彈性力學與有限單元法試卷1

1、 至學年第學期出卷教師： 王建偉 適應班級：土木10級考試方式：開卷報告形式 本試卷分數(shù)考試占總評成績的 80%姓名： 悅敢超 學號：201048040603第一題：以平面應力彈性力學問題為例，說明彈性力學的所研究問題的數(shù)學模型，并簡單導出彈性力學位移法與應力法的數(shù)學模型。（20分）第二題：采用半逆解法求解下面薄壁梁（其參數(shù)為厚度t ，高度h ，彈性模量E ，泊松比等）的變形后的應力、應變和位移？（20分） 第三題：以平面應力彈性力學問題為例說明最小位能原理（能量法泛函極值）對問題的描述完全等價于第一題中的位移法描述（微分形式）。（20分）第四題：說明有限單元法的基本思想與基本步驟。要求：必須

2、準確說明采用有限元法解題的每一步（不必計算），如你認為有必要，可以結(jié)合例子說明。（20分）第五題（上網(wǎng)查資料）談一談你對有限元法的認識，說明有限單元法在工程上的應用，并舉出兩個以上的你有興趣的工程實例。說明今后有限元法的發(fā)展趨勢與方向。（20分）報告要求：1、報告中需圖形表述的可以借用講義中的圖形，如果無法找到合適圖形，可手繪于標準打印紙上，注意標注清晰。除圖形外所有文字與公式必須打印。如不滿足上述要求，無成績處理。2、考勤不符合要求者，無成績處理。3、交報告時將此試卷作為報告首頁（填寫姓名與學號），其它報告內(nèi)容按順序裝訂后提交。一、解：平面應力彈性問題的數(shù)學模型，就是8個方程應力邊界條件和位

3、移邊界條件，目標是求解8個未知（場）函數(shù)。位移法 二、解：（1）應力函數(shù) （2）求應力幾何方程物理方程（3）求應變 四、解：有限單元法的思想就是先對位能泛函做離散近似，然后在變分求得位移解。位移有限元法最重要就是要建立Ka=P這個有限元方程（本質(zhì)為2n 個線性代入方程，后引入Su 條件求解即可），因而K和P的結(jié)成是關鍵。 具體解題步驟如下： 1單元剖分 把連續(xù)彈性體分割成許多個有限大小的單元，并為單元和節(jié)點編號。 2單元特征分析 以節(jié)點位移e 為基本未知量，設選一個單元位移函數(shù)，之后：（1）用節(jié)點位移表示單元位移，f=N e。（2）通過幾何方程用節(jié)點位移表示單元應變，=B e。 （3）通過物理

4、方程用節(jié)點位移表示單元應力，=G e。（4）通過虛功方程用節(jié)點位移表示節(jié)點力，F(xiàn)e=K ee，得出單元剛度矩陣。3總體結(jié)構(gòu)合成（1）分析整理各單元剛度矩陣，通過節(jié)點的平衡方程形成節(jié)點載荷列陣、合成總體剛度矩陣，建立以節(jié)點位移為未知量的、以總體剛度矩陣為系數(shù)的線性代數(shù)方程：K =F。 （2）對線性代數(shù)方程組進行邊界條件處理，求解節(jié)點位移。進而由=G e可求得單元應力。五、解：有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的求解微分方程的計算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎發(fā)展起來的，所以它廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值

5、問題有著緊密的聯(lián)系）。其基本思想是由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題?；驹硎菍⑦B續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內(nèi)假設的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)及其導數(shù)在單元各節(jié)點的數(shù)值插值函數(shù)來表達，從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。巖土工程應用巖 土 工 程 較 為 復 雜， 這 一 方 面 是 因 為 巖 土 材 料 力 學 特 性 復 雜， 另 一方 面 也 因 為 地 質(zhì) 結(jié) 構(gòu) 復 雜， 且 具 隱 蔽 性， 無 法 完 全 勘 測， 從 而 導 致 巖 土 工 程 對 經(jīng) 驗 的 依 賴 性 非 常 強。

