平面向量典型例題

1、平面向量經(jīng)典例題:1. 已知向量a= (1,2) , b = (2,0)，若向量b與向量c = (1 , - 2)共線，則實(shí)數(shù) 入等于()B.- 32D.-3答案C解析2a + b =（入 2 入）+ （2,0） = （2 +入，2 R，??？a + b 與 C 共線，二一2（2 + R - 2 匕 0，二社一1.2. （文）已知向量 a = （ 3，1），b = （0,1），c = （k，3），若 a+ 2b 與 c 垂直，則 k =（）A. - 1B.-3C. - 3D . 1答案C解析a+2b = （3 ，1） + （0,2）= （3，3），/a +2b 與 c垂直，.（a + 2b）c

2、=3k + 33 = 0，木=-3.（理）已知a = （1,2），b = （3，- 1），且a + b與a- 2b互相垂直，則實(shí)數(shù) 2勺值為（）61111B. 611D.66c.11答案C解析a+ b = （4,1），a - 2 = （1 - 3 入，2 + 2，：a + b與a- Zb垂直，6（a+ b） （a- 2b）= 4（1 - 3入）+ 1 x（2 + 2） = 6 - 11 2= 0，二 2=一.113. 設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|= |b|=|c|，a+b = c，則向量a、b間的夾角為()A. 150 °C. 60°答案B解析如圖，在？ ABCD中，/a

3、|= |b| = |c|，c = a+ b ,ABD 為正三角形,a, b> = 120 °，故選B.（理）向量a, b滿足|a| =1, |a-b| =,a與b的夾角為60 °，則b|=（1B.'31C41D.5答案A/3解析T|a b| =一，.|a|2 + |b|2 - 2a b =_,v|a| = 1, a, b > = 60243設(shè) |b| = x ,_則 1 + x2 - x= ,41tx>0x= 2.4.若AB BC+AB2= 0，則ABC 必定是（）A .銳角三角形B.直角三角形C .鈍角三角形答案BD 等腰直角三角形解析AB BC

4、 + AB2= AB (BC + AB)= AB AC= 0 ,.AB 丄AC ,AB丄AC,.筮BC為直角三角形.5. 若向量 a= (1,1), b = (1, - 1), c= (- 2,4)，則用 a, b 表示 c 為()A. a + 3bB. a 3bC. 3a bD. 3a + b答案B解析設(shè)c = 2a +血，則(2,4)=(入+卩，入一0 ,2d- 0= 22= 1.，二,.c= a 3b，故選 B.2 0= 40= 3在平行四邊形 ABCD中，AC與BD交于O, E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F,若AC=a, BD = b，貝UAF等于()2 1B_a +一

5、b3312D_a + 一 b331 1C_a + b24解析-E為0D的中點(diǎn)，二BE= 3ED,|AB|EB|1 2 2 |DF| = 3|AB|CF| =3|AB| = ?|CD|,T T T T 2 T2/AF=AC+CF= AC+3CD=a+3(OD - °C)=a+3(2b -2 1 1 2 1 舁)虧好.6. 若ABC的三邊長(zhǎng)分別為 AB= 7, BC = 5, CA = 6,則AB BC的值為（）B. 14C. - 18D. - 19答案19解析72+ 52-6219據(jù)已知得 cosB=F=35，故ABBC=|AB|X|BC|X(-cosBA7x5x-打 _19.7. 若

6、向量a= （x- 1,2） , b = （4, y）相互垂直，則9x+ 3y的最小值為（）A. 12答案D解析a b = 4(x - 1) + 2y = 0 ,.2x + y = 2 ,.9x + 3y= 32x + 3y >2' _ 32x + y= 6，等號(hào)在 x=f, y = 1 時(shí)成立.8. 若A, B, C是直線丨上不同的三個(gè)點(diǎn)，若 O不在丨上，存在實(shí)數(shù)x使得x2OA + xOB + BC= 0，實(shí)數(shù)-1 + ；5C_21 + .5D.-2答案A解析x2OA + xOB + OC - OB = 0 ,.x2OA + (x- 1)0B + 0C= 0,由向量共線的充要條件

