平行四邊形全部講義

1、平行四邊形1平行四邊形的性質(zhì)考點(diǎn)一、平行四邊形的概念(1) 定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。(2) 表示：平行四邊形用符號表示，平行四邊形ABCD記作ABCD ” 讀作“平行四邊形ABCD ”。平行四邊形一定按順時(shí)針或逆時(shí)針依次注明各頂點(diǎn)。(3) 平行四邊形定義的作用：平行四邊形的定義既是判定，又是性質(zhì)。 由定義知平行四邊形兩組對邊分別平行； 由定義可以得出只要四邊形中兩組對邊分別平行，那么這個(gè)四邊形就是平行四邊形。(4) 平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線。例1、在 Q ABCD中，EF/ AB , GH / BC, EF、GH相交于點(diǎn)P,寫出圖中的 平行四邊形。考點(diǎn)二、平行

2、四邊形的性質(zhì)(1) 邊的性質(zhì)：平行四邊形的對邊平行且相等。(2) 角的性質(zhì)：平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對角相等。(3) 對角線性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分。例 2、在 Q ABCD 中，/ A+ / C=160。，求/ A、/ B、/ C、/ D 的度數(shù)D考點(diǎn)三、平行四邊形的對角線的性質(zhì)（1）平行四邊形的對角線互相平分。例3、在 Q ABCD中，對角線AC、BD相交于O點(diǎn)，若AC=14, BD=8 , AB=10 ,則厶OAB的周長為。練習(xí)題一、感受理解1. 已知 O是了 ABCD 的對角線交點(diǎn)，AC=10cm BD=18cm AD=?12crp ?M BOC?的周長是.2. 已知UABCD的

3、對角線AC, BD交于點(diǎn)O, AOB的面積為2,那么平行四邊形ABCD勺面積為.3. 已知平行四邊形的兩鄰邊之比為 2: 3,周長為20cm ?則這個(gè)平行四邊形的兩條鄰邊長分別為.4. 平行四邊形的周長為30,兩鄰邊的差為5,則其較長邊是 .5. 平行四邊形具有，而一般四邊形不具有的性質(zhì)是（）A.外角和等于360°B .對角線互相平分C內(nèi)角和等于360°D .有兩條對角線6. 如圖， ABC沖，EF過對角線的交點(diǎn)O, AB=4, AD=3, OF=1.3，則四邊形BCEF的周長為（）A.8.3B.9.6C.12.6D.13.67. 在UABCD中，AC=10 BD=6則邊長

4、AB, AD的可能取值為（）.A AB=4 , AD=4 B AB=4 , AD=7 C AB=9 , AD=2 D AB=6 , AD=28 .平行四邊形一邊長為12cm那么它的兩條對角線的長度可能是（）.A 8cm 和 14cm B 10cm 和 14cm C 18cm 和 20cm D 10cm 和 34cm9. 在UABCD 中，AB=2 BC=3 / B=60°，則 ABCD 的面積為（）.A 6 B 33 C 33 D 32二、思考運(yùn)用1. 如圖，L ABCD 中，AE平分/ BAD交 DC于點(diǎn) E, AD=5cm AB=8cm 求 EC2、_ABCD,Z A=150o,

5、 AB=8 cm, BC=10 cm,求：四邊形 ABCD勺面積.3 .如圖，在=ABCD 中，ADL DB, AC與 BD相交于點(diǎn) O, OD=1 / CAD=30 , 求 AC和 DC的長.4、如圖，在口 ABCC中, O是對角線AC BD的交點(diǎn)，BEL AC, DFL AC,垂足分別為E、F.那么OE與OF是否相等？為什么？5如圖，在ABCD中，點(diǎn)E, F在對角線AC上，且AE=CF請你以點(diǎn)F為一 個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條線段， 猜想并證明它和圖中已有 的某一線段相等(只需證明一組線段相等即可)(1) 連結(jié)(2) 猜想：(3)證明6如圖，在6陽口中，過AC中點(diǎn)0的直線分別

