平面向量中的最值問(wèn)題淺析

1、平面向量中的最值問(wèn)題淺析耿素蘭山西平定二中(045200 )要注意正確運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，合理轉(zhuǎn)化。、利用函數(shù)思想方法求解例 1 1、給定兩個(gè)長(zhǎng)度為 1 1 的平面向量OA和，它們的夾角為120. .如圖所示，點(diǎn) C C 在以 O OC點(diǎn)變化的變量，建立目標(biāo)x y與此變量的函數(shù)關(guān)系是解決最值問(wèn)題的常用途徑。一 一1，以點(diǎn)0為原點(diǎn)，0A為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，B(-,2x y cos . 3sin 2sin( ) (0因此，當(dāng)3時(shí)，Xy取最大值 2 2。A(1,7),OB (5,1),O取最小值時(shí)，求OQ.(2,1),點(diǎn) Q Q 為射線 OPOP 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)QQB分析：因?yàn)辄c(diǎn) Q

2、Q 在射線 OPOP 上，向量OQ與OP同向，故可以得到關(guān)于OQ坐標(biāo)的一個(gè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng). .若OC,其中x, y R, ,則xy的最大值是圖 1 1C(cos ,sin )。-OC1(cos，sin)x(1，)y(2,即yx cos2一3y . sin2平面向量中的基本運(yùn)算和性質(zhì)為主，解決此類問(wèn)題分析：尋求刻畫解:設(shè)AOC2_3)。例 2 2、已知(2x,x),(x0)，則QA(1 2x,7X),QB(5 2x,1 x)QQB5x220 x 12 5(x 2)28二、利用向量的數(shù)量積m n |m n求最值例 3 3、ABC三邊長(zhǎng)為a、b、c,以 A A 為圓心,r,r 為半徑作圓分析

3、：用已知向量表示未知向量，然后用數(shù)量積的性質(zhì)求解。四、利用幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解 例 5 5、如圖，已知正六邊形PP2P3P4P5P6，下列向量的數(shù)量積中最大的是關(guān)系式，再根據(jù)Q|QB取最小值求OQ.當(dāng)x 2時(shí),取最小值-8-8，此時(shí)OQ(4, 2).有最大值。在什么位置時(shí),解:：AB BP AP,AC CQAQAPBP|CQ(ApAB)(2r2當(dāng)且僅當(dāng)求解AP與CB同向時(shí)，B|CQ有最大值。三、利用向量模的性質(zhì)例 4 4已知ab 2,分析 :注意到a(3解：由條件知b1。4 14 4設(shè)ab c， 貝U a= =b(cos,sin ),求I a的最大值與最小值。考慮用向量模的性質(zhì)求解。1 ni

4、 44cbc bb，1a1443。所以當(dāng)b與c同向時(shí)，a取最大值 3 3 ；當(dāng)b與c反向時(shí),a取最小值 1 1。解：設(shè)OQxoP(1 2x)(5 2x) (7 x)(1 x),PQ,PQ 為直徑，試判斷 P P、Q Q（A）PP2PP3（。PIP?PP5分析：平面向量數(shù)量積詞在方向上的投影II(B B)RP2RP4II(圖 3 3韻|0 1,2,3,4,5,6)的幾何意義為等于 的長(zhǎng)度與P1P cos, PP?, P1P,的乘積。顯然，由圖可知，PP在PP?方向上的投影最大，故選(A A)。例 6 6、a與b與b是兩個(gè)夾角為 1201200的單位向量，且 p+q=1p+q=1( p p、q q R)R),貝U pd qb的最小值是分析：如圖 3 3，設(shè)OABCpBA因此點(diǎn) C