7、及 A、B、答案BC 共線知，1 x x2= 1 ,.x = 0 或一1，當(dāng) x = 0 時(shí)，BC= 0，與條件矛盾，.x = 1.9.（文）已知P是邊長(zhǎng)為2的正AABC邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，貝U aP （aB + AC）（）B.最小值為2A .最大值為8C .是定值6D 與P的位置有關(guān)答案C解析以BC的中點(diǎn)0為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立如圖坐標(biāo)系,B( 1,0)，C(1,0)，A(0，3)，AB+ AC = ( 1 , 3) + (1 , 3) = (0 , 23)設(shè) P(x,O), - 1 <x<1，則AP= (x,3)aP(aB + AC)= (x, 3) (0 , 2 3)= 6，

8、故選 C.（理）在ABC中，D為BC邊中點(diǎn)，若/ A = 120 °,aBaC則|AD|的最小值是（）1A.-23B_2答案DD2T TT T解析V/A = 120 °,AB AC= 1 , .|AB| |AC| cos120 ° =-1|aB|aC| = 2，|AB|2 + |AC|22|aB| |aC| = 4，丁D 為 BC 邊的中點(diǎn),1 1 1 1 1TT TTTTT TTT.ad = _(AB + AC),.|AD|2=(|AB|2+ |AC|2 + 2AB AC) = _(|AB|2+ |AC|2 2) h(4 2)=2444210.如圖，一直線 EF

9、與平行四邊形 ABCD的兩邊AB，AD分別交于E、F兩點(diǎn)，且交其對(duì)角線于K,其中忑=-A<B,3T 1 T TTAF = ；AD , AK= ZAC,貝U 入的值為()A.1B_4C.答案A1D_2T 1 T1解析如圖，取CD的三等分點(diǎn) M、N , BC的中點(diǎn)EF/DG /IBM /NQ，易知AK = AC,二入=一.5511.已知向量a= (2,3) , b = (1,2)，若ma + 4b與a 2b共線，則 m的值為()1A.B. 221C. 2D .-2答案C解析 ma+ 4b = (2m 4,3m + 8)，a 2b = (4， 1)，由條件知(2m 4) ( 1) (3m +

10、8) X4 = 0 ,.m = 2，故選 C.12.在ABC 中，C= 90。，且CA= CB= 3，點(diǎn) M 滿足 BM = 2MA，則 CM CB等于()B. 3答案B解析CM CB= (CA+ AM ) CB=(CA+ AB) CB = CA CB+ 1AB CB1 T T|AB| |CB| cos4531 - 2X3 2 X3 X:323.13.在正三角形 ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB= 3, BD = 1，則ABAD1514.15.答案解析AB,由條件知，|AB| = |AC|= |BC|= 3 , < AB , AC> = 60 ° 2 CB= 60 

11、6;,CD = 3CB， 2 -215ABAD = AB(AC + CD)= ABAC + AB J CB= 3 x3 xcos60 飛 x3 x3 xcos60 °=2已知向量a= (3,4) , b = ( 2,1) ,_則a在b方向上的投影等于a b 22 伍答案。解析a在b方向上的投影為 =一5|b| 店 52 n已知向量a與b的夾角為 ，且|a|= 1 , |b| = 4，若(2a + 2b)丄a，則實(shí)數(shù)2=3答案解析2 n2 na, b > =, |a|= 1 , |b|= 4 , a b = |a|b|cos a, b > = 1 x4 xcos= 2 ,：

12、(2a33+ Zb)丄 a,a (2 a +力)=2|a|2 + 2a b = 2 2 X= 0，二社 1.16.已知: | OA| = 1 , |OB| = I；3, OA OB = 0，點(diǎn) C 在ZAOB 內(nèi)，且ZAOC = 30 ° 設(shè)OC = mOA + nOB(m ,mn R + ),則一n答案3解析設(shè) mOA =OF , nOB = oE,則 OC = oF+ OE,vzAOC = 30 °,.|OC|cos30 °=OF| = m|OA| = m ,|oC|sin30 ° =0E| = n|OB|= 3n ,m|OC|cos30 °

13、;兩式相除得：=:N3n |OC|sin30 ° an3.17.(文)設(shè)i、j是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，且 OA2i + j, OB = 4i + 3j,則AOAB 的面積等于答案5解析由條件知，i2= 1 , j2 = 1,i = 0 ,OA OB = ( - 2i + j)(4i + 3j)=- 8 + 3 = - 5，又 OA OBT TTT1|0A| |0B| cos < OA , OB > = 5 : 5cos<0A, OB >,cos <OA , 0B>,/sin5<0A，05&g