6、交BC AD的延長線于E、F,那 么=匸G嗎？為什么？、探究拓展2cm 3cm, 4cm1 有兩張全等的三角形紙片，三角形紙片的三條邊長分別為你能用這兩張三角形紙片拼出幾種形狀不同的平行四邊形?(1) 請畫圖說明各種不同拼法，并說明理由:(2) 計(jì)算所拼的各個(gè)平行四邊形的周長.2、平行四邊形的判定考點(diǎn)一、利用邊判定平行四邊形(1) 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。(2) 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。(3) 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。例1、 在四邊形ABCD中，AB=CD, / ADB= / CBD=90°,則四邊形ABCD是平行四邊形嗎？考點(diǎn)二、利用對角

7、線判定平行四邊形(1) 兩組對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。例2、(2012 云南)QAECF的對角線相交于點(diǎn)O, DB經(jīng)過點(diǎn)O,分別與AE , CF相交于B, D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形。ABE考點(diǎn)三、三角形的中位線(1) 三角形的中位線：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。(2) 三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三 邊的一半。例3、求證：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形考點(diǎn)四、兩條平行線間的距離（1）定義：兩條平行線間最短的線段的長度叫做兩條平行線間的距離（2）性質(zhì)：兩條平行線間的距離處處相等。夾在兩條平行線間的平行線段

8、相等。例4、直線AB /直線CD， ACD與厶BCD的面積相等嗎？AB練習(xí)題1、以不在同一直線上的三點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形，最多能作（）A 4個(gè) B 、3個(gè) C 、2個(gè) D 、1個(gè)2 下面幾組條件中，能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）.A 一組對邊相等；B 兩條對角線互相平分C 一組對邊平行；D 兩條對角線互相垂直3、下列條件中，能判定四邊形是平行四邊形的是（）A、一組對邊相等，另一組對邊平行；C、一組對角相等，一組鄰角互補(bǔ);B、一組對邊平行，一組對角互補(bǔ)； D 組對角互補(bǔ)，另一組對角相等。4、如圖1,點(diǎn)D E、F分別是AB BC CA的中點(diǎn)，則圖中平行四邊形一共有（A 1個(gè) B 、2個(gè) C

9、、3個(gè)圖15、如圖1所示，在 ABC中，D E分別為AB AC的中點(diǎn)，延長DE到F,使EF=DE若A吐10, BO 8,則四邊形 BCFD勺周長=。圖16 如圖 2,在口ABCD中,E、G是AD的三等分點(diǎn),F、H是BC的三等分點(diǎn)，貝昭中的平行四邊形共有 ，其中 S四邊形ABFE : S四邊形ABHG §四邊形ABHG - S四邊形ABCD7、BD是平行四邊形ABCD勺對角線，點(diǎn)E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需要添加的一個(gè)條件是8、如圖，已知：E、F是平行四邊形ABCD寸角線AC上的兩點(diǎn)，并且AE=CF求證：四邊形BFDE是平行四邊形變式一：在口 ABC沖，E, F

10、為AC上兩點(diǎn)，BE/DF .求證：四邊形 BEDF為平行四邊形.變式二：在口 ABCD中 E,F分別是AC上兩點(diǎn)，BEX AC于 E, DF丄AC于F.求證:四邊形BEDF為平行四邊形。想一想：在口ABCD中, E ,F為AC上兩點(diǎn)，BE= DF.那么可以證明四邊形BEDF 是平行四邊形嗎？9、如圖，平行四邊形 ABCD中，AF= CH DP BG求證：EG和HF互相平分圖 20.1.3-110、如圖所示，在四邊形 ABCD中, M是BC中點(diǎn)，AM BD互相平分于點(diǎn)O,那么請說明 AM=DC且 AIM/ DC11、如圖，在口 ABCD中，已知兩條對角線相交于點(diǎn) O, E、F、G H分別是AO

