振動理論課后答案

1、僅供個人參考For personal use only in study and xesearch; not for conunercial usel-“?一個物體放在水平臺面上，當(dāng)臺面沿鉛垂方向作頻率為5 Hz的簡諧振 動時，要使物體不跳離平臺，對臺面的振幅應(yīng)有何限制？解：物體與桌面保持相同的運動，知桌面的運動為x = J.sin Qfi x =sin 他EsmlOjrt?。= = _(L01T)2 sm 10 叭由物體的受力分析，N?=0 (極限狀態(tài))物體不跳離平臺的條件為:? 1 1- :2-C既有?？ g j vj_= 9.9 3 nunW衛(wèi)(io訐蘭呂,(1詢由題意可知 = 5Hz,

2、得到0 = 2加=10兀，1-2M有一作簡諧振動的物體，它通過距離平衡位置為小二及勺=10cm 時的速度分別為vi = 20 cnVs及求其振動周期、振幅和最大速度。解：設(shè)該簡諧振動的方程為x二兒鎖加+：乙恥cos十町二式平方和為將數(shù)據(jù)代入上式：12+(-)2 4= jlL+(3)2聯(lián)立求解得CZJ= Vn2/ = 2.12 .2吩=2.964A=10.69cm：/于1/s： 7= s當(dāng) = 0時，V取最人，即：得：= 22.63m/s答：振動周期為2.964s：振幅為10.69cm；最人速度為22.63m/s。1-3?個機(jī)器內(nèi)某零件的振動規(guī)律為04如血+ 0.%os砒，*的單位是 cm, 0

3、 = 10兀1/s?。這個振動是否為簡諧振動?試求它的振幅、最大速度及最大加 速度，并用旋轉(zhuǎn)矢量表示這三者之間的關(guān)系。解：?產(chǎn) 0.583(cos30.95sin cz)2 + sin 30.95coscf)99999999= 0.583sin (cf +30.95)?振幅 A=0.583999999z = 0.583sin (砒+ 120.9 了口)?x = 0.583(32 sin (dJf +120.95)?最人速度?也=0 583 ca = 18.3cm； s?最人加速度？益曲=0-583d2 = 574.6 cm2/s1-4某儀器的振動規(guī)律為x二血血型+ %如3曲。此振動是否為簡諧振

4、動? 試用x-?t坐標(biāo)畫出運動圖。解：因為3=3 32=33,3工3?.又因為T1 =2兀/ 3 ?丁2=2兀/3 3 ,所以，合成運動為 周期為*211/33的非簡諧運動。兩個不同頻率的簡諧振動合成不是簡諧振動，當(dāng)頻率比為 有理數(shù)時，町合稱為周期振動，合成振動的周期是兩個簡諧振動周期的最小公倍數(shù)。1-5已知以復(fù)數(shù)表示的兩個簡諧振動分別為鬼兔和力I丿，試求它們的合 成的復(fù)數(shù)表示式，并寫出其實部與虛部。解：？兩簡諧振動分別為0 ,32 ,則：滬=3cos5 漲 t+3isin5 兀 t,7T7T畑占)$=5cos(5 兀 t+ 2 )+3isin(5 兀 t+ 2 )或兀=$幻 + 3訂冋：x

5、= H弄如) 其合成振幅為：衛(wèi)二后+寧=妬5其合成振動頻率為5叭，初相位為：=arctan3則他們的合成振動為： 屈 皿叫？實部：Jcos(5Xt+?aictan亍)5?虛部： sin(5 咒t+?aictaii 3)Ift 1-6圖1-6將題1-6圖的三角波展為傅里葉級數(shù)。 解：三角波一個周期內(nèi)函數(shù)可表示為池)-/-l由式得27T=0) T石2 jJ0 = J x()cZ/ = J (-t +1)必 + J (Z - V)dt = 1Q99999999999?7V2卩 =J x(f) cos丁 b i-7 圖2 jd) r d)COS 總込皿 +(f 一 1) COS ?2(衣=天天a2 T

