應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析報(bào)告習(xí)的題目解答_因子分析報(bào)告

1、第七章因子分析7.1 試述因子分析與主成分分析的聯(lián)系與區(qū)別。答：因子分析與主成分分析的聯(lián)系是：兩種分析方法都是一種降維、簡化數(shù)據(jù)的技術(shù)。兩種分析的求解過程是類似的，都是從一個(gè)協(xié)方差陣出發(fā)，利用特征值、特征向量求解。因子分析可以說是主成分分析的姐妹篇， 將主成分分析向前推進(jìn)一步便導(dǎo)致因子分析。 因子分 析也可以說成是主成分分析的逆問題。 如果說主成分分析是將原指標(biāo)綜合、 歸納，那么因子 分析可以說是將原指標(biāo)給予分解、演繹。因子分析與主成分分析的主要區(qū)別是：主成分分析本質(zhì)上是一種線性變換，將原始坐標(biāo)變換到變異程度大的方向上為止，突出數(shù)據(jù)變異的方向， 歸納重要信息。而因子分析是從顯在變量去提煉潛在因

2、子的過程。此外，主成分分析不需要構(gòu)造分析模型而因子分析要構(gòu)造因 子模型。7.2 因子分析主要可應(yīng)用于哪些方面？答：因子分析是一種通過顯在變量測評(píng)潛在變量，通過具體指標(biāo)測評(píng)抽象因子的統(tǒng)計(jì)分析方法。目前因子分析在心理學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用。具體來說，因子 分析可以用于分類。如用考試分?jǐn)?shù)將學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況予以分類；用空氣中各種成分的比例對(duì)空氣的優(yōu)劣予以分類等等因子分析可以用于探索潛在因素。即是探索未能觀察的或不能觀測的的潛在因素是什么，起的作用如何等。對(duì)我們進(jìn)一步研究與探討指示方向。在社會(huì)調(diào)查分析中十分常用。因子分析的另一個(gè)作用是用于時(shí)空分解。如研究幾個(gè)不同地點(diǎn)的不同日期的氣象狀況，

3、就用因子分析將時(shí)間因素引起的變化和空間因素引起的變化分離開來從而判 斷各自的影響和變化規(guī)律。7.3 簡述因子模型1【中載荷矩陣A的統(tǒng)計(jì)意義。答：對(duì)于因子模型Xiai1 F1ai2F 2LajFjLamFmi 1,2, L,pana12La1ma21a 22La2mLLL(A1，A2，L ,Am)Lap1ap2La pm因子載荷陣為AXi與Fj的協(xié)方差為:mCov(Xi,Fj) Cov( aikFki,Fj)k 1m=Cov(aik Fk , Fj ) Cov( i, Fj )k 1=aij若對(duì)Xi作標(biāo)準(zhǔn)化處理，=aij ,因此aij 一方面表示 Xi對(duì)Fj的依賴程度；另一方面也反映了XFi變量

4、Xi對(duì)公共因子 j的相對(duì)重要性。m2 2變量共同度hiaiji 1,2,L , pj 12 2 2 2 2D(Xi) ai1D(FJ ai2D(F2)L amD(Fm) D(J h i 說明變量 Xi 的方差由2兩部分組成：第一部分為共同度hi，它描述了全部公共因子對(duì)變量 Xi的總方差所作的貢獻(xiàn),反映了公共因子對(duì)變量 Xi的影響程度。第二部分為特殊因子 i對(duì)變量Xi的方差的貢獻(xiàn)，通常稱為個(gè)性方差。p而公共因子Fj對(duì)X的貢獻(xiàn)g2 aj j 1,2,L , mi 1表示同一公共因子 Fj對(duì)各變量所提供的方差貢獻(xiàn)之總和，它是衡量每一個(gè)公共因子相對(duì)重要性的一個(gè)尺度。7.4 在進(jìn)行因子分析時(shí)，為什么要進(jìn)

