單倒置擺控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間建模及MATLAB仿真

1、單倒置擺控制系統(tǒng)的建模及MATLAB仿真背景：?jiǎn)蔚怪脭[系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)給系統(tǒng)施加外力時(shí)，倒置擺向左或向右傾倒，影響系統(tǒng)穩(wěn)定，同時(shí)單倒置擺系統(tǒng)典型的高階次、多變量、嚴(yán)重不穩(wěn)定和強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)。本文通過(guò)建立單倒置擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 , 應(yīng)用狀態(tài)反饋控制配置系統(tǒng)極點(diǎn)設(shè)計(jì)單倒置擺系統(tǒng)的控制器, 實(shí)現(xiàn)其狀態(tài)反饋 , 從而使單倒置擺系統(tǒng)穩(wěn)定工作。再通過(guò) MATLAB軟件中 Simulink 工具對(duì)單倒置擺的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真。首先分別用經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的知識(shí)推導(dǎo)了單倒置擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；其次分別使用模糊控制理論、 狀態(tài)空間法、模糊控制等方法對(duì)單級(jí)單倒置擺系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)際系統(tǒng)實(shí)時(shí)控制效果的

2、實(shí)驗(yàn)對(duì)比, 從理論和實(shí)驗(yàn)方法上討論了這類典型非線性自不穩(wěn)定系統(tǒng)的線性控制器的設(shè)計(jì)方法及其實(shí)際控制效果的特點(diǎn)；最后提出了單倒置擺控制系統(tǒng)各部分選型及實(shí)現(xiàn)方案, 設(shè)計(jì)了單倒置擺系統(tǒng)的機(jī)械構(gòu)。問(wèn)題：本文就當(dāng)?shù)怪脭[無(wú)論出現(xiàn)向左或向右傾倒時(shí)，通過(guò)控制直流電動(dòng)機(jī)，使小車在水平方向運(yùn)動(dòng)，倒置擺能否保持在垂直位置上為問(wèn)題進(jìn)行研究。以此問(wèn)題為核心，就單倒置擺系統(tǒng)進(jìn)行分析和研究, 建立單倒置擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 , 采用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的方法設(shè)計(jì)控制器, 并應(yīng)用 MATLAB軟件進(jìn)行仿真。論述：一、單倒置擺系統(tǒng)的建模1. 系統(tǒng)的物理模型如圖 1 所示 , 設(shè)擺的長(zhǎng)度為L(zhǎng)、質(zhì)量為m，用鉸鏈安裝在質(zhì)量為 M的小車上。小車

3、由一臺(tái)直流電動(dòng)機(jī)拖動(dòng)，在水平方向?qū)π≤囀┘涌刂屏=u, 相對(duì)參考系產(chǎn)生位移x=z. 若不給小車施加控制力，則倒置擺會(huì)向左或向右傾倒。這樣，整個(gè)單倒置擺系統(tǒng)就受到重力圖 1，水平控制力和摩擦力的3 個(gè)外力的共同作用。2. 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中，忽略擺桿質(zhì)量、執(zhí)行電動(dòng)機(jī)慣性以及擺軸、輪軸=輪與接觸面之間的摩擦及風(fēng)力。設(shè)小車瞬時(shí)位置為x=z, 倒置擺出現(xiàn)的偏角為，則擺心瞬時(shí)位置為（z+lsin）。在控制力u 作用下，小車及擺均產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)。根據(jù)牛頓第二定律，在水平直線運(yùn)動(dòng)方向的慣性力應(yīng)與控制力u 平衡，求得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：d 2 zdMdt2m dt22( zl sin)u即 (M m

4、)z ml cos ml 2 sin u（1）由于繞擺軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的慣性力矩應(yīng)與重力矩平衡，因而有m d dt22( zsin)l cosmglsin即z cosl cos 2l sin cosg sin（ 2）方程（ 1），（ 2）是非線性方程，由于控制的目的是保持單倒置擺直立，因此，在施加合適u 的條件下，可認(rèn)為 均接近零，此時(shí) ， ，且可忽略項(xiàng)，于是得到倒置擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：( Mm) zmlu（ 3）z lg（ 4）聯(lián)立求解式（3）、（4），可得zmg1u（ 5）MM( Mm )1u（6）MlgMl消去中間變量，可得到輸入量為u、輸出量為z 的微分方程為z 4( Mm ) gz1ugu（

