《一元二次方程》復(fù)習(xí)提綱

1、一元二次方程復(fù)習(xí)提綱一，知識結(jié)構(gòu)梳理（1）含有 個(gè)未知數(shù)。（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是 1、概念（3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。（1） 法，適用于能化為 的一元二次方程。一元二次方程（2） 法，即把方程變形為ab=0的形式， 2、解法 （a，b 為兩個(gè)因式）, 則a=0或 （3） 法 （4） 法，其中求根公式是 （5） 法當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（6） 當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng) 時(shí)，方程有沒有的實(shí)數(shù)根?？捎糜诮饽承┣笾殿} （1） 一元二次方程的應(yīng)用（2） （3） 可用于解決實(shí)際問題的步驟 （4） （5） （6） 二，知識點(diǎn)歸類（一）建立一元二次方程模型1，

2、一元二次方程的定義如果一個(gè)方程通過移項(xiàng)可以使右邊為0，而左邊只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必須同時(shí)滿足以下三點(diǎn)：方程是整式方程。它只含有一個(gè)未知數(shù)。未知數(shù)的最高次數(shù)是2.同時(shí)還要注意在判斷時(shí)，需將方程化成一般形式。例 下列關(guān)于的方程，哪些是一元二次方程？；（3）；（4）；（5）答案：（2），（4）2， 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為（a，b，c是已知數(shù)，）。其中a，b，c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。注意：（1）二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號。（2）要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系

3、數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)是一元二次方程。例：(2012廣安中考試題第8題，3分)已知關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）Aa>2Ba<2Ca<2且a1Da<-2思路導(dǎo)引：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由于二次項(xiàng)系數(shù)是字母的代數(shù)式形式，注意兩點(diǎn)，一是二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，二是根的判別式大于0解析：=44(a1)×1=84a0，所以a2，結(jié)果選 C。點(diǎn)評：含有字母二次項(xiàng)系數(shù)的一元二次方程根的判別問題，不可忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0 這一條件，以免得

4、出不和題意的答案3， 一元二次方程的解 使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)時(shí)，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。例（2012貴州安順）已知1是關(guān)于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一個(gè)根，則m的值是（）A1B1C0D無法確定考點(diǎn)：一元二次方程的解；一元二次方程的定義。解：根據(jù)題意，將x = 1 代人到方程中得：（m1）+1+1 =0，解得：m =1故選B4， 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程。注意：（1）審題過程是找出已知量、未知量及等量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)要帶單位；（3）建立一元二次方程模型的關(guān)鍵是依題意找

5、出等量關(guān)系。例：（2012山東省青島市，12，3）如圖，在一塊長為22米、寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米.若設(shè)道路寬為x米，則根據(jù)題意可列方程為 .【解析】由題意得（22-x）(17-x)=300. 【答案】（22-x）(17-x)=300 【點(diǎn)評】本題主要考查列方程的能力.把所修的兩條道路分別 平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的種植園地是一個(gè)長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程（二） 因式分解法、直接開平方法1， 因式分解法解一元二次方程如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于

6、0，即若pq=0時(shí)，則p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。（3）令每個(gè)因式分別為0，得兩個(gè)一元一次方程。（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點(diǎn)：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。例（2012銅仁）一元二次方程的解是 考點(diǎn)：解一元二次方程-因式分解法。解：原方程可化為：（x3）（x+1）=0，x1=3，x2=12， 直接開平方法解一元二次方程若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開

7、平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。例： （2011山東淄博14，4分）方程x22=0的根是 分析：這個(gè)式子先移項(xiàng)，變成x2=2，從而把問題轉(zhuǎn)化為求2的平方根，直接得出答案即可解：移項(xiàng)得x2=2，x=故答案為：點(diǎn)評：此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號的右邊，化成x2=a（a0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解3， 靈活運(yùn)用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開平方法解。例（2011，臺灣省，29,5分）若方程式（3xc）260=0的兩根均為正數(shù)，其中c為整數(shù)，則c的