5、行因子旋轉(zhuǎn)？最大方差因子旋轉(zhuǎn)的基本思路是什么？答：因子分析的目標(biāo)之一就是要對(duì)所提取的抽象因子的實(shí)際含義進(jìn)行合理解釋。但有時(shí)直接根據(jù)特征根、特征向量求得的因子載荷陣難以看出公共因子的含義。這種因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很難對(duì)因子的實(shí)際背景進(jìn)行合理的解釋。這時(shí)需要通過因子旋轉(zhuǎn)的方法， 使每個(gè)變量僅在一個(gè)公共因子上有較大的載荷，而在其余的公共因子上的載荷比較小。最大方差旋轉(zhuǎn)法是一種正交旋轉(zhuǎn)的方法，其基本思路為：A其中令A(yù) A r (aj )p m*_1 pdj aj/hi dj dij2p i ii p_A*的第j列元素平方的相對(duì)方差可定義為Vj -（d； d）2p i

6、i最大方差旋轉(zhuǎn)法就是選擇正交矩陣r,使得矩陣A*所有m個(gè)列元素平方的相對(duì)方差之和達(dá)到最大。7.5 試分析因子分析模型與線性回歸模型的區(qū)別與聯(lián)系。答：因子分析模型是一種通過顯在變量測評(píng)潛在變量，通過具體指標(biāo)測評(píng)抽象因子的統(tǒng)計(jì)分析方法的模型。而線性回歸模型回歸分析的目的是設(shè)法找出變量間的依存（數(shù)量）關(guān)系,用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)出來。因子分析模型中每一個(gè)變量都可以表示成公共因子的線性函數(shù)與特殊因子之和。即XiaiiFiai2F2LaFmi, (i1,2,L, p)該模型可用矩陣表示為：X AF £而回歸分析模型中多元線性回歸方程模型為:bKb I b其中| :是常數(shù)項(xiàng)，是偏回歸系數(shù)，；是殘差。因

7、子模型滿足：（1 ） m p ;（2） Cov（F, 00,即公共因子與特殊因子是不相關(guān)的;10(3)DfD(F)1IO，即各個(gè)公共因子不相關(guān)且方差為1;m 77012102(4)DD( 0O，即各個(gè)特殊因子不相關(guān)，方差不要求相等。02P而回歸分析模型滿足（1 ）正態(tài)性:隨機(jī)誤差（即殘差）e服從均值為0，方差為2的正態(tài)分布；（2）等方差：對(duì)于所有的自變量 x，殘差e的條件方差為 2，且 為常數(shù)；（3） 獨(dú)立性：在給定自變量 x的條件下，殘差 e的條件期望值為0 （本假設(shè)又稱零均值假設(shè)）；（4）無自相關(guān)性：各隨機(jī)誤差項(xiàng) e互不相關(guān)。兩種模型的聯(lián)系在于都是線性的。因子分析的過程就是一種線性變換。7

8、.6 設(shè)某客觀現(xiàn)象可用 X=（）'來描述， 在因子分析時(shí)，從約相關(guān)陣出發(fā)計(jì)算出特征值為- ： ":一 5由于,所以找前兩個(gè)特精彩文檔征值所對(duì)應(yīng)的公共因子即可，又知對(duì)應(yīng)的正則化特征向量分別為（0.707,-0.316,0.632）'及（0，0.899，0.4470 ）',要求：（1 ）計(jì)算因子載荷矩陣 A，并建立因子模型。年也'11213（2 ）計(jì)算共同度。（3 ）計(jì)算第一公因子對(duì) X的“貢獻(xiàn)”。解：（1）根據(jù)題意，（嚴(yán)0A=(0 9360 10418Q.899 0.8370.4470/I建立因子模型為(3 )因?yàn)槭菑募s相關(guān)陣計(jì)算的特征值，所以公共因子對(duì)

