222直接證明與間接證明-反證法

1、2.2.2直接證明與間接證明反證法反證法思考？思考？ A A、B B、C C三個(gè)人，三個(gè)人，A A說說B B撒謊，撒謊，B B說說C C撒謊，撒謊，C C說說A A、B B都撒謊。則都撒謊。則C C必定是在撒謊，為必定是在撒謊，為什么？什么？分析分析: :假設(shè)假設(shè)C C沒有撒謊沒有撒謊, , 則則C C真真. 那么那么A A假且假且B B假假; ;由由A A假假, , 知知B B真真. . 這與這與B B假矛盾假矛盾. .那么假設(shè)那么假設(shè)C C沒有撒謊不成立沒有撒謊不成立; ;則則C C必定是在撒謊必定是在撒謊. . 反證法：反證法： 假設(shè)假設(shè)命題結(jié)論的命題結(jié)論的反面成立反面成立，經(jīng)過正確的，

2、經(jīng)過正確的推理推理, ,引出引出矛盾矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤, ,從從而證明原命題成立而證明原命題成立, ,這樣的的證明方法叫這樣的的證明方法叫反證法反證法。反證法的思維方法：反證法的思維方法：正難則反正難則反例例1 1用反證法證明用反證法證明：如果如果ab0ab0，那么，那么a a b b證證：假假設(shè)設(shè) a a b b不不成成立立，則則 a a b b若 a =b，則a = b,若 a =b，則a = b,與已知a b矛盾,與已知a b矛盾,若 a b，則a b,若 a b，則a b矛盾,與已知a b矛盾,故假設(shè)不成立，結(jié)論 a b成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論 a b成立。練一練

3、：練一練： 已知已知a0a0，證明，證明x x的方程的方程ax=bax=b有有且只有一個(gè)根。且只有一個(gè)根。證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個(gè)根，證：假設(shè)方程ax+b = 0(a 0)至少存在兩個(gè)根，1 12 21 12 2不不妨妨設(shè)設(shè)其其中中的的兩兩根根分分別別為為x x ，x x 且且x x x x1212則ax = b，ax = b則ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 012121212 x x ，x -x 0 x x ，x -

4、x 0 a = 0 a = 0與已知a 0矛盾,與已知a 0矛盾,故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。故假設(shè)不成立，結(jié)論成立。反思反思1 1：用用反證法證題反證法證題的一般步驟是什么？的一般步驟是什么？（1 1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立；即假設(shè)結(jié)論的反面成立假設(shè)命題的結(jié)論不成立；即假設(shè)結(jié)論的反面成立。（2 2）從這個(gè)）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出，經(jīng)過推理論證，得出矛盾矛盾；（3 3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。 例例2 2 求證：求證： 是無理數(shù)是無理數(shù)。2 2證：假設(shè) 2是有理數(shù)，證：假設(shè) 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質(zhì)質(zhì)

5、的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是是偶偶數(shù)數(shù)，故故設(shè)設(shè)m m= =2 2k k（k kN N）22222222從而有4k = 2n ，即n = 2k從而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶數(shù)，n 也是偶數(shù)，這與m，n互質(zhì)矛盾！這與m，n互質(zhì)矛盾！假設(shè)不成立，故假設(shè)不成立，故 是無理數(shù)。是無理數(shù)。2練一練：練一練：1 1、用反正法證明時(shí)，導(dǎo)出矛盾有那幾種可能？、用反正法證明時(shí)，導(dǎo)出矛盾有那幾種可能？（1）與原命題的條件矛盾；）與原命題的條件矛盾；（3）與

6、定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾；）與定義、公理、定理、性質(zhì)矛盾；（2）與假設(shè)矛盾。）與假設(shè)矛盾。（1 1）難于直接難于直接使用已知條件使用已知條件導(dǎo)出結(jié)論導(dǎo)出結(jié)論的命題；的命題；（2 2）唯一性唯一性命題；命題；（3 3）“至多至多”或或“至少至少”性命題；性命題；（4 4）否定性或肯定性否定性或肯定性命題。命題。2 2、你認(rèn)為反證法的使用情形有那些？、你認(rèn)為反證法的使用情形有那些？反思反思2 2：（4 4）與客觀事實(shí)矛盾）與客觀事實(shí)矛盾. .說明：說明：常用的正面敘述詞語及其否定：常用的正面敘述詞語及其否定：正面正面詞語詞語等于等于大于（大于（） 小于小于 ()是是都是都是否定否定正面正面詞語詞

7、語至多有至多有一個(gè)一個(gè)至少有至少有一個(gè)一個(gè)任意的任意的所有的所有的至多有至多有n個(gè)個(gè)任意任意兩個(gè)兩個(gè)否定否定不等于不等于小于或小于或等于（等于（）大于或大于或等于（等于（）不是不是不都是不都是至少有至少有兩個(gè)兩個(gè)一個(gè)也一個(gè)也沒有沒有某個(gè)某個(gè)某些某些至少有至少有n1個(gè)個(gè)某兩個(gè)某兩個(gè)思考：思考：小結(jié)小結(jié) 1.1.反證法是一種間接證明的方法，是反證法是一種間接證明的方法，是解決某些解決某些“疑難疑難”問題的有力工具，其問題的有力工具，其基本思路是：基本思路是：假設(shè)結(jié)論不成立假設(shè)結(jié)論不成立構(gòu)設(shè)矛盾構(gòu)設(shè)矛盾否定假設(shè)否定假設(shè)肯定結(jié)論肯定結(jié)論. . 2.2.反證法主要適用于以下兩種情形：反證法主要適用于以下

8、兩種情形： （1 1）所證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不）所證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接有條件推出結(jié)論線索不清晰；明顯，直接有條件推出結(jié)論線索不清晰； （2 2）從正面入手需要分成多種情形進(jìn)）從正面入手需要分成多種情形進(jìn)行討論，而從反面證明，只要研究一種行討論，而從反面證明，只要研究一種或很少的幾種情形或很少的幾種情形. .練習(xí)：練習(xí)：1 1、 已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù)a a，b b，c c滿足滿足0a,b,c10a,b,c0a+b+c0，ab+ac+bc0ab+ac+bc0，abc0abc0，求證：，求證： a0a0，b0b0，c0c0沒有負(fù)根用反證法證明：方程（上為增函數(shù)在區(qū)間（證明：函數(shù)、已知函數(shù)0f(x)2)1,)() 1 () 1(122xfaxxayx121212122222112211221:若p p = 2(q +q ),證明:關(guān)于x的方程1:若p p = 2(q +q ),證明:關(guān)于x的方程x +p x+q = 0與x +p x+q = 0中至少有一x +p x+q = 0與x +p x+q = 0中至少有一個(gè)有實(shí)根.個(gè)有實(shí)根.2 22 22 22 2: :若若a a, ,b b, ,c c均均為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù), ,且且