11、BO CO DO的中點(diǎn)，以圖中的點(diǎn)為頂點(diǎn)，盡可能多地畫出平行四邊形12、在四邊形 ABCD中，AD/ BC，且 AD>BC BC= 6cm, P, Q 分別從 A, C 同時(shí)出發(fā)，P以1厘米/秒的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，Q以2厘米/秒的速度由C向B運(yùn)動(dòng)，幾秒后四邊形ABQP成為平行四邊形?D13、如圖，在 ABC中, BD平分/ ABC DE/ BC交 AB于點(diǎn) E, EF/ AC交 BC于點(diǎn)BFC14、已知，如圖， ABC是等邊三角形，過 AC邊上的點(diǎn)D作DG/ BC,交AB于點(diǎn)G 在GD和延長線上取點(diǎn)E,使DE= DC連接AE BD(1) 求證： AGEA DAB(2) 過點(diǎn)E作EF/ D

12、B交BC于點(diǎn)F,連結(jié)AF,求/ AFE的度數(shù)。E15、如圖4.4-17，等邊三角形ABC勺邊長為a, PABC內(nèi)一點(diǎn)，且PD/ AB,PE/ BC PF/ AC,那么，PD+PE+PF勺值為一個(gè)定值.這個(gè)定值是多少？請你說出這個(gè)定值的來歷.16. 如圖所示，在平行四邊形 ABCD中, R、P2是對角線BD的三等分點(diǎn)，求證: 四邊形APCP是平行四邊形.AB17. 已知如圖所示，點(diǎn)0為平行四邊形ABCD勺對角線BD的中點(diǎn)，直線EF經(jīng)過點(diǎn)0,分別交BA DC的延長線于E、F兩點(diǎn)，求證：AE=CF18. 已知：如圖所示，平行四邊形 ABC啲對角線AC BD湘交于點(diǎn)O, EF經(jīng)過點(diǎn) 0并且分別和AB

13、CD相交于點(diǎn)E F,又知G H分別為OA OC的中點(diǎn).求證：四邊形EHFG!平行四邊形.3、矩形考點(diǎn)一、矩形的定義(1) 定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。例 1、在 ABCD 中,AB=3, BC=4 AC=5 貝U ABCD 是矩形嗎?考點(diǎn)二、矩形的性質(zhì)(1) 矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì);(2) 矩形的對角線相等；(3) 矩形的四個(gè)角都是直角；(4) 矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸。例2、E, F分別是矩形ABCD勺對角線AC和 BD上的點(diǎn)，且AE=DF求證：BE=CFBC考點(diǎn)三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)(1)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。例3、BD。丘是厶ABC兩

14、邊上的高，G F分別是BC DE的中點(diǎn)，求證：FGL DE考點(diǎn)四、矩形的判定方法(1)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。(2) 方法一：對角線相等的平行四邊形是矩形。(3) 方法二：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。例4、 ABCD的四個(gè)內(nèi)角的角平分線分別相交于E、F、G H,試說明四邊形EFGH是矩形練習(xí)題、選擇題矩形具備而平行四邊形不具有的性質(zhì)是(2.A .對角線互相平分B.鄰角互補(bǔ)C.對角相等D .對角線相在下列圖形性質(zhì)中，矩形不一定具有的是(A .對角線互相平分且相等B.四個(gè)角相等C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形D .對角線互相垂直平分3若矩形的一條對角線與一邊的夾角是 40&

15、#176;,則兩條對角線相交所成的銳角是()A. 20°B . 40°C. 80°D . 100°4直角三角形中，兩條直12和5,則斜邊中線的長是()A. 26B . 13 C . 30D . 6. 55 下列識別圖形不正確的是()A 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；B 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形C.對角線相等的四邊形是矩形D 對角線互相平分且相等的四邊形是矩形6四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O,下列條件不能判定它是矩形的是()A. AB=CD，AB / CD，/ BAD=90 °B. AO=CO，BO=DO，AC=BDC. Z BAD=

16、/ ABC=90。，/ BCD+ / ADC=180°D. Z BAD= / BCD，/ ABC= / ADC=90 °7.如圖1,矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E、F是AC上的三等分點(diǎn)，貝U Sbef8A7/l為24DD "c(1)(2)(3)8. (2006 成都)把一張長方形的紙片按如圖 2所示的方式折疊，EM、FM為 折痕，折疊后的C點(diǎn)落在B' M或B' M的延長線上，那么/ EMF的讀度為 ()A. 85B. 90C. 95D. 1009. （2006 黑龍江）如圖 3,在矩形 ABCD 中，EF/ AB , GH / BC , E