9、X的“貢獻(xiàn)”為7.7利用因子分析方法分析下列30個(gè)學(xué)生成績的因子構(gòu)成，并分析各個(gè)學(xué)生較適合學(xué)文科還是理科。序號(hào)數(shù)學(xué)物理化學(xué)語文歷史英語16561728481792777776647055367634965675748069757474635747080848174678847562716476671675265578777157728671983100794167501086949751635511748088647366126784535866561381626956665214716494526152157896818089761669566775948017779080686660188

10、467756070631962678371857720746575729073219174976271662272877279837623827083687785246370609185822574799559745926666177627364279082984771602877908568737629918284546260307884100516060解:令數(shù)學(xué)成績?yōu)?Xi，物理為X2 ，化學(xué)為X3 ，語文為X4 ，歷史為X5，英語為Xi，用SPSS 分析學(xué)生成績的因子構(gòu)成的步驟如下：1. 在SPSS窗口中選擇 Analyze宀Data Reduction宀Factor ,調(diào)出因子分析主

11、界面，并將六個(gè)變量移入 Variables 框中。圖7.1因子分析主界面2. 點(diǎn)擊Descriptives按鈕，展開相應(yīng)對(duì)話框，見圖7.2。選擇Initial solution 復(fù)選項(xiàng)。這個(gè)選項(xiàng)給出各因子的特征值、各因子特征值占總方差的百分比以及累計(jì)百分比。單擊Continue 按鈕，返回主界面。園 Factor Analysis: Cp£：riptipsr StatisticsI jJril陽r arte劃已戲1代總» Initiial 旳lutjriCbrrelaiior Matrix口 2o&Tflc*erts- iQ'iersejamflcanie

12、teveis 匚 Eercduted'1 Qetermriant' prt 卜 irseaid BadetTs tistof sohsriclt?Carttinum | Cancel Hglp圖7.2 Descriptives子對(duì)話框3. 點(diǎn)擊Extraction 按鈕，設(shè)置因子提取的選項(xiàng)，見圖 7.3。在Method下拉列表中選擇因子提取的方法，SPSS提供了七種提取方法可供選擇，一般選擇默認(rèn)選項(xiàng)，即“主成分法”。在Analyze欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關(guān)矩陣和協(xié)方差矩陣。在Display 欄中指定與因子提取有關(guān)的輸出項(xiàng)，如未旋轉(zhuǎn)的因子載荷陣和因子的碎石圖。在

13、Extract欄中指定因子提取的數(shù)目，有兩種設(shè)置方法：一種是在Eige nvalues over 后的框中設(shè)置提取的因子對(duì)應(yīng)的特征值的圍，系統(tǒng)默認(rèn)值為1，即要求提取那些特征值大于1的因子；第二種設(shè)置方法是直接在Number of factors后的矩形框中輸入要求提取的公因子的數(shù)目。這里我們均選擇系統(tǒng)默認(rèn)選項(xiàng)，單擊Co nti nue 按鈕，返回主界面。圖7.3Extraction子對(duì)話框4. 點(diǎn)擊Rotation 按鈕，設(shè)置因子旋轉(zhuǎn)的方法。這里選擇Varimax （方差最大旋轉(zhuǎn)），并選擇Display 欄中的Rotated solution復(fù)選框，在輸出窗口中顯示旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣。單擊Co

14、ntinue 按鈕，返回主界面。FactoArdyh: ftotsticn-I圖7.4 Rotation子對(duì)話框5. 點(diǎn)擊Scores按鈕，設(shè)置因子得分的選項(xiàng)。選中 Save as variables復(fù)選框，將因子得分作為新變量保存在數(shù)據(jù)文件中。選中Display factor score coefficie nt matrix復(fù)選框，這樣在結(jié)果輸出窗口中會(huì)給出因子得分系數(shù)矩陣。單擊Con ti nue 按鈕返回主界面。圖7.5 Scores子對(duì)話框6. 單擊0K按鈕，運(yùn)行因子分析過程。結(jié)果分析：表7.1旋轉(zhuǎn)前因子載荷陣表7.2旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣成份矩陣a旋轉(zhuǎn)成份矩陣a成份成份1212x1-.6