6、 盡 管 如 此， 有 限 元 法 在 巖 土 工 程 中 也 得 到 了 普 遍 的 應 用， 發(fā) 揮 的 作 用 越 來 越 大。 有 限 元 法 較 適 合 分 析 連 續(xù) 介 質(zhì) 的 力 學 問 題， 而 巖 體 類 材 料 屬 不 連 續(xù) 介 質(zhì)， 其 中 存 在 斷 層 和 眾 多 的 結(jié) 構(gòu) 面。 對 此 類 問 題， 人 們 提 出 了 一 些 特 殊 單 元 來 模 擬 它 們， 如 薄 層 單 元、Goodman 單 元 等， 較 好 地 解 決 了 這 一 問 題， 使 有 限 元 法 可 以 成 功 地 應 用 到 巖 土 工 程 中， 為 巖 土 工 程 的 設 計

7、和 施 工 提 供 了 很 好 的 理 論 分 析 方 法 和 計 算 手 段。再 如 在 地 下 工 程 中， 通 過 線 性 或 非 線 性 有 限 元 法 對 圍 巖 進 行 結(jié) 構(gòu) 分 析， 可 以 預 測 地 下 洞 室 開 挖 后， 圍 巖 的 變 形、 應 力 重 分 布 情 況 及 洞 室 的 穩(wěn) 定 性， 為 地 下 洞 室 的 可 行 性 研 究 提 供 理 論 根 據(jù)。 有 限 元 法 與 大 變 形、 流 變 和 損 傷 等 理 論 相 結(jié) 合， 還 可 研 究 洞 室 的 長 期 穩(wěn) 定 性、 破 壞 規(guī) 律 和 過 程， 為 經(jīng) 濟、 科 學 地 設 計 有 效 支

8、 護 形 式 和 分 析 加 固 效 果 提 供 可 靠 參 數(shù)。 在 邊 坡、 土 壩 和 地 基 等 工 程 的 研 究 過 程 中 也 較 多 使 用 了 有 限 單 元 法， 用 來 分 析 在 荷 載 作 用 下 的 變 形、 穩(wěn) 定 和 加 固 等 問 題。 如 在 邊 坡 的 開 挖 過 程 中， 穩(wěn) 定 性 致 關 重 要。 過 去 由 于 受 計 算 手 段 的 限 制， 常 采 用 剛 體 極 限 平 衡 法， 往 往 過 于 保 守。 采 用 非 線 性 有 限 元 法 后， 可 以 分 析 整 個 邊坡 的 變 形 狀 態(tài)， 確 定 危 險 的 區(qū) 域 或 巖 塊， 找

9、 出 可 能 的 滑 動 面， 計 算 相 應 的 穩(wěn) 定 安 全 系 數(shù)， 還 可 分 析 加 固 效 果 和 施 工 程 序 對 穩(wěn) 定 性 的 影 響。 由 于 巖 土 類 材 料 力 學 參 數(shù) 的 隨 機 性 和 地 質(zhì) 結(jié) 構(gòu) 的 不 確 定 性， 人 們 在 有 限 元 法 中 引 進 了 概 率 理 論， 產(chǎn) 生 了 隨 機 有 限 元 法， 其 結(jié) 果 更 具 參 考 價 值。有 限 元 法 在 求 解 具 體 問 題 時， 首 先 要 形 成 所 謂 的 網(wǎng) 格 信 息。 對 于 連 續(xù) 介 質(zhì) 和 比 較 規(guī) 則 的 區(qū) 域， 目 前 的 有 限 元 法 軟 件 都 能