5、7）MlMMl3. 系統(tǒng)的狀態(tài)方程選取小車的位移z 及其速度、擺的角位置及其角速度作為狀態(tài)變量， z 為輸出變量，并考慮d z z ，ddt，以及式（ 5）、（6）、（ 7），則一級(jí)單倒置擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：dt0100000mg01MMux0 01 x（ 8a）0000( M m)g01MlMly100 0 x(8b)式中xzzT為方便研究，假定系統(tǒng)的參數(shù) M=1kg,m=0.1kg,l=1m, g9.81m / s2, 則系統(tǒng)狀態(tài)方程中參數(shù)矩陣為：0100000101100 0（9）A00, b， c010001101此時(shí)倒置擺的狀態(tài)空間模型表達(dá)式為：010000010x1x001u（ 1

6、0）00001101y1000 x其系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：圖 1單倒置擺開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖4. 被控對(duì)象特性分析1. 能控性分析根據(jù)能控性的秩判據(jù)，并將式（9）的有關(guān)數(shù)據(jù)帶入該判據(jù)，可得rank Mrank bAbA 2 bA 3b4（ 11）因此，單倒置擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是可控的。換句話說(shuō)， 這意味著總存在一控制作用u, 將非零狀態(tài)x 轉(zhuǎn)移到零。仿真 ：代碼： A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);S=ctrb(A,b)；f=rank(S);if f=n

7、disp('系統(tǒng)能控 ')elsedisp('系統(tǒng)不能控 ')end結(jié)果截圖：系統(tǒng)能控2. 穩(wěn)定性分析由單倒置擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程，可求的其特征方程為：IA2 ( 211) 0（12）解得特征值為0,0 ，11 ，-11 。四個(gè)特征值中存在一個(gè)正根，兩個(gè)零根，這說(shuō)明單倒置擺系統(tǒng)，即被控系統(tǒng)不穩(wěn)定的。仿真 :采用 matlab 對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行仿真， 如下圖所示為倒擺沒(méi)有添加任何控制器下四個(gè)變量的單位階躍響應(yīng)。如圖可知，系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能到達(dá)控制目的。代碼：A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;

8、d=0;sys0=ss(A,b,c,d);>> t=0:5;>> y,t,x=step(sys0,t);>> subplot(2,2,1);>> plot(t,x(:,1);grid>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');>> title('z');>> subplot(2,2,2);>> plot(t,x(:,2);grid;>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)&#

9、39;);>> title('z的微分 ');>> subplot(2,2,3);>> plot(t,x(:,3);grid>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');>> title('theta')>> subplot(2,2,4);>> plot(t,x(:,4);grid>> xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');>> title('

10、theta的微分 ')結(jié)果：圖 2單倒置擺開環(huán)系統(tǒng)的個(gè)變量的階躍響應(yīng)曲線由上面兩個(gè)方面對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行分析，可知被控系統(tǒng)是具有能控性的，但是被控系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，需對(duì)被控系統(tǒng)進(jìn)行反饋綜合，使四個(gè)特征值全部位于根平面S 左半平面的適當(dāng)位置，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定工作已達(dá)到良好、靜態(tài)性能的要求。因此我們需要設(shè)計(jì)兩種控制器方案來(lái)使系統(tǒng)到達(dá)控制的目的，分別為：全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)和降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)。五 兩個(gè)方案1. 單倒置擺全狀態(tài)反饋采用全狀態(tài)反饋。取狀態(tài)變量z 、 z 、為反饋信號(hào)，狀態(tài)控制規(guī)律為uvkx（ 13）設(shè)kk0k1k2k3式中，k0 k3 分別為z 、 z 、反饋至參考輸入v的增益。則閉環(huán)

11、控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(Abk )xbv設(shè)置期望閉環(huán)極點(diǎn)為-1 ，-2 ，-1+i,-1-i由 matlab 可求得：k0 =， k1 =-1 ， k 2 =， k3 =-6如下圖畫出狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：圖 3單倒置擺全反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖仿真：代碼： A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);P_s=-1,-2,-1+i,-1-i;k=acker(A,b,P_s)A1=A-b*k;sys=ss(A1,b,c,d);t=0:5;y,t,x=step(s

12、ys,t);>> subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z');subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2);grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z的微分 ');subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title