15、62.503x1-.245.795x2-.530.478x2-.152.698x3-.555.605x3-.815x4.900.233x4.867-.335x5.857.357x5.904-.209x6.816.498x6.953-.072提取方法：主成分分析法。從表7.1中可以看出，每個(gè)因子在不同原始變量上的載荷沒有明顯的差別，為了便于對(duì)因子進(jìn)行命名，需要對(duì)因子載荷陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得表7.2。經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后的載荷系數(shù)已經(jīng)明顯地兩極分化了。第一個(gè)公共因子在后三個(gè)指標(biāo)上有較大載荷，說明這三個(gè)指標(biāo)有較強(qiáng)的相關(guān)性，可以歸為一類，屬于文科學(xué)習(xí)能力的指標(biāo)；第二個(gè)公共因子在前三個(gè)指標(biāo)上有較大載荷，同樣可以歸為一類

16、，這三個(gè)指標(biāo)同屬于理科學(xué)習(xí)能力的指標(biāo)。根據(jù)表7.3易得:F1 0.064X10.085X2 0.137X3 0.332X40.378X5 0.432X6F2 0.439X1 0.400X2 0.484X30.014X4 0.073X5 0.169X6表7.3因子得分系數(shù)矩陣12x1.064.439.0E5.400.137x4.332-0U.373073z6.432ieg將每個(gè)學(xué)生的六門成績分別代入F1、F2，比較兩者的大小，F(xiàn)1大的適合學(xué)文，F(xiàn)2大的適合學(xué)理。計(jì)算結(jié)果為學(xué)號(hào)是1、16、24的學(xué)生適合學(xué)文，其余均適合學(xué)理。7.8某汽車組織欲根據(jù)一系列指標(biāo)來預(yù)測汽車的銷售情況，為了避免有些指標(biāo)間的

17、相關(guān)關(guān)系影響預(yù)測結(jié)果，需首先進(jìn)行因子分析來簡化指標(biāo)系統(tǒng)。下表是抽查歐洲某汽車市場7個(gè)品牌不同型號(hào)的汽車的各種指標(biāo)數(shù)據(jù)，試用因子分析法找岀其簡化的指標(biāo)系統(tǒng)。品牌價(jià)格發(fā)動(dòng)機(jī)功率軸距寬長軸距燃料容量燃料效率A215001.8140101.267.3172.42.63913.228A284003.2225108.170.3192.93.51717.225A420003.5210114.671.4.63.85018.022B239901.8150102.668.2178.02.99816.427B339502.8200108.776.1192.03.56118.522B620004.2310113.07

18、4.0.23.90223.721C269902.5170107.368.4176.03.17916.626C334002.8193107.368.5176.03.16.624C38902.8193111.470.188.03.47218.525D0219753.1175109.0972.7.63.36817.525D253003.8240109.072.7.23.54317.523D319653.8205113.874.7206.83.77818.524D278853.8205112.273.5200.03.59117.525E398954.6275115.374.5207.23.97818.

19、522E396654.6275108.075.5200.63.84319.022E310103.0200107.470.3.83.77018.022E462255.7255117.577.0201.25.57230.015F132602.2115104.167.9180.92.67614.327F165353.1170107.069.4190.43.15.025F188903.1175107.572.5200.93.33016.625F193903.4180110.572.7.93.34017.027F243403.8200101.174.1193.23.50016.825F457055.73

20、45104.573.6179.73.21019.122F139601.812097.166.7174.32.39813.233F92351.05593.162.6149.41.89510.345F188903.4180110.573.0200.03.38917.027G198402.5103.769.7190.92.96715.924G244952.5168106.069.2193.03.33216.024G222452.7200113.074.4209.13.45217.026G164802.0132108.071.0.02.91116.027G283403.5253113.074.4207

