單調(diào)性與最大小值

1、1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲祮握{(diào)性與最大（?。┲?.()(),()()()(,:)(21212121減減函函數(shù)數(shù)上上是是增增函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間那那么么就就說說函函數(shù)數(shù)時時，都都有有，當當值值上上的的任任意意兩兩個個自自變變量量的的內(nèi)內(nèi)某某個個區(qū)區(qū)間間如如果果對對于于定定義義域域的的定定義義域域為為一一般般地地，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)DxfxfxfxfxfxxxxDIIxf 定義定義:復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問 如果如果y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么那么就說函數(shù)就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性單調(diào)性，這一區(qū)間叫做這一區(qū)間叫做y=

2、f(x)的的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.函數(shù)單調(diào)性的定義：函數(shù)單調(diào)性的定義：證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 1. 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2. 作差作差f(x1)f(x2)；3. 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）；4. 定號（即判斷差定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）；的正負）；5.下結(jié)論（即指出函數(shù)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的上的單調(diào)性）單調(diào)性） 利用定義證明函數(shù)利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D上的單上的單調(diào)性的一般步驟：調(diào)性的一般步驟：12,(0),xx ， + +12121211()()

3、()()f xf xxxxx121211()()xxxx120,xx解：解：則則211212()xxxxx x 12121()(1)xxx x1212121()()x xxxx x 120,xx12()()0f xf x ，12()()f xf x 1( )(0 ,1f xxx在在即即1201x x ，思考：思考：判定函數(shù)判定函數(shù) 的單調(diào)性的單調(diào)性.1( )(0)f xxxx12xx 且且，設(shè)設(shè) 當當 0 x1x21時，時，當當 1x1x2 時，時，121x x ，12()()0f xf x ，12()()f xf x 即即1( )1,)f xxx 在在上是增函數(shù)上是增函數(shù).654321-1-

4、2-3-4-8-6-4-224681012xy1234102345綜上：綜上：），），增增區(qū)區(qū)間間是是（，的的減減區(qū)區(qū)間間是是（110)(xf函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 求最大最小值 比較大小 解不等式 例例1.1.畫出函數(shù)畫出函數(shù) 圖象，圖象，2( )23( 2 2)f xxxx ，解：解：2( )(1)4( 2 2)f xxx ，并根據(jù)圖象說出并根據(jù)圖象說出f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，間上，f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). .由由f(x)的圖象知該函數(shù)單調(diào)區(qū)間有：的圖象知該函數(shù)單調(diào)區(qū)間有：-2 , 1 , 1 , 2.其中其中f(x)在區(qū)間在區(qū)

5、間-2 , 1上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，問：問：f(x)在在-2 , 2上有最值嗎上有最值嗎？當當x=1時，時，答：答：f(x)有最大值有最大值 4；當當x=-2時，時， f(x)有最小值有最小值 -5. .在區(qū)間在區(qū)間1 , 2上是減函數(shù)上是減函數(shù). .最大值最大值 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為的定義域為I，如果，如果存在實數(shù)存在實數(shù)M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M .那么稱那么稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最大值最大值. . 最小值最小值 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(

6、x)的定義域為的定義域為I，如果，如果存在實數(shù)存在實數(shù)M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M .那么稱那么稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最小值最小值. . max( )f xM 記作：記作：min( )f xM 記作：記作：例例2. .求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間2，6上的最大值和上的最大值和最小值最小值 12xy解解:121222()()11f xf xxx由由2x1x26 ,12()()0,f xf x所以，函數(shù)所以，函數(shù) 是區(qū)間是區(qū)間2,6上的減函數(shù)上的減函數(shù).12xy且且 x10, 于是于是 (x1-1)(x2-1)0,12 ()()f xf x 即即故當故當x=2時，時，max2y ；當當x=6時，時，min0.4.y 設(shè)設(shè) x1 , x2 2,6，例例4. .求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的最大上的最大最小值最小值 322xxy3,26)3()(; 2)