《函數(shù)的基本性質》知識總結大全

1、函數(shù)的基本性質知識總結大全沛縣第二中學數(shù)學組張馳1.1.單調性函數(shù)的單調性是研究函數(shù)在定義域內某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢，是研 究函數(shù)圖象在定義域內的局部變化性質。函數(shù)單調性的定義一般地，設函數(shù)y f(x)的定義域為A，區(qū)間I A如果對于區(qū)間I內的_ 兩個值x-i,x2，當x! x2時，都有f(xj_ f (x2)，那么y f (x)在區(qū)間I上是單調增函數(shù)，I稱為y f x的單調_ 區(qū)間. .如果對于區(qū)間I內的_ 兩個值x,x2，當X-V VX2時，都有f(xj_ f(X2)，那么y f (x)在區(qū)間I上是單調減函數(shù)，I稱為y f(x)的單調_區(qū)間 如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間I上

2、是單調增函數(shù)或單調減函數(shù)，那么函數(shù)y f (x)在區(qū)間|上具有_ . .點評單調性的等價定義：f (x)在區(qū)間M上是增函數(shù)(XiX2) f(Xi) f (X2)0Xi，X2f (Xi)M ,當X,f (X2)X2時，有f(Xi)f (X2)00 -yX0；XiX2f (x)在區(qū)間M上是減函數(shù)Xi，X2M ,當x,X2時,有f (X,)f (X2)0(XiX2) f(Xi)f (X2)0f (Xi)f (X2)0 -y0；XiX2X函數(shù)單調性的判定方法定義法；圖像法；復合函數(shù)法;導數(shù)法；特值法(用于小題)，結論法等注意:定義法(取值作差變形宀口 定號-結論):設X,X2a,b且x,X2,么(x-

3、X2) f(xj f(X2) 0f(x-) f(x2)0 f(x)在區(qū)間a,b上是增函x,x2數(shù)；(x,x2) f(xj f(x2) 0丄兇一0 f (X)在區(qū)間a,b上是減函X,x2數(shù)。導數(shù)法(選修)：在f (X)區(qū)間(a,b)內處處可導，若總有f(X) 0(f(x) 0)，則f (x)在區(qū)間(a,b)內為增(減)函數(shù)；反之，f (x)在區(qū)間(a,b)內為增(減)函數(shù)，且 處處可導，則f(x) 0(f(x) 0)。請注意兩者之間的區(qū)別，可以“數(shù)形結合法”研究。點評 判定函數(shù)的單調性一般要將式子f(xj f(x2)進行因式分解、配方、通分、分子(分母)有理化處理，以利于判斷符號；證明函數(shù)的單調

4、性主要用定義法和導數(shù)法。提醒 求單調區(qū)間時，不忘定義域；多個單調性相同的區(qū)間不一定能用符號“U”連接；單調區(qū)間應該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示。 判定函數(shù)不具有單調性時， 可舉反例。與函數(shù)單調性有關的一些結論1若f (x)與g(x)同增(減)，貝U f (x)+g(x)為增(減)函數(shù)，f (g(x)為增函數(shù)；2若f (x)增，g(x)為減，則f (x)g(x)為增函數(shù)，g(x)f (x)為減函數(shù)，f (g(x)4函數(shù)y f(x)與函數(shù)y f(x) k(k 0)具有相同的單調性和單調區(qū)間；5函數(shù)y f (x)與函數(shù)y kf (x)(k 0)具有相同的單調性和單調區(qū)間，函數(shù)y f (x)與函

5、數(shù)y kf(x)(k 0)具有相同單調區(qū)間上的單調性相反。2.2.奇偶性函數(shù)的奇偶性是研究函數(shù)在定義域內的圖象是否關于原點中心對稱，還是關于y軸成軸對稱，是研究函數(shù)圖象的結構特點；函數(shù)奇偶性的定義一般地，設函數(shù)y f(x)的定義域為A如果對于_ 的x A，都有f( x) _ :那么函數(shù)y f (x)是偶函數(shù) 一般地，設函數(shù)y f(x)的定義域為A如果對于 _ 的x A，都有f( x) _，那么函數(shù)y f(x)是奇函數(shù). .如果函數(shù)y f (x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么函數(shù)y f (x)具有_ . .注意 具有奇偶性的函數(shù)的定義域一定關于原點對稱，因此，確定函數(shù)奇偶性時， 務必先判定函數(shù)定義域是否