10、較 方 便 地 自 動 生 成 網(wǎng) 格 和 坐 標 信 息。 對 于 巖 體 這 類 不 連 續(xù) 介 質(zhì) 材 料， 其 眾 多 的 結(jié) 構(gòu) 面 對 網(wǎng) 格 的 生 成 帶 來 了 很 大 的 麻 煩。 而 這 些 地 質(zhì) 結(jié) 構(gòu) 面 對 巖 體 的 力 學 性 能 有 直 接 的 影 響， 在 利 用 有 限 元 法 進 行 分 析 時 必 須 加 以 模 擬。 如 何 根 據(jù) 地 質(zhì) 信 息， 由 計 算 機 自 動 形 成 網(wǎng) 格， 這 方 面 工 作 還 值 得 研 究。 為 避 免 上 述 困 難， 已 經(jīng) 有 些 學 者 提 出 了 一 些 新 的 數(shù) 值 分 析 方 法， 如 塊

11、體 單 元 法、DDA 和 無 單 元 網(wǎng) 格 法 等。機械工程應用有限元技術的出現(xiàn)為機械工程結(jié)構(gòu)的設計、制造提供了強有力的工具，它可以解決許多以往手工計算根本無法解決的問題，為企業(yè)帶來巨大的經(jīng)濟效益和社會效益。在現(xiàn)代機械工業(yè)中要設計生產(chǎn)出性能優(yōu)越、可靠的機械產(chǎn)品，不應用計算及進行輔助設計分析是根本無法實現(xiàn)的，因此目前各生產(chǎn)設計部門都非常重視在設計制造過程中采用先進的計算機技術。近年來，國內(nèi)外許多學者對機械零部件的有限元分析進行了大量的研究，歸納起來主要是以下幾個方面：a 靜力學分析。當作用在結(jié)構(gòu)上的載荷不隨時間變化或隨時間的變化十分緩慢，應進行靜力學分析。這是對機械結(jié)構(gòu)受力后的應力、應變和變

12、形的分析，是有限元法在機械工程中最基本、最常用的分析類型。 b 動力學分析。機械零部件在工作時不僅受到靜載荷作用，當外界有與其固有頻率相近的激勵時，還會引起共振，嚴重破壞結(jié)構(gòu)從而引起失效。故零部件在結(jié)構(gòu)設計時，對復雜結(jié)構(gòu)，在滿足靜態(tài)剛度要求條件下，要檢驗動態(tài)剛度。C 熱應力分析。這類分析用于研究結(jié)構(gòu)的工作溫度不等于安裝溫度時或工作時結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在溫度分布時，結(jié)構(gòu)內(nèi)部的溫度應力。d 接觸分析。接觸分析用于分析兩個結(jié)構(gòu)物發(fā)生接觸時的接觸面狀態(tài)、法向力等。由干機械結(jié)構(gòu)中結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)間力的傳遞均是通過接觸來實現(xiàn)的，所以有限元法在機械結(jié)構(gòu)中的應用很多都是接觸分析。 這是一種非線性分析， 以前受計算能力的制約

13、， 接觸分析應用的較少。 e 屈 曲分析。 這是一種幾何非線性分析，用于確定結(jié)構(gòu)開始變得不穩(wěn)定時的臨界載荷 和屈曲模態(tài)形狀，例如壓桿穩(wěn)定性問題。 有限元法最初應用在求解結(jié)構(gòu)的平面問題， 發(fā)展至今已由二維問題擴展到三 維問題、板殼問題，由單一物理場的求解擴展到多物理場的耦合，由靜力學問題 擴展到動力學問題、穩(wěn)定性問題，由結(jié)構(gòu)力學擴展到流體力學、電磁學、傳熱學 等學科，由線性問題擴展到非線性問題，由彈性材料擴展到彈塑性、塑性、黏彈 性、黏塑性和復合材料，從航空技術領域擴展到航天、土木建筑、機械制造、水 利工程、 造船、 電子技術及原子能等， 其應用的深度和廣度都得到了極大的拓展。 有限元法的發(fā)展過程是與計算機技術的發(fā)展緊密相聯(lián)的。只有計算機技術高度 發(fā)展以后，有限元法才得到廣泛的應用。一個復雜的問題的求解，過去用小型機 花費幾天才能得到結(jié)果， 現(xiàn)在用PC機幾個小時就能完成同樣的工作。商業(yè)有限元 軟件也由只能在大中型計算機