8、最小值為何？（ ）A、1B、8C、16D、61分析：利用平方根觀念求出x，再根據(jù)一元二次方程的兩根都為正數(shù)，求出c的最小值即可解： （3xc）260=0 （3xc）2=603xc=± 3x=c± x=又兩根均為正數(shù)，且7所以整數(shù)c的最小值為8故選B點(diǎn)評：本題考查了用直接開方法求一元二次方程的解，要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒?， 用提公因式法解一元二次方程把方程左邊的多項(xiàng)式（方程右邊為0 時(shí)）的公因式提出，將多項(xiàng)式寫出因式的乘積形式，然后利用“若pq=0時(shí)，則p=0或q=0”來解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。例 （2011浙江衢州，11，4分）方程x22x=0的解為

9、分析：把方程的左邊分解因式得x（x2）=0，得到x=0或 x2=0，求出方程的解即可解： x22x=0，x（x2）=0，x=0或 x2=0，x1=0 或x2=2注意：在解方程時(shí)，千萬注意不能把方程兩邊都同時(shí)除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子，否則可能丟失原方程的根。5.十字相乘法： 對于二次三項(xiàng)式的分解因式，借用一個(gè)十字叉幫助我們分解因式，這種方法叫做十字相乘法。 例5. （2011泰安，21，3分）方程2x25x30的解是_分析：先把方程兩邊同時(shí)除以2，化為（x3）（x）0的形式，再求出x的值即可解：原方程可化為：（x3）（x）0，故x13，x2故答案為：，（三）配方法1， 配方法解一元二次方程時(shí)，在

10、方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，當(dāng)對方程的左邊配方時(shí)，一定記住在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)。例. （2012湖北荊門）用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x22x3=0，配方后的方程可以是（）A（x1）2=4B（x+1）2=4 C（x1）2=16D（x+1）2=16解：把方程x22x3=0的常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊，得到x22x = 3，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到x22x + 1

11、= 3 + 1，配方得（x1）2=4故選A2， 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：（1） 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；（2） 把原方程變?yōu)榈男问健＃?） 若，用直接開平方法求出的值，若n0，原方程無解。例：（2011遼寧本溪，4，3分）一元二次方程的根（ ）ABCD分析：運(yùn)用配方法，將原方程左邊寫出完全平方式即可解：原方程左邊配方，得，故選D點(diǎn)評：此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)3， 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是

12、1的一元二次方程當(dāng)一元二次方程的形式為時(shí)，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）先把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1：方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)；(2) 移項(xiàng)：在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，把原方程化為的形式；（3）若，用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程。例：用配方法解方程： 分析：用配方法的關(guān)鍵在于：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再移常數(shù)項(xiàng)；兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。解：化二次項(xiàng)系數(shù)為1得： ，兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方得：配方得：開方得：移項(xiàng)得：2 ， 。（四）公式法1， 一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）

13、把方程化為的形式，確定的值（注意符號）；（2）求出的值；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。例. （2011湖北武漢，17，6分）解方程：x2+3x+1=0分析：根據(jù)方程的特點(diǎn)可直接利用求根公式法比較簡便解：a=1，b=3，c=1且 = 50x=（五） 選擇適合的方法解一元二次方程 直接開平方法用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)或也是一個(gè)含未知數(shù)的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是0，左邊能分解因式；公式法是由配方法推導(dǎo)而來的，要比配方法簡單。注意：一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時(shí)，再選用公式法，

14、沒有特殊要求，一般不采用配方法，因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。例：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）； （2）（3）； （4）分析：根據(jù)方程的不同特點(diǎn)，應(yīng)采用不同的解法。（1）宜用直接開方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或換元法。解： （六） 一元二次方程根的判別式1,一元二次方程根的判別式 =運(yùn)用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況：（1） =0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2） =0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3） =0方程沒有實(shí)數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式；確定的值；計(jì)算的值；根據(jù)的符號判定方程根的情