6、 二一J x(f) sin T o= (-/ +1) sin 雀d + I ( f 一 1) sin nG)ddt = 07F J 7V開:開w?n=l,于是，得x(t)的傅氏級數(shù)1-7將題1-7圖的鋸齒波展為傅氏級數(shù)，并畫出頻譜圖。 解：鋸齒波一個周期內(nèi)函數(shù)p?(t)可表示為2, 30 i 7979?27T2tt2tt=atT由式得.開999992jm? ?2 f 1 1=1 P(f) sin n(&ddt = t sin n(&.tdi =- T Q7T J 2tt7T2s9797979?9?9?9?9?9?9?9?9?9?9?9?9979797979797979?979?9?979?9?

7、9?9n= , 2,3于是，得x（t）的傅氏級數(shù)4二屈+圧二丄 tan%二護(hù)=0M汀，？圧1-8將題1-8圖的三角波展為復(fù)數(shù)傅氏級數(shù)，并畫出頻譜圖。99999T4 4一込如2幾（上丄）T M74 羊+2丘T阻嚀T3(-44?op平均值為099999(1=09797?2f-TCOS左觀必一#7EF 4p =一 一L4 sin 刃加 +dsn nait9794T T4爲(wèi)4P d COS 73(3 - 畀 d COS23f nTV 4蚪 2jtsin co s12Tm T +隅 f1將簽？?$?（弋入整理得卜人參考總4垃nn如?花rn nZ1-9求題1-9圖的矩形脈沖的頻譜函數(shù)及畫頻譜圖形。 解：町

8、表示為由于得：即：ii(r求題l-io圖的半正弦波的頻譜函數(shù)并畫頻譜圖形。P(f)= 解：I?79?9?99?2兀? 一頻譜函數(shù):12$.G(e)= j%-血血01疣.=Po sin 2fQt (cos 刃才-jsin ocos_ 22X +12慣+ Q_1_.20 -=2 對qPq?9/(2)2 -心 + sin(2疏-小卜jcm(2況7cos(2 歡 +旳一cos(2o-2磯_ G-sin(2 -sin(2 奶 +時+ Q 1川、Q(6)CU77- jsrn+ -7召r COS-cos(2或+ 脅-jsin2.1 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面作自由振動，如圖T 2所示。己知，a = 30 ,加

9、=1 kg, k = 49N/cm,開始運動時彈簧無伸長，速度為零，求系統(tǒng)的運動規(guī)律。圖 T2-1解:lx9.8xl十，兀=汽=烏=性巴=70ad/sx = xQ coscont = -0.1 cos70f cm2.1圖E2.2所示系統(tǒng)中，已知加，c, k“化和血。求系統(tǒng)動力學(xué)方程和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。圖E2.1答案圖E2.1(a)答案圖E2.1(b)解：等價于分別為冊和耳的響應(yīng)之和。先考慮忑，此時右端固結(jié)，系統(tǒng)等價為圖(a),受力為圖(b),故：mx + cx + kx=siii coY + c/p cos /(1)c = q + u , k = & + k, a)n =人-人in(1)的解可參照釋義

10、(2.56),為：巾)=YA sin(/-q) + qAco如-q)(2)k J(l s*+(2財k 亂1一町 +(2肘其中：s亠洋1-廠故(2)為：考慮到兀(/)的影響，則疊加后的X(f)為：2.2如圖T 2-2所示，重物叫懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物, 從高度為h處自由卞落到上而無彈跳。求世下降的最大距離和兩物體碰撞后的運動規(guī) 律。平衡位置X答案圖T2-2解:I IV5產(chǎn)v2=lgh動量守恒:平衡位置:r叱 + w,故:故:2.4在圖E2.4所示系統(tǒng)中，已知皿k-尸。和血，初始時物塊靜止且兩彈簧均為原長。求物塊運動規(guī)律。A1 卜 ki 解:圖 E2.4答案圖E2.4取坐

