第24講_三角恒等變形及應(yīng)用

1、第二十四講 三角恒等變形及應(yīng)用一、復(fù)習(xí)目標(biāo)要求1經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用；2能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。二、2010年命題預(yù)測 從近幾年的高考考察的方向來看，這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機(jī)會(huì)較多，有時(shí)候也以填空題的形式出現(xiàn)，它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向量聯(lián)合考察，主要題型有三角函數(shù)求值，通過三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。本講內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一，三角函數(shù)

2、的化簡、求值及三角恒等式的證明是三角變換的基本問題。歷年高考中，在考察三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí)，還注重考察思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運(yùn)算及觀察能力、運(yùn)算推理能力和綜合分析能力。三、知識(shí)精點(diǎn)講解1兩角和與差的三角函數(shù)；。2二倍角公式；。3三角函數(shù)式的化簡常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；。（2）輔助角公式，。4三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角

3、與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。四典例解析題

4、型1：兩角和與差的三角函數(shù)例1已知，求cos。分析：因?yàn)榧瓤煽闯墒强醋魇堑谋督?，因而可得到下面的兩種解法。解法一：由已知sin+sin=1，cos+cos=0，22得 2+2cos； cos。22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。解法二：由得由得÷得點(diǎn)評(píng)：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復(fù)角的余弦值，易犯錯(cuò)誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個(gè)，顯然前景并不樂觀，其錯(cuò)誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化，“整體對(duì)應(yīng)”巧應(yīng)用。例2已知求。分析：由韋達(dá)定理可得到進(jìn)而可以求出的值，再將所求值的三角函

5、數(shù)式用tan表示便可知其值。解法一：由韋達(dá)定理得tan，所以tan解法二：由韋達(dá)定理得tan，所以tan，。點(diǎn)評(píng)：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，從而尋找解答本題的知識(shí)“最近發(fā)展區(qū)”。（2）運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關(guān)系，次數(shù)關(guān)系，三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用，而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征，有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相應(yīng)的公式，從而找到解題的切入點(diǎn)。（3）對(duì)公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如題型2

6、：二倍角公式例3化簡下列各式：（1），（2）。 分析：（1）若注意到化簡式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；（2）由于分子是一個(gè)平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，不難得到解題的切入點(diǎn)。解析：（1）因?yàn)?，又因，所以，原?。（2）原式= =。點(diǎn)評(píng)：（1）在二倍角公式中，兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。（2）化簡題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn)，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。（3）公式變形，。例4若。分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。解法一：由

7、， 解法二：，點(diǎn)評(píng)：此題若將的左邊展開成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2·運(yùn)用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，如，等。題型3：輔助角公式例5已知正實(shí)數(shù)a,b滿足。分析：從方程 的觀點(diǎn)考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時(shí)除以a，則已知等式可化為關(guān)于程，從而可求出由，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結(jié)構(gòu)，可考慮引入輔助角求解。解法一：由題設(shè)得 解法二：解法三：點(diǎn)評(píng)：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯(lián)想，引入輔助角，

8、技巧性較強(qiáng)，但輔助角公式，或在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，應(yīng)加以關(guān)注；解法三利用了換元法，但實(shí)質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點(diǎn)，所以解法三最佳。例6（2000全國理，17）已知函數(shù)ycos2xsinxcosx1，xR.（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由ysinx（xR）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?（理）（1）解析：ycos2xsinxcosx1（2cos2x1）（2sinxcosx）1cos2xsin2x（cos2x·sinsin2x·cos）sin（2x）y取得最大值必須且只需2x2k，kZ，即xk，kZ。所以當(dāng)函數(shù)y取得最

9、大值時(shí)，自變量x的集合為x|xk，kZ。（2）將函數(shù)ysinx依次進(jìn)行如下變換：把函數(shù)ysinx的圖象向左平移，得到函數(shù)ysin（x）的圖象；把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；把得到的圖象向上平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；綜上得到函數(shù)ycos2xsinxcosx1的圖象。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力。（2000全國文，17）已知函數(shù)ysinxcosx，xR.（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)