17、F、GH的交點(diǎn)P在BD上，圖中面積相等的四邊形有（）A. 3對 B . 4對 C. 5對 D . 6對10. 如圖4,矩形ABCD的周長為68,它被分成7個(gè)全等的矩形，則矩形ABCD?的面積為（）A. 98B. 196 C. 280D. 284、填空題11.矩形 ABCD12.矩形 ABCD中，對角線AC=10cm, AB : BC=3: 4,則它的周長是.的兩條對角線相交于點(diǎn) O,如果矩形的周長是34cm,又厶AOB?的周長比厶ABC的周長少7cm,則AB=cm, BC=cm.13. 在矩形ABCD中，對角線 AC、BD相交于點(diǎn)O,若/ AOB=110°，則/OAB=14.如圖5所

18、示，把兩個(gè)大小完全一樣的矩形拼成“L? ”形圖案，？則/FAC=D(4)15.如圖6,在四邊形ABCD中,點(diǎn)，？添加一個(gè)條件，使四邊形E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA 的中EFGH為矩形，添加的條件是:三、解答題16.已知：如圖，在矩形 ABCD中，AE丄BD于E,對角線 AC、BD相交于點(diǎn)O, ?且 BE: ED=1: 3, AB=6cm，求 AC 的長.17. 已知：如圖，M為YABCD的AD邊上的中點(diǎn)，且 MB=MC , 求證：丫 ABCD是矩形.18. （2006 瀘州）如圖，在矩形 ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，AE=AD , DF 丄AE，垂足為F，線段DF與圖中的哪一條

19、線段相等？先將猜想出的結(jié)論填 寫在下面的橫線上，然后再加以證明.即DF=.（寫出一條線段即可）19. 如圖，四邊形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 °，M、N 分別是 AC、BD?的中點(diǎn)，那么MN丄BD成立嗎？試說明理由.20. （2006 江蘇淮安）如圖，AB=CD=ED，AD=EB，BE丄 DE，垂足為 E.（1）求證： ABD EDB;（2）只需添加一個(gè)條件，即，可使四邊形ABCD為矩形，加以證明.21. 如圖，在 YABCD的紙片中，AC丄AB , AC與BD相交于點(diǎn)0,將厶ABC沿對角線AC翻轉(zhuǎn)180°,得到 AB ' C.(1) 求證：以A

20、 , C, D, B '為頂點(diǎn)的四邊形是矩形.(2) 若四邊形ABCD的面積S=12cm2，求翻轉(zhuǎn)后紙片重疊部分的面積，即 S ACE .22. (2006 南寧)如圖a中的矩形ABCD，沿對角線AC剪開，再把 ABC? 沿著AD方向平行移動(dòng)，得到圖b.在圖b中， ADC C ' BA , AC / A ' C', A ' B?/ DC . ?除厶DAC與厶C' BA '外，指出有哪幾對全等的三角 形(不能添加輔助線和字母)？選擇其中一對加以證明.(b)23. 如圖所示，以 ABC的三邊在BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即：ABD , B

21、CE,A ACF，回答下列問題：(1) 四邊形ADEF是什么四邊形？(2) 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADEF是矩形？(3) 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時(shí)，以A , D, E, F為頂點(diǎn)的四邊形不存在?4、菱形考點(diǎn)一、菱形的定義(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形例1、四邊形ABCDK AB/ CD AB=CD=BC則四邊形 ABCD是菱形嗎?ADj7考點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)(1) 菱形的四條邊都相等；(2) 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。(3) 菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸。例2、已知菱形周長為16cm兩鄰角之比為1:2，則較短對角線的長為 c考點(diǎn)三、菱形的判定方