11、標(biāo)軸兀和兀,對連接點A列平衡方程:即:(人 + kjX = k2x2 + 化 sin 曲(1)對川列運動微分方程: 即：(2)由(1), (2)消去呂得:mx. + 舉=上*-sin 刖(3)故：由(3)得:2.5在圖E2.3所示系統(tǒng)中，己知皿c, k,化和血，且/=0時，x = x0, x = v0,求系統(tǒng)響應(yīng)。驗證系統(tǒng)響應(yīng)為對初值的響應(yīng)和零初值卞對激勵力響應(yīng)的疊加。圖 E2.3解：15求出C, D后，代入上面第一個方程即可得。2.7求圖T 2-7中系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點的剛度分別是人及人，懸臂梁的質(zhì)量忽略不計。質(zhì) 無3圖T2-7答案圖T2-7解：k k人和h為串聯(lián)，等效剛度為：=（因為

12、總變形為求和）R口和心為并聯(lián)（因為人三的變形等于心的變形），則：R口和忍為串聯(lián)（因為總變形為求和），故：故：2.7由一對帶偏心質(zhì)量的等速反向旋轉(zhuǎn)齒輪構(gòu)成的振動機(jī)械安裝在彈簧和阻尼器構(gòu)成 的支承上，如圖E2.7所示。當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動角速度為血時，偏心質(zhì)量慣性力在垂直方向人小為me ar sin cot 己知偏心重W= 125.5 N,偏心距e = 15.0 cm,支承彈簧總剛度系數(shù)k = 967.7N/cm,測得垂直方向共振振幅X,” =1.07cm ,遠(yuǎn)離共振時垂直振幅趨近常值X。= 0.32紉?。求支承阻尼器的阻尼比及在 = 300r/niui運行時機(jī)器的垂直振幅。圖 E2.7me77解:0 =

13、1/sin 伽 _ 0)J(l-F)2 +(2 肘尸1時共振，振幅為:遠(yuǎn)離共振點時，振幅為:v trie 11 zX.=1.07 cm1 MX. = = 032cm -M(1)(2)由(1)= = ariKxi,等號兩邊再左乘KM1JJJKMlKMlKx;=簡耐農(nóng)丘，等號兩邊左乘兀丁xKMlKxj = 當(dāng)& j 時重復(fù)”次得到：Kxf =,等號兩邊左乘MK1故：MX, = arMKiMxi ,等號兩邊左乘球x1iMxj =年 MKiM)c) = 0 ,當(dāng) if j 時即x： Mx t = 0 ,當(dāng)i工j時重復(fù)運算：xMK iMxi = a）jxMKlMxj = 0,當(dāng) i 工 j 時重復(fù)次。5

14、.1質(zhì)量加、長、抗彎剛度E/的均勻懸臂梁基頻為3.515（E/n/3/2,在梁自由端放置 集中質(zhì)量小用鄧克利法計算橫向振動的基頻。解：3m1/45.2不計質(zhì)量的梁上有三個集中質(zhì)量，如圖E5.2所示。用鄧克利法計算橫向振動的基 頻。mm=00=1/4 1/41/4圖 E5.2解： 當(dāng)系統(tǒng)中三個集中質(zhì)量分別單獨存在時：f _9（/4）3 _ _ 16（1/ _9（/4）3711 - Y1EI 12 / * 幾一 12 7圖 E5.35.3在圖E5.3所示系統(tǒng)中，已知川和也用瑞利法計算系統(tǒng)的基頻。解：近似選取假設(shè)模態(tài)為：系統(tǒng)的質(zhì)量陣和剛度陣分別為：3k -2k0M = diag(m 2tn tn),