13、('theta')subplot(2,2,4);plot(t,x(:,4);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('theta的微分 ')>> t=0:10;y,t,x=step(sys,t);subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z');subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2);grid;xlabel('

14、t(s)');ylabel('x(t)');title('z的微分 ');subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('theta')subplot(2,2,4);plot(t,x(:,4);gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('theta的微分 ')結(jié)果：k =圖 4單倒置擺全狀態(tài)反饋的階躍響應(yīng)曲線如仿真圖可知，單倒置擺的

15、全狀態(tài)反饋為穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)。觀察仿真曲線：?jiǎn)挝浑A躍的作用下，輸出變量逐漸趨于某一常數(shù)，狀態(tài)變量則是逐漸趨于0。當(dāng)參考輸入v 單位階躍時(shí)，狀態(tài)向量在單位階躍的作用下相應(yīng)逐漸趨于穩(wěn)定，這時(shí)擺桿回到原始位置（即=0），小車也保持穩(wěn)定（即z=某一常數(shù)）。如果不將4 個(gè)狀態(tài)變量全用作反饋，該系統(tǒng)則不能穩(wěn)定。方案一：全維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)為實(shí)現(xiàn)單倒置擺控制系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋，必須獲取系統(tǒng)的全部狀態(tài)，即z、 z 、的信息。因此，需要設(shè)置z、 z 、的四個(gè)傳感器。在實(shí)際的工程系統(tǒng)中往往并不是所有的狀態(tài)信息都是能檢測(cè)到的，或者，雖有些可以檢測(cè)，但也可能由于檢測(cè)裝置昂貴或安裝上的困難造成難于獲取信息，從而使?fàn)顟B(tài)反饋在實(shí)際

16、中難于實(shí)現(xiàn)，甚至不能實(shí)現(xiàn)。在這種情況下設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，解決全維狀態(tài)反饋的實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。（1）判定系統(tǒng)狀態(tài)的能觀測(cè)性將式（ 9）中的數(shù)值代入能觀測(cè)性秩判據(jù)，得：rank Nrank cTA T cT(A T ) 2 cT( A T ) 3 cT4（14）或者由 matlab 中的 obsv(A,c)命令來(lái)求秩， 可得秩為4（見(jiàn)仿真 ）?？梢?jiàn)被控系統(tǒng)的4 個(gè)狀態(tài)均是可觀測(cè)的，即意味著其狀態(tài)可由一個(gè)全維（四維）狀態(tài)觀測(cè)器給出估值。其中，全維觀測(cè)器的運(yùn)動(dòng)方程為?Gy（15）x ( AGC )x Bu式中GTg 0g 1 g 2g 3全維觀測(cè)器已G配置極點(diǎn)，決定狀態(tài)向量估計(jì)誤差衰減的速率。設(shè)置狀態(tài)觀察器

17、的期望閉環(huán)極點(diǎn)為-2 ，-3，-2+i,-2-i 。由于最靠近虛軸的希望閉環(huán)極點(diǎn)為-2 ，這意味著任一狀態(tài)變量估計(jì)值至少以e 2 t 規(guī)律衰減。由 matlab 可求的出 G：g0 =9， g1 =42， g2 =-148 ， g3 =-492根據(jù)計(jì)算值可畫出結(jié)構(gòu)圖仿真：代碼 1：A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;>> V=obsv(A,c);m=rank(V);if m=ndisp('系統(tǒng)能觀 ')elsedisp('系統(tǒng)不能觀 ')end結(jié)果 1：代碼 2：

18、A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);P_s=-1,-2,-1+i,-1-i;P_o=-2,-3,-2+i,-2-i;k=acker(A,b,P_s)g=(acker(A',c',P_o)'A1=A ,-b*k;g*c,A-b*k-g*c;b1=b;b;c1=c zeros(1,4);d1=0;sys=ss(A1,b1,c1,d1);t=0:10;y,t,x=step(sys,t);figure(1);plot(t,x

19、(:,1:4),'-');gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');figure(2);plot(t,x(:,5:8),'-');gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');figure(3)>> subplot(4,1,1); plot(t,(x(:,1)-x(:,5);grid ylabel('z'); subplot(4,1,2); plot(t,(x(:,2)-x(:,6);gridylabel('z的微分