6、關于原點對稱。圖象特征函數(shù)y f (x)為奇(偶)函數(shù) 函數(shù)y f (x)的圖象關于原點(y軸)成中心(軸) 對稱圖形。注意定義域含0的偶函數(shù)圖象不一定過原點；定義域含0的奇函數(shù)圖象一定過原點；利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個函數(shù)問題轉化到一半?yún)^(qū)間上，簡化問題。點評函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件 f (x)是奇函數(shù)f( x)f(x)f ( x)f(x) 0f( x)1f(x)f (x)是偶函數(shù)f( x)f(x)f( x)f(x) 0f( x)1. .f (x)奇函數(shù)f (x)在原點有定義，則f (0)0. .5在關于原點對稱的單調區(qū)間內：(i)奇函數(shù)有相同的單調性，偶函數(shù)有相

7、反的單調性；(ii)奇函數(shù)有相反的最值(極值)，偶函數(shù)有相同的最值(極值)。6f (x)是偶函數(shù)f(|x|) f(x). .奇偶性的判定方法若所給函數(shù)的解析式較為復雜，應先考慮其定義域并等價變形化簡后，再判斷其奇偶性 如判斷函數(shù)f (x)1 x的奇偶性。判定函數(shù)奇偶性方法如下：定義(等價定義)|x 2| 2法；圖像法；結論法等 點評 定義法判定函數(shù)的奇偶性先求定義域，看其是否關于原點對稱，若對稱，再求f( x)，接著考察f( x)與f (x)的關系，最后得結論 判斷函數(shù)不具有奇偶性時，可用反 例。與函數(shù)的奇偶性有關的一些結論1若f (x)與g(x)同奇(偶)，則f (x)g(x)為奇(偶)函數(shù)

8、，f (x) g(x)和丄也為g(x)偶函數(shù)，f (g(x)為奇(偶)函數(shù)；2若f (x)與g(x)一奇一偶，則f (x) g(x)和丄(型為奇函數(shù)，f(g(x)為偶函數(shù)；為減函數(shù)；若函數(shù)y f (x)在某一范圍內恒為正值或恒為負值，則的單調區(qū)間上的單調性相反；y f(x)與y1f(x)在相同g(x)3定義域關于原點對稱的函數(shù)可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和的形式。函數(shù)按奇偶性分類奇函數(shù)非偶函數(shù)，偶函數(shù)非奇函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，非奇非偶函數(shù)。點評既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個。如f(x) 0定義域關于原點對稱即可。如函數(shù)f(x)=.1 x2x21。3.3.周期性函數(shù)的周期性是研究一些函數(shù)圖象在

9、定義域內具有某種一定的周期變化規(guī)律；函數(shù)周期性的定義一般地，對于函數(shù)f (x)，如果存在一個 _的常數(shù)T，使得定義域內的 _x值，都滿足f(x T) _，那么函數(shù)f(x)稱為周期函數(shù)， _常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。如果一個周期函數(shù)f (x)的所有的周期中存在一個 _ 的 數(shù)，那么這個數(shù)叫做函數(shù)f (x)的最小周期正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。點評 非零常數(shù)T是周期函數(shù)本身固有的性質，與自變量x的取值無關；若非零常數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期，則非零常數(shù)T的非零整數(shù)倍(nT,n Z,且n 0)也是函數(shù)f(x)的周期；若函數(shù)f(x)的周期為T，則函數(shù)yAf( x )(其中A，為常數(shù)

10、，且A 0，0)的周期為T:定義中的等式f(x T) f (x)是恒等式；| |函數(shù)f (x)的周期是Tf (x T) f (x)o三角函數(shù)的周期y sin x: T 2:y cosx:T 2；y tan x: T；y Asin( x2),y Acos( x): T-；y tan x : T| | |函數(shù)周期的判定1 1 1定義法(試值)圖像法 公式法(利用(2 2 )中結論)結論法。與周期有關的一些結論1f (x a) f(x a)或f (x 2a) f (x)(a0) f(x)的周期為2a；2f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關于直線x a對稱f(x)的周期為2|a|；3f(x)奇函數(shù)，其圖像又關

11、于直線x a對稱f (x)的周期為4|a|；4f(x)關于點(a,0), ,(b,0) (a b)對稱f(x)的周期為2| a b|；5f(x)的圖象關于直線x a, ,x b(a b)對稱 函數(shù)f(x)的周期為2| a b|；f (x)的圖象關于點(a,0)中心對稱，直線x b軸對稱7f(x)對x R時，f(x a) f (x)或f(x a)f (x)的周期為2|a|；f (x)8函數(shù)f(x)滿足f(x a)1 f (x)，且a為非零常數(shù)f(x)的周期為4|a|；1 f(x)9函數(shù)f(x)滿足fx2a f x a f x(a為非零常數(shù))f (x)的周期6|a|。點評 注意對稱性與周期性的關系