15、 K = -2k 3k -k 0 -k k由瑞利商公式：5.9在圖E59所示系統(tǒng)中，已知R和人用傳遞矩陣法計算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)。(1)圖 E5.9J/2解：兩端邊界條件為:固定端:,自由端：xf =RT1Tr0由自由端邊界條件得頻率方程:代入各單元狀態(tài)變量的第一元素，即： 得到模態(tài)：0山=1 1.414，0=1 -1.4147,2)o用傳遞矩5.10在圖E5.10所示系統(tǒng)中，已知G/p,(i=l,2),厶(d=l,2)和川=1 陣法計算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)。解:兩自由端的邊界條件為：Xt =L丁，x,=eRTT10Tr0圖 E5.10J1G/piGIP2J2=/i rJ T其中：人=相=由

16、自由端邊界條件得頻率方程:-co2J2 = 0 = = 0 , co216護(hù)（人+匚）彳丿4（0 +/J代入各單元狀態(tài)變量的第一元素，即: 得到模態(tài)：0 =1 17 ,嚴(yán)=1511在圖E5.ll所示系統(tǒng)中懸臂梁質(zhì)量不計，八/和口已知。用傳遞矩陣法計算系統(tǒng) 的固有頻率。g|E5.11解：引入無量綱量:y詔，叼旦兀=巫，社四/El s ElEI定義無量綱的狀態(tài)變量：邊界條件：左端固結(jié)：xf = o o M 尺，右端自由：xf = y e o of根據(jù)傳遞矩陣法，有:其中點傳遞矩陣和場傳遞矩陣分別為:1 0 0 0_ 11112 60 10 0，S：=0 11-0 0 100 0 112 0 0 1

17、10 0 0 1得：利用此齊次線性代數(shù)方程的非零解條件導(dǎo)出本征方程:5.12在圖E5.12所示系統(tǒng)中梁質(zhì)量不計皿、/和EI已知，支承彈簧剛度系數(shù)k = 6E/P0用傳遞矩陣法計算系統(tǒng)的固有頻率。(0)(0.5)圖 E5.12解：引入無量綱量:定義無量綱的狀態(tài)變量：邊界條件：左端較支：xf = o 0 o Fs右端自由：= o o of根據(jù)傳遞矩陣法，有:在支承彈簧處：X：5 =A+注意到上式中&為桿左端的轉(zhuǎn)角，故在支承彈簧處的位移為： 因此有：6.3圖E6.3所示階梯桿系統(tǒng)中已知加，p, S, E和h求縱向振動的頻率方程。解：模態(tài)函數(shù)的一般形式為:題設(shè)邊界條件為：M（v）=o, ES處少=訥辿

18、LknQQdxdr邊界條件可化作：0(0)=0 , ES(/) = mark(/)(l)導(dǎo)出C： = 0及頻率方程:6.4長為/、密度為小抗扭剛度為G/卩的的等直圓軸一端有轉(zhuǎn)動慣量為丿的圓盤，另一端連接抗扭剛度為k的彈簧,如圖E6.4所示。求系統(tǒng)扭振的頻率方程。解：模態(tài)函數(shù)的一般形式為：題設(shè)邊界條件為：血一摯，皿一叫)dxdrdx邊界條件可化作：G/,“(O)=仏哦0), GIpl) = -kl)以上兩式聯(lián)立消去G和G得頻率方程:6.5長為/、單位長度質(zhì)量為刃的弦左端固定，右端連接在一質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的物塊上， 如圖E6.5所示。物塊質(zhì)量為加，彈簧剛度系數(shù)為靜平衡位置在y=0處。弦線微幅振動, 弦內(nèi)張力F保持不變，求弦橫向振動的頻率方程。解：模態(tài)函數(shù)的一般形式為：題設(shè)邊界條件為：畑)“，尸纓a”勢一燈們)dxdr邊界條件可化作：加0)=0 , F0Q) = m卅一 k機(jī))導(dǎo)出C： = 0及頻率方程:tancol _ Feo a a(ina)2 -k)其中d =僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and research； not for commercial use.Nur fur den person lichen fur Studi