22、法(1) 定義法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。(2) 判定定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四邊相等的四邊形是菱形。例3、AD® ABC的角平分線，EF垂直平分AD,分別交AB于 E,交AC于 F,則四邊形AEDF是菱形嗎?BD考點(diǎn)四、菱形面積的計(jì)算(1)菱形面積=底乂高二兩對角線乘積的一半。例4、已知菱形ABCD勺邊長為2cm / BAD=120 ,對角線AC和BD相交于點(diǎn)0,求這個(gè)菱形的面積練習(xí)題、選擇題1 把菱形ABCDS對角線AC的方向移動(dòng)到菱形AB' C D'的位置，它們重疊部分的四邊形A FCE是()A .正方形 B .矩形C .菱形D .不確定

23、2如圖，菱形 ABCD中, Z B= 60,A吐2,E、F分別是BC. CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、人匕則厶AEF的周長為(3.3 C4,3A.D3已知菱形的周長為96 cm,兩個(gè)鄰角的比是1 : 2,這個(gè)菱形的較短對角線的長是()A. 21 cm.22 cm.23 cm.24 cm4 若菱形周長為52cm 條對角線長為10cm則其面積為（）2 2 2 2A . 240 cm B . 120 cm C . 60 cm D . 30 cm5如圖，下列條件之一能使平行四邊形 ABCD是菱形的為（） AC BD BAD 90。 AB BC AC BDA.B.C.D.6. 如圖，在三角形ABC中，AB

24、 > AC , D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)， ADE 沿線段DE翻折，使點(diǎn)A落在邊BC上，記為A .若四邊形ADA E是菱形，則下 列說法正確的是（）A. DE是厶ABC的中位線B . AA是BC邊上的中線C. AA是BC邊上的高D . AA是厶ABC的角平分線A47. 如圖，將一個(gè)長為10cm寬為8cm的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（虛線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（）A. 10cm2B. 20cm2 C. 40cm2D. 80cm28. 若菱形的邊長為1cm其中一內(nèi)角為60°,則它的面積為（）A . 3cm2B . .3cm2 C . 2cm2 D

25、 . 2、3cm229. 一個(gè)菱形兩條對角線之比為1 : 2, 條較短的對角線長為4cm,那么菱形的 邊長為（）A . 2cm.4cm.(2 2、5)cm D . 2 5cm10. 如圖，在菱形 ABCD中, Z A= 110E, F分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP丄CD于點(diǎn) P,則Z FPC=()B . 45°50°D . 55、填空題PCA . 35°B11.如圖，菱形AB1C1D1的邊長為1,B160° ;作 AD2 B1C1 于點(diǎn) D2，以 AD2為一邊，做第二個(gè)菱形AB2C2D2 ,使B260°作 AD3 B2C2 于點(diǎn) D3 ,以 A

26、D3為一邊做第三個(gè)菱形AB3C3D3，使B360° L L依此類推，這樣做的第n個(gè)菱形ABnCnDn的邊AD.的長是D1如圖，菱形ABCD的邊長為2, ABC 45。，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為12 .13.如圖所示，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O, H為AD邊中點(diǎn),菱形ABCD的周長為24,則0H的長等于C14 菱形ABC中, AE垂直平分BC,垂足為E, A吐4cm那么，菱形ABC的面積是，對角線BD的長是15.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點(diǎn)0,請你添加一個(gè)條件: 使得該菱形為正方形.DOABCO16.如圖,菱形ABCD中，0是對角線AC, BD的交點(diǎn)，AB 5cm, AO

27、4cm ,cm則BDC17.菱形的對角線長分別為6和8,則菱形的邊為，菱形的面積18.己知菱形ABCD勺邊長是6,點(diǎn)E在直線AD上, DE= 3,連接BE與對角線AC相交于點(diǎn)M則MC的值是.AM19如圖， ABCD中，AE、CF分別是/ BAD和/BCD勺角平分線，根據(jù)現(xiàn)有的圖形，請?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形 AECF為菱形，則添加的一個(gè)條件可以是 （只需寫出一個(gè)即可，圖中不能再添加別的“點(diǎn)”和“線”）.D20. 如圖，在菱形ABCD中，A 60° E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，若EF 2，則菱形ABCD的邊長是.A4<7三、證明題21. 矩形ABCD勺對角線相交于點(diǎn) Q DE/