20、 ');subplot(4,1,3);plot(t,(x(:,3)-x(:,7);gridylabel('theta');>> figure(3)>> subplot(4,1,1);>> plot(t,(x(:,1)-x(:,5);grid>> subplot(4,1,2); plot(t,(x(:,2)-x(:,6);gridylabel('z的微分 ');>> subplot(4,1,3); plot(t,(x(:,3)-x(:,7);gridylabel('theta');

21、>> subplot(4,1,4);>> plot(t,(x(:,4)-x(:,8);grid>> ylabel('theta的微分 ');結(jié)果：狀態(tài)反饋下的狀態(tài)變量的階躍響應(yīng)曲線圖 6狀態(tài)反饋下的狀態(tài)變量的階躍響應(yīng)曲線注：“ ”表示z 的階躍響應(yīng)；“ ”表示z 的階躍響應(yīng)“ ”表示的階躍響應(yīng)；“ ”表示的階躍響應(yīng)；。帶全維觀測(cè)器的狀態(tài)反饋下的狀態(tài)變量的階躍響應(yīng)圖 7帶全維觀測(cè)器的狀態(tài)反饋下的狀態(tài)變量的階躍響應(yīng)曲線注：同上。系統(tǒng)狀態(tài)與全維觀測(cè)器得到的估計(jì)狀態(tài)之間的誤差曲線圖 8系統(tǒng)狀態(tài)與全維觀測(cè)器得到的估計(jì)狀態(tài)之間的誤差曲線由上圖可知，全維狀

22、態(tài)觀測(cè)器觀測(cè)到的4 個(gè)變量的階躍響應(yīng)曲線與全狀態(tài)反饋時(shí)的階躍響應(yīng)曲線基本相似（如圖 6 與圖 7 所示），但是二者還是有誤差的，只不過(guò)誤差很小（如系統(tǒng)狀態(tài)與全維觀測(cè)器得到的估計(jì)狀態(tài)之間的誤差曲線圖8 所示，它們的誤差都在10 10 級(jí)別的，很?。S狀態(tài)觀測(cè)器所得的性能基本滿足要求（系統(tǒng)能控且穩(wěn)定），但是由于觀測(cè)器的數(shù)目多，導(dǎo)致中間過(guò)程的損耗也大。實(shí)際上，本系統(tǒng)中的小車位移 z ，可由輸出傳感器獲得，因而無(wú)需估計(jì)，可以設(shè)計(jì)降維觀測(cè)器，這樣可減小誤差）。方案二：降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)由于單倒置擺控制系統(tǒng)中的小車位移，可由輸出傳感器測(cè)量，因而無(wú)需估計(jì)，可以設(shè)計(jì)降維（3 維）狀態(tài)的觀測(cè)器。通過(guò)重新排列被

23、控系統(tǒng)狀態(tài)變量的次序，把需由降維狀態(tài)觀測(cè)器估計(jì)變量與輸出傳感器測(cè)得的狀態(tài)變量分開，也就是說(shuō)，將z 作為第四個(gè)狀態(tài)變量，則按照被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出方程可變換為：z0100z1d0010（16）0dt01100u1z1000z0zy000 10簡(jiǎn)記為x 1A 11A 12x 1b 1u（17）x 2A 21A 22x 2b 2式中y y0I 1x1x2z010,A120, b1x 1， A1100100011001x 2z y , A 211 0 0A220 , b 20, I11 ,故單倒置擺三維子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為z010z1（ 18）d0010dtu01101z（ 19）z100使用 matla

24、b 對(duì)其的觀測(cè)性檢查，結(jié)果是客觀的。因?yàn)榻稻S狀態(tài)觀測(cè)器動(dòng)態(tài)方程的一般形式為w ( A 11 h A 21 ) w ( b 1 h b 2 )u ( A 11 hA 21 ) h A 12 h A 22 y（ 20）?wh yx 1式中， hh0h1h2T 。使用 matlab可求出降維狀態(tài)觀測(cè)器特征多項(xiàng)式為I(A 11h A 21 )32( 11 h1 )( 11 h0 h 2 )h0設(shè)期望的觀測(cè)器閉環(huán)極點(diǎn)為-3 ，2i ，則由 matlab仿真可得，期望特征多項(xiàng)式為(3)(2i )(2i )37 21715由 matlab 可得， h0 =7， h1 =-28 ， h2 =-92所以由 ma