14、t;=干1 T T/S/oab = |OA I |OB I sin<0A , OB > =X55 = 5.（理）三角形ABC中，a,b, c分別是角A, B, C所對(duì)的邊，能得出三角形 ABC一定是銳角三角形的條件是只寫序號(hào)）sin A + cos A= 5 AB BC<0 b = 3, c = 3 ：3 , B= 30 ° tan A + tan B + tan C>0.答案解析1若A為銳角，則sinA + 8如，7必+ cosA = 5，A為鈍角,/ aB BC<0/BA BC>0/ZB為銳角，由/B為銳角得不出 ABC為銳角三角形；由正弦定理

15、sin B贏得,3 , 3sin30 ° sin Csin C2/C= 60 °或120'csin B=3<3 . 3<32/kBC有兩解，故都不能得出/ABC為銳角三角形.由 tan A + tan B + tan C = tan( A + B)(1 tan Atan B) + tan C = tan C(1 tan A tan B) + tan C = tan Atan Btan C>0，及 A、B、C (0, n), A + B+ C=n 知 A、B、C 均為銳角，/2ABC為銳角三角形.18.已知平面向量 a = (1 , x), b =

16、(2x + 3 , x).(1) 若a丄b，求x的值.(2) 若 a/b，求 |a b|.解析若a丄b ,則 a b = (1 , x) (2x + 3 , x) = 1 X(2x+ 3) + x( x) = 0,整理得x2 2x 3 = 0,解得x= 1或x = 3.(2)若 a/b，則有 1 X( x) x(2x + 3) = 0，則 x(2x + 4) = 0，解得 x = 0 或 x= 2 ,當(dāng) x = 0 時(shí)，a = (1,0) , b = (3,0),/a b| = |(1,0) (3,0)| = |( 2,0)| = 22 + 02 = 2 ,當(dāng) x = 2 時(shí)，a= (1 ,

17、2) , b = ( 1,2),la bl = 1(1， 2) ( 1,2)| = |(2， 4)| =22 + 42 = 2念19.已知向量 a= (sinx， 1)，b = (3cosx， 2)，函數(shù) f(x) = (a+ b) a 2.求函數(shù)f(x)的最小正周期T；n將函數(shù)f(x)的圖象向左平移-上個(gè)單位后，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的63倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的解析式及其對(duì)稱中心坐標(biāo).解析(1)f(x)= (a+ b) a 2 = a2 + a b 2 = sin2x +1 + -.Msin xcosx 21 cos2 x 3+sin2 x-2 2131

18、n2 丁sin2x2cos2x= sin(2x -)，2n二周期T= =n.2n(2)向左平移個(gè)單位得,nnny = sin2( x + )一 = sin(2 x)，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍得,6662 n 2 g(x)= sin(3"x + 6)，令 3"xn3k n+6=k n得對(duì)稱中心為(20. (文)三角形的三個(gè)內(nèi)角 A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)向量 m = (c a, b-a), n = (a + b,c)，若 m /n.(1)求角B的大小;若sin A + sinC的取值范圍.c a b a解析(1)由m /n知 =nB =-3a+ b c1即得b2=

19、a2+ c2 ac，據(jù)余弦定理知cosB =-，得2n(2)sin A+ sin C= sin A+ sin( A + B)= sin A + sin( A + _) 313V3廠n=sinA+2sin A+丁cos A=2sin A+TcosA = 3sin( A+6)，n2 n2 n/B = 3+ c=y, A e (O，亍,n 1sin(A+6) e (2，1，sin A + sin C的取值范圍為(理)在鈍角三角形 ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，m = (2 b - c, cosC), n = (a, cos A),且 m /n.(1)求角A的大小;n求函數(shù)y = 2s

20、in 2B + cos(- - 2B)的值域.3解析由 m /n 得(2b - c)cos A -acos C= 0 ,由正弦定理得 2sin BcosA sin Ccos A sin Acos C= 0,'/sin( A+ C)= sin B,2sin BcosA sin B= 0,n/B、A (0, n)，二sinB#0 , A =3(2)y = 11cos2 B+ 一cos2 B +2- 1 sin2 B= 1 一cos22 24= sin(2B 26)當(dāng)角B為鈍角時(shí)，角C為銳角，則n< B< n2-<B< 0盲B<2W<2B6<T當(dāng)角B