28、AC，CE/ DB, CE DE交于點(diǎn)E,請問：四邊形DOC是什么四邊形？請說明理由.22. 在矩形ABCD中, A吐6cm BC= 8cm若將矩形對角線BD對折，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，四邊形EBFD是菱形嗎？請說明理由，并求這個(gè)菱形的邊長.D四、解答題23 在矩形ABCD中，A吐6cm BC= 8cm,若將矩形對角線BD對折，使B點(diǎn)與D點(diǎn)重合，四邊形EBFD是菱形嗎？請說明理由，并求這個(gè)菱形的邊長.EF24. 如圖， ABC中，點(diǎn)0是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過0作直線MN / BC，設(shè)MN 交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F .探究：線段0E與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；（3分） 當(dāng)點(diǎn)0

29、在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明，若不 是，則說明理由；（3分） 當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到何處，且 ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 AECF是正方形？ （3 分）ANC D25如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是菱形ABCD中 BC，CD邊上的點(diǎn)（E, F不與B，C, D重 合）在不連輔助線的情況下請?zhí)砑右粋€(gè)條件，說明AE= AF.26兩個(gè)完全相同的矩形紙片 ABCD BFDE如圖放置，A吐BF.求證：四邊形BNDM為菱形.AC27如圖，四邊形ABCD是菱形，DE丄AB交BA的延長線于E, DF丄BC,交BC的 延長線于F。請你猜想DE與 DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想.EA5、正方形B考點(diǎn)一

30、、正方形的定義(1)有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。例、 ABC 中，/ ABC=90 , BD 平分/ ABC DEL BC,DH AB,試說明四邊形BEDF是正方形?？键c(diǎn)二、正方形的性質(zhì)(1)四條邊都相等，鄰邊垂直，對邊平行;(2)(3)(4)(5)是軸對稱圖形，有4條對稱軸；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形,對角線與四個(gè)角都是直角；對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角;(1)求證： ADEA BCEF邊的夾角是45°，正方形的兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰三角形。例2、點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)， CDE是等邊三角

31、形，連接EB EA延長BE交邊AD于點(diǎn)F。(2)求/ AFB的度數(shù)?？键c(diǎn)三、正萬形的判定(1) 先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；(2) 先證它是菱形，再證它有一個(gè)角是直角。例3、已知點(diǎn)E、F、G、H分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AE=BF=CG=DH。求證：四邊形EFGH是正方形練習(xí)題一、填空1、 正方形的對稱軸有條，它的對稱中心是。2、 正方形的邊長為4cm則周長為，面積為。3、 正方形的對角線與一邊的夾角為。4、已知：如圖所示，E為正方形ABCE外卜一點(diǎn)，AE= AD / ADE= 75°，則/ AEB5、菱形的周長為20cm相鄰內(nèi)角度數(shù)之比為2 ： 1,則菱形較短的

32、對角線長為.cm。6 已知：矩形 ABCD中, A吐2CB點(diǎn)E中DC上,AE= AB 則/ EBC=7、以正方形ABCD勺對角線AC為一邊作菱形AEFC則/ FA吐8、 一個(gè)正方形的對角線長3cm則它的面積為。9、如圖所示，把25個(gè)邊長為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A、B、C、D都是小正方形的頂點(diǎn)，則四邊形 ABCD勺面積為10、正方形ABCD中，對角線的長是10cm點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到ACBD的距離之和是。11、在正方形 ABCD中, E、F、G H分別是邊 AB BC CD DA的中點(diǎn)，則四邊形 EFGH是形。12、如圖所示不，在正方形 ABCD中, M是BC上一點(diǎn)，連結(jié)AM，

33、作AM的垂直平分線 GH交 AB于 G 交 CD于 H,若 AM= 10cm,貝U GH=。稱中心，則圖中陰影部分的面積是.13、如圖，正方形ABCD和正方形OEFG勺邊長均為4, O是正方形ABCD勺旋轉(zhuǎn)對二、選擇1、在四邊形ABCD中, O是對角線的交點(diǎn)，下列條件能判定這個(gè)四邊形是正方形的是oA、AO BD, AB/ CD A吐 CDB、AD/ BC, / A=Z CC、AO= BO= CO= DO ACL BDD AO CO BO= DO A吐 BC2、如圖所示,在正方形 ABCD中, H是BC延長線上一點(diǎn),使CE= CH連結(jié)DH延長BE交DH于 G則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是A、BE= DHB、