10、，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由ysinx（xR）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?解析：（1）ysinxcosx2（sinxcoscosxsin）2sin（x），xRy取得最大值必須且只需x2k，kZ，即x2k，kZ。所以，當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，自變量x的集合為x|x2k，kZ（2）變換的步驟是：把函數(shù)ysinx的圖象向左平移，得到函數(shù)ysin（x）的圖象；令所得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，把縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y2sin（x）的圖象；經(jīng)過這樣的變換就得到函數(shù)ysinxcosx的圖象。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力。題型

11、4：三角函數(shù)式化簡例7（1995全國理，22）求sin220°cos250°sin20°cos50°的值。解析：原式（1cos40°）（1cos100°）（sin70°sin30°）1（cos100°cos40°）sin70°sin70°sin30°sin70°sin70°sin70°。點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等式和運(yùn)算能力。例8（06北京理，15）已知函數(shù). （）求的定義域； （）設(shè)的第四象限的角，且，求的值。解析：（）由 得， 故在定義

12、域?yàn)椋ǎ┮驗(yàn)椋沂堑谒南笙薜慕? 所以a 故 。題型5：三角函數(shù)求值例9（06重慶理，17）設(shè)函數(shù)f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。（）求的值；（）如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。解析：（I）依題意得 （II）由（I）知，。又當(dāng)時(shí)，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故例10（06上海理，17）求函數(shù)2的值域和最小正周期。解析：y=cos(x+) cos(x)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，函數(shù)y=cos(x+) cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是。題型6：三角函數(shù)綜合

13、問題例11已知向量（I）若求（II）求的最大值。解析：（1）；當(dāng)=1時(shí)有最大值,此時(shí)，最大值為。點(diǎn)評(píng)：本題主要考察以下知識(shí)點(diǎn)：1、向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0；2，特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標(biāo)表示求模，難度中等，計(jì)算量不大。例12（2001天津理，22）設(shè)0<<，曲線x2sin+y2cos=1和x2cosy2sin=1有4個(gè)不同的交點(diǎn)。（1）求的取值范圍；（2）證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓，并求圓半徑的取值范圍。解析：（1）解方程組，得；故兩條已知曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件為，（0<<）0<<。（2）設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐

14、標(biāo)為（xi，yi）（i=1，2，3，4），則：xi2+yi2=2cos（，2）（i=1，2，3，4）。故四個(gè)交點(diǎn)共圓，并且這個(gè)圓的半徑r=cos（）.點(diǎn)評(píng)：本題注重考查應(yīng)用解方程組法處理曲線交點(diǎn)問題，這也是曲線與方程的基本方法，同時(shí)本題也突出了對(duì)三角不等關(guān)系的考查。題型7：三角函數(shù)的應(yīng)用例13有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)內(nèi)接矩形，即矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上，求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題入手要解決好兩個(gè)問題，（1）內(nèi)接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應(yīng)該分別予以處理；（2）求最大值問題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面

15、積的自變量。解析：如圖2-19(1)設(shè)FOA=，則FGRsin，。又設(shè)矩形EFGH的面積為S，那么又0°60°，故當(dāng)cos(260°)1，即=30時(shí)，如圖2-19 (2)，設(shè)FOA，則EF2Rsin(30°)，在OFG中，OGF150°設(shè)矩形的面積為S那么SEFFG4R2sinsin(30°-)2R2cos(230°)cos30°又030°，故當(dāng)cos(230°)1。五思維總結(jié)從近年高考的考查方向來看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%因此能否掌握好本重點(diǎn)

16、內(nèi)容，在一定的程度上制約著在高考中成功與否。1兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）不僅對(duì)公式的正用逆用要熟悉，而且對(duì)公式的變形應(yīng)用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如，等；（3）注意倍角的相對(duì)性（4）要時(shí)時(shí)注意角的范圍（5）化簡要求熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。2證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。3解答三角高

17、考題的策略。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。4加強(qiáng)三角函數(shù)應(yīng)用意識(shí)的訓(xùn)練1999年高考理科第20題實(shí)質(zhì)是一個(gè)三角問題，由于考生對(duì)三角函數(shù)的概念認(rèn)識(shí)膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成思維障礙，思路受阻.實(shí)際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，它產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐，是客觀實(shí)際的抽象，同時(shí)又廣泛地應(yīng)用于客觀實(shí)際，故應(yīng)培養(yǎng)實(shí)踐第一的觀點(diǎn).總之，三角部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點(diǎn)是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，三角函數(shù)的求