21、.73.56417.023G291853.5253113.074.4.83.56717.023令價(jià)格為X1，發(fā)動(dòng)機(jī)為X2，功率為X3，軸距為X4，寬為X5，長為X6，軸距解:X7,燃料容量為X8，燃料效率為X9 ,用SPSS找簡化的指標(biāo)系統(tǒng)的具體步驟同7.7。此時(shí)在系統(tǒng)默認(rèn)情況下提取因子,結(jié)果是只抽取了一個(gè)成分，從方差貢獻(xiàn)來看，前三個(gè)成分貢獻(xiàn)了 90.9%,因此重復(fù)因子分析過程，并在第三步Extraction 子對(duì)話框中的Numberof factors后的矩形框中輸入 3，即為要提取的公因子的數(shù)目。因子分析結(jié)果如下：表7.4旋轉(zhuǎn)后的因子得分系數(shù)矩陣戰(zhàn)伯謂分系教旃陣成梢123K1-.399.3

22、42-015.525x3-0S0.700-409工4.305J44.241X5.354JS5x6.599-332.036-.261494-180-.221651-071.062-.230其簡化了指標(biāo)體系為F1、F2、F3，從旋轉(zhuǎn)后的因子得分系數(shù)矩陣得：F10.399X10.015X20.060X30.305X40.354X50.599X60.036X70.186X80.071X9F20.289X10.525X20.700X30.344X40.195X50.100X60.291X70.221X80.082X9F30.342X10.278X20.409X30.241X40.338X50.332X6

23、0.494X70.651X80.239X97.9根據(jù)人均 GDP、第三產(chǎn)業(yè)從業(yè)人員占全部從業(yè)人員的比重、第三產(chǎn)業(yè)增加值占GDP的比重、人均鋪裝道路面積、萬人擁有公共汽電車、萬人擁有醫(yī)生、百人擁有機(jī)數(shù)、萬人擁有高等學(xué) 校在校學(xué)生人數(shù)、人均居住面積、百人擁有公共圖書館藏書、人均綠地面積等十一項(xiàng)指標(biāo)對(duì)目前我國省會(huì)城市和計(jì)劃單列市的城市化進(jìn)行因子分析，并利用因子得分對(duì)其進(jìn)行排序和評(píng)價(jià)。（數(shù)據(jù)可從中國統(tǒng)計(jì)年鑒查獲）（略）7.10根據(jù)習(xí)題5.10中2003年我國省會(huì)城市和計(jì)劃單列市的主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)，利用因子分析法對(duì)其進(jìn)行排序和分類，并與聚類分析的結(jié)果進(jìn)行比較。解：對(duì)其進(jìn)行因子分析的步驟與7.7相同，結(jié)果

24、如下：表7.5特征根與方差解釋分析表辭移的恿右差初始槪正值旋轉(zhuǎn)平肓和霸扎命+累與生舍計(jì)舍計(jì)1S 05056.1 9956.1995.05856.W956,1993.97244.13044.1 3S72.39026.55182.7502.39026 551927502.475627503.8143.041917904.341378495.57552482.7 5998.3336.1001.1 089S.4417027.304997448J20.21999.9649.00303S1110.000由表7.5可知，提取的兩個(gè)因子方差貢獻(xiàn)達(dá)到了82.75% 。表7.6旋轉(zhuǎn)后的因子得分系數(shù)矩陣感梢得分奈諛

25、挺陣成伯12>1-033.315-.10(1.31E3(3167-.103-X97.216017.246-C22>7-057.292066169233-ooe由上面的因子得分矩陣可知:F10.093X1 0.100X2 0.167X3 0.258X40.219X5 0.248X6 0.057X7 0.086X8F20.315X10.316X2 0.103X3 0.097X4 0.017X50.022X60.282X7 0.169X80.233X90.008X9F1F2F382417.42392989.93385811.19157848.0352892.05124157.16114461.78107589.61112255.81125604.8649740.69101252.4694835.1745211.6478906.0291203.3543854.8476004.48102885.8