12、。4.4.對稱性函數(shù)的對稱性是研究函數(shù)圖象的結構特點(即函數(shù)圖象關于某一點成中心對稱圖形或關 于某一條直線成軸對稱圖形)；函數(shù)對稱性的定義如果函數(shù)y f (x)的圖象關于直線x a成_對稱或點(a,b)成_ 對稱，那么f (x)周期為 4 4a b；y f (x)具有對稱性。注意利用函數(shù)的對稱性可以把研究整個函數(shù)問題轉化到一半?yún)^(qū)間上，簡化問題。 函數(shù)圖象對稱性的證明證明函數(shù)y f(x)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對 稱點仍在圖像上；與對稱性性有關的一些結論1函數(shù)y f(x)的圖象關于直線x a成軸對稱f(a x) f (a x)。特別地，當a 0時，函數(shù)y f (x

13、)為偶函數(shù)。2函數(shù)y f(x)的圖象關于點(a, b)成中心對稱f(a x) f (a x) 2b。特別地，當a 0且b 0時，函數(shù)yf (x)為奇函數(shù)。點評函數(shù)奇偶性是函數(shù)對稱性的特殊情況。3若y f (x)對x R時，f(a x) f (b x)恒成立，則y f(x)圖像關于直線a bx一-對稱；2k4函數(shù)y b k 0的圖象關于點a，b中心對稱。x a5.5.有界性函數(shù)的有界性是研究函數(shù)圖象在平面直角坐標系中的上下界情況，重點是通過研究函數(shù) 的最大(小)值(值域)來研究有界性問題。函數(shù)最大(小)值的定義一般地，設函數(shù)y f (x)的定義域為A.如果存在x0A，使得對于 _ 的x A,都有

14、f(x)_ f (xo)，那么稱f(Xo)為y f (x)的最大值，記為 _ ；如果存在X。A，使得對于 _的x A，都有f (x)_ f (xo)，那么稱f (xo)為y f (x)的最小值，記為_. .注意 函數(shù)最大(小)值應該是某一個函數(shù)值；函數(shù)最大(小)值應該是所有函數(shù)值 中最大(小)的，最大(小)值不同于極大(小)值。值域與最值f (x)最大值, ,不等式a f (x)恒成立a f (x)最小值。6.6.極值函數(shù)的極值是研究函數(shù)在其定義域內的某一局部上的性質。這與函數(shù)的最值所研究的問 題角度有所不同。極值的定義設函數(shù)y f (x)在x X。及其附近有定義，如果f(x。)的值比X。附近

15、的所有各點的函數(shù) 值都大(小)，則稱f (x0)是函數(shù)y f (x)的一個極大(小)值。極大值和極小值統(tǒng)稱為極 值。取得極值的點稱為函數(shù)的極值點，極值點是自變量的取值，極值是指函數(shù)值。極值的求法圖像法；導數(shù)法。7.7.零點與不動點注意函數(shù)的最值與函數(shù)的值域的區(qū)別和聯(lián)系, 與函數(shù)最值有關的幾個結論理解值域和最值是考察函數(shù)的有界性問題。1若函數(shù)y2若函數(shù)y3若函數(shù)yymaxf (C)；4若函數(shù)yyminf (C)。恒成立問題的處理方法 恒成立問題的處理方法：分離參數(shù)法( (最值法) )；轉化為f (x)在區(qū)間a,f (x)在區(qū)間a,f (x)在區(qū)間a,b上為單調增函數(shù)，則b上為單調減函數(shù)，則ymi

16、nyminf (a),ymaxf (b)；f (b),ymaxf (a)；b上為單調減函數(shù)，則C,c上為單調減函數(shù)，在區(qū)間c,b上為單調增函數(shù)，則元二次方程根的分布問題。a如：方程k f (x)有解k D( (D為f (x)的值域) )：不等式a f (x)恒成立7.17.1 函數(shù)的零點定義 一般地，我們把使函數(shù)y f (x)的值為_ 的實數(shù)x稱為函數(shù)y f (x)的零占八、-點評函數(shù)y f(x)的零點就是方程f(x) 0的實數(shù)根。從圖象上看，函數(shù)y f(x)的零點，就是它的圖象與x軸交點的橫坐標。禾U用函數(shù)的零點、方程的根、函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標這三者之間的聯(lián)系， 可以解決很多函數(shù)與方程的問題。 這就是高考的熱點內容函 數(shù)與方程的思想運用。函數(shù)零點的存在性一般地，若函數(shù)y f (x)在區(qū)間a, b上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，且f(a)f (b) _，則至少存在一個實數(shù)c (a, b)，使得f (c) 0,此時實數(shù)c為函數(shù)y f(x)的零點. .點評若函數(shù)y f (x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)不間斷的單調曲線，且f(a) f (b) 0 0，則有惟一的實數(shù)c (a, b)，使得f(c) 0。7.27.2不動點方程f(x) x的根叫做函數(shù)y f (x)的不動點，也是函數(shù)y f(x) x的零點。7.37