34、B、/ H+Z BEC= 90°C、C、BGL DHD DZ HD+Z ABE= 903、 正方形具有而菱形沒有的性質(zhì)是。A、對角線互相平分 B每條對角線平分一組對角* BA C、對角線相等D、對邊相等4、 以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)作位置不同的正方形，一共可作。A、1個(gè) B 2個(gè) C、3個(gè) D 4個(gè)5、在正方形ABCD所在平面內(nèi)找一點(diǎn)P,使P點(diǎn)與A B、C、D中兩點(diǎn)都連在一 個(gè)等邊三角形，那么這樣的P點(diǎn)有。A 5個(gè) B、12個(gè) C、9個(gè) D 15個(gè)6如圖所示，以正方形 ABCD中 AD邊為一邊向外作等邊 ADE則/ AEB=EA 10°B、15°C、20&

35、#176;D 12.57、下列說法錯(cuò)誤的是A四個(gè)角相等的四邊形是矩形B、四條邊相等的四邊形是正方形C、對角線相等的菱形是正方形D對角線互相垂直的矩形是正方形8、如圖所示，在平行四邊形 ABCD中, AD= 2DC M N分別在AB兩邊的延長線上，且有MA= AB= BN，則MW DN的關(guān) 系是。A、相等 B、垂直 C、垂直且相等D不能確定9、兩條鄰邊分別是15cm和20cm的平行四邊形最大面積是 cniA 75 B、150 C、200 D 300三、說理與簡答FB E1、如圖所示，正方形 ABCD中, P是對角線AC上一點(diǎn)，PE 丄AB于 E，PF丄BC于F。請猜想EF與PD的數(shù)量關(guān)系、位置

36、關(guān)系，并說明理由。2、已知：如圖所示，在正方形 ABCD和正方形AEFG有一具公共頂點(diǎn)A,把正方形AEFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，連結(jié) DG BE=試說明：DG= B呂3、已知：如圖所示，在正方形 ABCD中, E、F分別是AD DC的交點(diǎn)，AF BE 交于點(diǎn)G連結(jié)CQ試說明： CGB是等腰三角形。4、如圖所示，在Rt ABC中, Z C= 90°,/ A、/ B的平分線交于點(diǎn) D, DEL BC 于E, DFLAC于 F,試說明四邊形CEDF為正方形。5、已知：如圖所示，E、F分別是正方形的邊BC DC上的點(diǎn)，且Z EAM45求證：BE+ DF= EFB EC6 如圖所示，在正方

37、形 ABCD中，M為AB上任意一點(diǎn)，MNL DM BN平分/ CBE試說明：MD= MN7、已知：如圖所示，ABCD是正方形，過B作BF/ AC, E是BF上一點(diǎn)，四邊形AEFC是菱形，試說明：/ FCA= 5 / F。F8、如圖所示，ABCD正方形，AE/ DB BE= BD BE交AD于 F，試說明： DEF是腰三角形。9、如圖所示，已知正方形 ABC的對角線AC BD相交于點(diǎn)O, E是AC上一點(diǎn),過A作AGL EB垂足為G, AG交BD于F,請說明OE= OFDC對于上述命題，若點(diǎn) E在AC的延長線上，AGL EB交EB的延長線于點(diǎn) G AG的 延長線交DB的延長線于點(diǎn)F,其他條件不變，如圖所示，請你想一想，結(jié)論“OB 0F'還成立嗎？如果成立，請給予說明；如果不成立，請說明理由。FE10、如圖所示，點(diǎn)M是矩形ABCD勺邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE1 MC PFL BM垂足分別為E、F。 當(dāng)矩形ABCD勺長與寬滿足什么條件時(shí)，四邊形PEM為矩形，請猜想并說明理 由。 在中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，矩形PEMF變?yōu)檎叫危繛槭裁矗?