中考高分的十八個(gè)關(guān)節(jié)+關(guān)節(jié)15+由函數(shù)圖象衍生出的問題

1、關(guān)節(jié)十五由函數(shù)圖象衍生出的問題圖象本是函數(shù)關(guān)系的一種表達(dá)方式，現(xiàn)以它為主背景，可以衍生出如下的兩類問題：、由圖象反過來研究對應(yīng)的實(shí)際問題，這類問題解決的基本過程是：“圖象對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系實(shí)際問題”； 、圖象和坐標(biāo)系里的幾何圖形相結(jié)合，這類問題解決的基本方向是：將圖象上點(diǎn)的特征和幾何圖形的相關(guān)計(jì)算恰當(dāng)?shù)亟Y(jié)合起來。一、由圖象研究對應(yīng)的實(shí)際問題例1 如圖（1），三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小都相同。正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB=20米，頂點(diǎn)M距水面6米（即MO=6米），小孔頂點(diǎn)N距水面4.5米（即NC=4.5米）。當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時(shí)，借助圖中的直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬度

2、EF?！居^察與思考】讀圖，并和實(shí)際背景對照，可知： 應(yīng)先求出大孔對應(yīng)的拋物線的解析式； 求出F點(diǎn)的橫坐標(biāo)；解：設(shè)大孔對應(yīng)的拋物線解析式為y=ax2+h， 因?yàn)辄c(diǎn)B(10,0),M(0,6)在該拋物線上，即y=-35020=100a+h6=h正常水位 x解得6=ha=-350x+62令-350x+6=4.5，解得x1=5，x2=-5.EF=10米。答；當(dāng)水位不漲剛好淹沒小孔時(shí)，大孔的水面寬為10米。例2 某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)長方體形的蓄水池，將甲池中的水以每小時(shí)6立方米的速度注入乙水池，甲，乙兩個(gè)蓄水池中的水的深度y（米）與注水時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖（2）的所示，結(jié)合圖象回答下列問題：-

3、 1 -k1=-23,b1=2y甲=-23x+2。設(shè)y乙=k2x+b2。把（0，1）和（3，4）代入，解得k2=1,b2=1，y乙=x+1（1）根據(jù)題意，由所以注水35y=-23x+2 35解得x=。 y=x+1 小時(shí)，甲，乙兩蓄水池中水的深度相同。（2）設(shè)甲蓄水池的底面積為S1，乙蓄水池的底面積為S2，注水t小時(shí)甲，乙兩個(gè)蓄水池的蓄水量相同。先由兩池水量的變化情況求出兩池的底面積；2S1=3´6，即S1=9。(4-1)S2=3´6，即S2=6。再根據(jù)題意，得t+2)=6´(t+1)。 33解得t=1。注水1小時(shí)甲，乙兩個(gè)蓄水池的蓄水量相同。 S1(-2t+2)=

4、S2(t+1)，即9´(-2例3 某工廠用一種自動控制加工機(jī)制作一批工件，該機(jī)器運(yùn)行過程分為加油過程和加工過程：加工過程中，當(dāng)油箱中油量為10升時(shí)，機(jī)器自動停止加工進(jìn)入加油過程，將油箱加滿后繼續(xù)加工，如此往復(fù)，已知機(jī)器需運(yùn)行185分鐘才能將這批工件加工完。圖（1） 是油箱中油量y（升）與機(jī)器運(yùn)行時(shí)間x（分）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）求在第一加工過程中，油箱中油量y（升）與機(jī)器運(yùn)行時(shí)間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫出自變量x的取值范圍）；（2）機(jī)器運(yùn)行多少分鐘時(shí)，第一個(gè)加工過程停止？（3）加工完這批工件，機(jī)器油耗多少升？ 【觀察與思考】先讀圖象：折線第一段表示：前1

5、0分鐘為加油過程，勻速地由10升加到100升，折線第二段表示加工過程，其間油量勻速減少，加工20分鐘油量由100升減小到80升。問題（1）是求折線第二段對應(yīng)的函數(shù)解析式，可用待定系數(shù)法。問題（2）相當(dāng)于求（1）中的函數(shù)在函數(shù)值等于10時(shí)對應(yīng)的x的值； x（分） 問題（3）由題意和（2）知，機(jī)器運(yùn)行100分鐘后油箱中的油量為10升，應(yīng)再用9分鐘將油加滿，然后再運(yùn)行185-(100+9)=76（分鐘），這批工件加完畢，即185分鐘之內(nèi)，有19分鐘是加油過程，有185-19=166分鐘是加工過程，而加工過程每分鐘耗油1升。解：（1）設(shè)圖象第二段對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由100=10k+b 8

