變形的影響時(shí)，彎矩與梁軸曲率成正比，所以，梁段BC各截面的彎矩均為零，橫截面B的彎矩也為零。 根據(jù)上述分析，梁段AB可簡化為懸臂梁（圖b），但截面B處的支反力偶矩為零，即由此得(a) 利用疊加法，得截面A的撓度

16、為將式（a）代入上式，得 梁段AB的彎矩方程為而在梁段BC內(nèi)，各截面的彎矩均為零，于是得梁的彎矩圖如圖c所示，最大彎矩為7-27 如圖所示，梁左端A固定在具有圓弧形表面的剛性平臺(tái)上，自由端B承受載荷F作用。試計(jì)算截面B的撓度及梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。平臺(tái)圓弧表面AC的曲率半徑R、梁的尺寸l，b與以及材料的彈性模量E均為已知。題7-27圖解：1.計(jì)算截面的撓度設(shè)在作用下梁段與圓弧形表面貼合，并設(shè)段的長度為，則由圖7-27a得由此得(a)圖7-27由于貼合段梁的曲率為常值，可知此段的彎矩也是常值。據(jù)此可畫出梁的彎矩圖，示如圖b。根據(jù)梁的約束條件及圖b，可進(jìn)一步推知其受力情況，示如圖c。由圖c得截面的

17、撓度為(b)再將式(a)代入式(b)，化簡后得到2計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力由圖b可知，梁內(nèi)的最大彎矩（絕對(duì)值）為由此得最大彎曲正應(yīng)力為7-28 圖示勻質(zhì)梁，放置在水平的剛性平臺(tái)上，若伸出臺(tái)外部分AB的長度為a，試計(jì)算臺(tái)內(nèi)梁上拱部分BC的長度b。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)，梁單位長度的重量為q。題7-28圖解：由于此梁在截面以右的部分曲率處處為零，因此截面處的曲率、轉(zhuǎn)角及彎矩也都為零，即假想此梁從截面處切開，并取梁段為研究對(duì)象，可將其畫成圖7-28所示的外伸梁。圖7-28由以上分析可知，在均布載荷（梁自重）作用下，有由此得到 順便指出，這種解法是初等的，未考慮剪切變形的影響，致使分離面C處出現(xiàn)集中力形

18、式的支承反力。7-29 圖示勻質(zhì)梁，放置在水平剛性平臺(tái)上。若在橫截面A作用一鉛垂向上的載荷F，試建立該截面的撓度與載荷F的關(guān)系。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)，梁單位長度的重量為q。題7-29圖解：可從該勻質(zhì)梁的上拱部分提取力學(xué)模型，如圖7-29所示。圖7-29與上題相同的理由，這里有簡支梁兩端截面的轉(zhuǎn)角和彎矩均為零。由圖可知，截面的撓度為(a)該梁左端截面的轉(zhuǎn)角為(b)由于故有或?qū)懗?c)將式(c)代入式(a)，得到7-30 圖示梁AB與CD，B端、C端與剛性圓柱體相連，其上作用一矩為Me的集中力偶。試畫梁的剪力、彎矩圖。設(shè)二梁各截面的彎曲剛度均為EI，長度均為l，圓柱體的直徑為d，且d = l/2。

19、題7-30圖解：此為三度靜不定結(jié)構(gòu)，有反對(duì)稱條件可以利用。該結(jié)構(gòu)相當(dāng)系統(tǒng)的一部分如圖7-30a所示。圖7-30靜力學(xué)方面，由剛性圓柱體的力矩平衡可得(a)幾何方面，考慮梁，其截面的撓度與轉(zhuǎn)角之間應(yīng)滿足協(xié)調(diào)關(guān)系(請(qǐng)讀者自己畫出結(jié)構(gòu)變形圖以幫助理解）(b)物理方面，有(c)將式(c)代入式(b)，得補(bǔ)充方程注意到，由上式得(d)將式(d)與式(a)聯(lián)解，得求出和后，畫梁的剪力與彎矩圖分別如圖b與c所示。梁的剪力圖與圖b左右對(duì)稱，其彎矩圖與圖c反對(duì)稱，這里未畫出。7-31 圖示靜不定梁AB，承受集度為q的均布載荷作用。已知抗彎截面系數(shù)為W，許用應(yīng)力為s。(1) 試求載荷的許用值q；(2) 為提高梁的承載能力，可將支座B提高少許，試求提高量的最佳值及載荷q的相應(yīng)許用值q' 。題7-31圖解：(1) 求時(shí)的此為一度靜不定問題。解除端的多余約束，代之以多余反力，將截面的撓度(a)代入變形協(xié)調(diào)條件可得(b)自端向左取坐標(biāo)，彎矩方程為(c)由條件得取極值的位置為(d)將式(d)代入式(c)，得極值彎矩為固定端截面的彎矩為二者比較（請(qǐng)讀者自己畫出M圖以幫助理解），