21、為銳角時(shí)，角C為鈍角，則nn0<B<6，0< B< 2n 2 n<B< n237tTt n - 一 <26n11<n(2 B- 6) (-2，2)，m (2，2)，13綜上，所求函數(shù)的值域?yàn)?2, 2)-21. 設(shè)函數(shù) f(x) = a b，其中向量 a= (2cos x,1), b = (cosx, 3sin2 x), x R.n n(1)若 f(x) = 1 - .3且 x -,-，求 x;n若函數(shù)y=2sin2 x的圖象按向量c= (m , n)(|m|< )平移后得到函數(shù)y =f(x)的圖象，求實(shí)數(shù) m、n的值.解析依題設(shè)，f(x)

22、 = 2cos 2x + 3sin2 x1 + 2sin(2 x+6)-由 1 + 2sin(2 x +6)1 3 , 得 sin(2 x +&)= n nnn 5 nn nnv3 <x W，一 2 <2x+ 6 W2x+6=3，即x=；./.m =函數(shù)y= 2sin2 x的圖象按向量c= (m , n)平移后得到函數(shù) y = 2sin2( x m)+ n的圖象，即函數(shù)y =f(x)的圖象.由 得f(x) = 2sin2( x +22. 已知向量 OP = (2cos x + 1 ,cos2x sinx + 1), OQ = (cosx, 1), f(x)= OPOQ.(1

23、) 求函數(shù)f(x)的最小正周期；n(2) 當(dāng)x 0 ,-時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)的 x值.解析(1) TOP = (2cos x + 1 , cos2 x sin x+1), oQ = (cosx,1),.f(x) = OP OQ = (2cosx + 1)cos x (cos2 x sin x + 1)=2cos 2x+ cos xcos2 x + sinx 1cos x + sin x= 2sin( x 十一),4/函數(shù)f(x)最小正周期T= 2 n.nVx 0 ,尹3 nn/當(dāng) x + _=4；時(shí)，f(x) = 2sin( x +j)取到最大值.2.23. ZABC 的三

24、個(gè)內(nèi)角 A、B、C 所對(duì)的邊分別為 a、b、c,向量 m =( 1,1), n = (cos BcosC, sin Bsin C且m丄n.求A的大??；現(xiàn)在給出下列三個(gè)條件： a= 1 :2cC .3 + 1）b = 0:B= 45 °，試從中選擇兩個(gè)條件以確定厶ABC，求出所確定的厶ABC的面積.（注：只需要選擇一種方案答題，如果用多種方案答題，則按第一方案給分V3解析 因?yàn)?m 丄 n，所以一cos Bcos C+ sin Bsin C = 0，卡x/3cos BcosC sin Bsin C=，所以 cos( B + C)= -22因?yàn)?A + B+ C=n所以 cos( B +

25、 C) = cos A，所以 cos A =A = 30方案一：選擇，可確定厶 ABC，因?yàn)?A = 30 °,a= 1,2c (3 + 1)b = 0，由余弦定理得,12b)2 2b.3 + 1 2解得b，所以c=.6 + ； 22所以SBC1 ；6 + 2 12 1 2 :2asin C由正弦定理c =嬴1 sin105 °,6 + ；2sin30 ° =21 1 鼻 + 也 y/3 + 1所以 S/abc = acsin B=1 =.2 2224（注意：選擇不能確定三角形）（理）如圖，。O方程為x方案二：選擇，可確定厶 ABC，+ y2= 4，點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)

26、D在x軸上，點(diǎn) M在DP延長(zhǎng)線上，。O交yT TT 因?yàn)?A = 30 ° , a= 1 ， B = 45 ° ,C= 105又 sin105 °=in(45 ° +50 ° = sin45 °cos60 °Heos45 °sin60 T軸于點(diǎn) N，DP /ON，且 DM =嚴(yán)A（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程;設(shè)Fi(O , .；5)、F2(0 , - :'5)，若過Fi的直線交 中曲線C于A、B兩點(diǎn)，求fJAFB的取值范圍.解析(1)設(shè) P(xo, yo), M(x, y),T 3 TRM 二 2DP，3y=尹x = xoxo=xx2 y2代入x0+ y2=4 得, - + 9=1.當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，顯然 F2A F2B=- 4 ,當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，不妨設(shè) AB的方程為：y= kx + ,'5 ,=kx+ ：52 2x2 y2+ =49得，(9 + 4k2)x2 + 8 .;5kx 16 = 0 ,不妨設(shè) A1(X1, y1), B(X2, y2),則X1 + X2 =16X1X2 =9 + 4k2F2A F2B= (X1 , y1 + ： 5)(X2 , y2+'5)(X1, kX1 +(X2 , kX2 +(1 + k2)X1X