15、況。例 （2012南昌）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2xa=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則a的值是（）A1B1CD分析：根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+2xa=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可知=0，求出a的取值即可解：關(guān)于x的一元二次方程x2+2xa=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，=22+4a=0，解得a=1故選B點(diǎn)評：本題考查的是根的判別式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與=b24ac有如下關(guān)系：當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根2, 根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0（3）方程沒

16、有實(shí)數(shù)根0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件。例1（2012上海）如果關(guān)于x的一元二次方程x26x+c=0（c是常數(shù)）沒有實(shí)根，那么c的取值范圍是 解：關(guān)于x的一元二次方程x26x+c=0（c是常數(shù)）沒有實(shí)根，=（6）24c0，即 364c0，c9故答案為c9例2.（2012常德）若一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是 （ ） A. B. C. D.分析：一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則0，然后再解不等式。答案：B點(diǎn)評：此題是一元二次方程判別式的逆用（即根據(jù)方程根的情況去列不等式解決方程 中字母的取值范圍）(七) 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若

17、是一元二次方程的兩個(gè)根，則有， 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：（1） （2）（3）；（4）=例 1， （2012武漢）若x1，x2是一元二次方程x23x+2=0的兩根，則x1+x2的值是（ ）A2B2C3D1解：由一元二次方程x23x+2=0，x1+x2=3，故選C例 2，（2012張家界）已知m和n是方程2x25x3=0的兩根，則 = 解：m和n是方程2x25x3=0的兩根，m+n = = = ，mn= = ， + = = = 故答案為（八）一元二次方程的應(yīng)用知識點(diǎn)一 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1） 審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗(yàn)，

18、（6）作答。關(guān)鍵點(diǎn)：找出題中的等量關(guān)系。知識點(diǎn)二 用一元二次方程解與增長率（或降低率）有關(guān)得到問題增長率問題與降低率問題的數(shù)量關(guān)系及表示法：（1）若基數(shù)為a，增長率為，則一次增長后的值為，兩次增長后的值為；（2）若基數(shù)為a，降低率為，則一次降低后的值為，兩次降低后的值為。例1（2012成都）一件商品的原價(jià)是100元，經(jīng)過兩次提價(jià)后的價(jià)格為121元，如果每次提價(jià)的百分率都 是 ，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（ ） A B C D 解：設(shè)平均每次提價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意得：，故選C例2（2012黑龍江省綏化市，9，3分）甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價(jià)均為m元的商品，甲超市連續(xù)兩次降價(jià)20

19、；乙超市一次性降價(jià)40；丙超市第一次降價(jià)30，第二次降價(jià)10，此時(shí)顧客要購買這種商品，最劃算的超市是 【解析】 解：在甲家超市購買需付：m(1-20)2=0.64m元；在乙家超市購買需付：m(1-40) =0.6m元；在丙家超市購買需付：m(1-30) (1-10)=0.63m元而實(shí)際問題m0，故0.64m0.63m0.6m，所以顧客在乙家超市購買最劃算【答案】 乙【點(diǎn)評】 本題主要考查了日常生活中常見的方案選擇比較問題，解此類題型的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題目意思將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決，再由數(shù)學(xué)結(jié)果判斷出實(shí)際問題的結(jié)果選擇難度中等知識點(diǎn)三 用一元二次方程解與市場經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題與市場經(jīng)濟(jì)有關(guān)

20、的問題：如：營銷問題、水電問題、水利問題等。與利潤相關(guān)的常用關(guān)系式有：（1）每件利潤=銷售價(jià)-成本價(jià)；（2）利潤率=（銷售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）÷進(jìn)貨價(jià)×100%；（3）銷售額=售價(jià)×銷售量例（2012山西）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進(jìn)價(jià)為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：（1）每千克核桃應(yīng)降價(jià)多少元？（2）在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價(jià)的幾折出售？解答：（1）解：設(shè)每千克核桃應(yīng)降價(jià)x元 1分 根據(jù)題意，得 （60x40）（100+×20）=2240 4分 化簡，得 x210x+24=0 解，得x1=4，x2=66分答：每千克核桃應(yīng)降價(jià)4元或6元 7分（2）解：由（1）可知