25、tlab 的仿真可得降維觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程為710121w2801w0u104y9211013367?w28x 1xy0y921（ 21）（ 22）（ 23）（ 24）（ 25）使用降維狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的的單倒置擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖simulink連接的仿真圖 所示。仿真：代碼：A=0,-1,0,0;0,0,1,0;0,11,0,0;1,0,0,0;b=1;0;-1;0;c=0,0,0,1;d=0;N=size(A);n=N(1);sys=ss(A,b,c,d);S=ctrb(A,b)f=rank(S);if f=ndisp('系統(tǒng)能控 ')elsedisp('系統(tǒng)不能控

26、')endV=obsv(A,c);m=rank(V);if m=ndisp('系統(tǒng)能觀 ')elsedisp('系統(tǒng)不能觀 ')endP_s=-1,-2,-1+i,-1-i;k=acker(A,b,P_s);syms h0 h1 h2syms sh=h0;h1;h2;A11=0,-1,0;0,0,1;0,11,0;A12=0;0;0;P=-3,-2+i,-2-i;A22=0;A21=1,0,0;eq=collect(det(s*eye(3)-(A11-h*A21),s)systemeq=expand(s-P(1)*(s-P(2)*(s-P(3)h0,h1

27、,h2 =sOlve('h0=7','-11-h1=17','-11*h0-h2=15')h=h0;h1;h2;AW=(A11-h*A21)b1=1;0;-1;b2=0;BU=b1-h*b2BY=(A11-h*A21)*h+A12-h*A22結(jié)果：其中， AW、BU、BY分別為降維觀測(cè)器的動(dòng)態(tài)方程中w、 u、 y 的系數(shù)矩陣。使用 MATLAB中 simulink連接的仿真圖：圖 9單倒置擺全反饋的降全維觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)圖仿真結(jié)果截圖：（1）降維狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)，變量z 以及變量z 的階躍響應(yīng)曲線（2）降維狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)，變量以及變量的階躍響應(yīng)曲線觀察上面

28、的仿真圖可知，在給系統(tǒng)狀態(tài)全反饋加上降維觀測(cè)器之后，單位階躍的作用下，小車的位移z 逐漸趨于一個(gè)常數(shù)（即） ，而倒置擺出現(xiàn)的偏角也逐漸趨于0,可見(jiàn)帶降維觀測(cè)器的系統(tǒng)是一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)，同時(shí)在性能方面符合空間的設(shè)計(jì)要求。六 分析比較兩種設(shè)計(jì)方案的性能單倒置擺原系統(tǒng)（即開環(huán)系統(tǒng)）不穩(wěn)定的，因此我們?cè)O(shè)計(jì)了單倒置擺全狀態(tài)反饋系統(tǒng)，由仿真圖（即狀態(tài)反饋下的狀態(tài)變量的階躍響應(yīng)曲線）可知，單倒置擺的全狀態(tài)反饋系統(tǒng)是穩(wěn)定的，為了獲取 4 個(gè)狀態(tài)變量z、 z 、，我們?yōu)閱蔚怪脭[的全狀態(tài)反饋系統(tǒng)設(shè)計(jì)兩種觀測(cè)器：全維狀態(tài)觀測(cè)器和降維狀態(tài)觀測(cè)器。使用 matlab 做出兩種不同的觀測(cè)器下兩個(gè)狀態(tài)變量z、的單位階躍響應(yīng)曲

29、線（另外兩個(gè)變量分別為他們的微分，故這里可以不用在比較了）。如下圖所示為simulink仿真圖（方法：將兩種觀測(cè)器的下的simulink仿真圖的狀態(tài)變量通總線的方式連接到示波器scope 上便可觀測(cè)到變量單位階躍響應(yīng)曲線的比較圖了）圖 10比較全維觀測(cè)器與降全維觀測(cè)器性能的結(jié)構(gòu)圖圖仿真截圖：變量 z 在使用不同觀測(cè)器下的單位階躍響應(yīng)曲線比較圖：圖 11 變量 z 在使用不同觀測(cè)器下的單位階躍響應(yīng)曲線比較圖注：黃色曲線“ ”為全維觀測(cè)器下的；紫色曲線“ ”為全維觀測(cè)器下的。變量在使用不同觀測(cè)器下的單位階躍響應(yīng)曲線比較圖：注：黃色曲線“ ”為全維觀測(cè)器下的；紫色曲線“ ”為全維觀測(cè)器下的。圖 12 變量在使用不同觀測(cè)器下的單位階躍響應(yīng)曲線比較圖比較兩種不同的觀測(cè)器