6、0=30k+bk=-1 解得 b=110- 2 -即y=-x+110，（2）令-x+110=10，解得x=100。即機(jī)器運(yùn)行100分鐘后，第一個(gè)加工過程停止。（3）第一個(gè)加工過程停止后，由圖象的折線第一段知每分鐘加油10升，加到到100升需9分鐘，機(jī)器運(yùn)行185分鐘內(nèi)有19分鐘加油，有185-19=166分鐘是加工過程，而加工每1分鐘耗油1升，可知，加工完畢這批零件，耗油166升。由以上幾例可以看出，解這類圖象和實(shí)際背景相結(jié)合的題目思考要點(diǎn)有三：第一，圖象和實(shí)際背景意義的結(jié)合與統(tǒng)一；第二，圖象和對應(yīng)的解析式的結(jié)合與統(tǒng)一；第三，要解決的實(shí)際問題是如何反映在圖象和解析式上的。二、函數(shù)圖象和幾何圖形

7、相結(jié)合的問題例1 如圖所示，直線y=-2x+8與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，在直線PQ上有一個(gè)點(diǎn)A（不與 P，Q重合）。過點(diǎn)A作ABx軸于點(diǎn)B，作ACy軸于點(diǎn)C。設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t，矩形ABOC的面積為S。（1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）點(diǎn)A在線段PQ的什么位置時(shí)，矩形ABOC的面積有最大值？并求出最大值?！居^察與思考】把“點(diǎn)A在線段PQ表示出來，進(jìn)而建立S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。解：（1）P，Q分別為直線y=-2x+8與x軸、y軸的交點(diǎn)。點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)A的坐標(biāo)為(t,-2t+8），且0<t<4， （注：“這是點(diǎn)A在線段PQ上，且不與P，Q重合”的

8、代數(shù)方法的表示）S=OB×AB=t×(-2t+8)，2 S=-2t+8t，0<t<4。 x（2）S=-2(t-2)+8，t=2時(shí)，S有最大值8。t=2時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），恰為PQ的中點(diǎn)。 2當(dāng)點(diǎn)A為線段PQ的中點(diǎn)時(shí)，矩形ABOC的面積最大，最大值為8?！菊f明】在解答本題的過程中，相關(guān)結(jié)論的“代數(shù)表示法”和“幾何表示法”的相互轉(zhuǎn)換，起著極為重要的作用。- 3 -例2 如圖，直線y=12以A1為邊向右作正方形OA1B1C1，延長C1B1交直線于點(diǎn)A2，x+1與y軸的交于點(diǎn)A1，以C1A2為邊繼續(xù)作正方形C1A2B2C2，重復(fù)以上過程，得到點(diǎn)列A1，A2，A3

9、，.An. （1）求出點(diǎn)A2，A3的坐標(biāo)； （2）寫出An的坐標(biāo)?！居^察與思考】關(guān)鍵是找到A2的坐標(biāo)和A1坐標(biāo)的關(guān)系，A3的坐標(biāo)與A2坐標(biāo)的關(guān)系從中獲得規(guī)律，而這就要充分x利用A1，A2，A3在直線y=12x+1上和正方形四邊相等這些條件。解：（1）A1坐標(biāo)為（0，1），而OC1=OA1=1，C1A2=C1B1+B1A2， QRtDA1A2B1RtDMA1O，32A2B1A1B1=A1OMO=12，C1B1+12A1B1=32OA1。A2的坐標(biāo)為(1,）。 32A3C2A2C132332×A2C1=()， 22從上可知：A2C2A1O=,類似地有：=，即A3C2=在RtDMA3C2中

10、，MCOC=MC232=2×A3C2=2×()，2223233öæ-MO=2×()-2.A3的坐標(biāo)為ç2×()2-2,(2÷。222øè（2）歸納可知：An的坐標(biāo)為ç2×()n-1-2,()n-1÷。è22øæ33ö例3 如圖，拋物線y=14x+1與y軸交于點(diǎn)A，y軸上的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）。過點(diǎn)B的一條直線與拋2物線交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，過P和Q分別作x軸的垂線，垂足為S,R。（1）求證：PB=PS，QB=QR； （2）判斷DS

11、BR的形狀。【觀察與思考】對于（1），應(yīng)特別注意點(diǎn)P，Q在拋物線上的表示方法，并用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鯬B，PS的長。 對于（2），應(yīng)借助（1）的結(jié)果和圖形的特殊。- 4 -x解：（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,作BHPS于點(diǎn)H，則14m2+1)，則PS=14m2+1。BH=OS=-m,PH=PS-HS=PS-BO=(QPB214mm42+1)-2=12m214m142-1。2=PH2+BH2=(14m2-1)+m22=116+1=(m+1)2=PS2PB=PS。同理可得QB=QR。（2）QPB=PS,QB=QR，ÐPBS=ÐPBS+ÐQBR=180°-1212(1

12、80°-ÐP)，ÐQBR=12180°-ÐQ。(ÐP+ÐQ)。QÐP+ÐQ=180°,ÐPBS+ÐQBR=90°,ÐSBR=90°， DSBR是直角三角形。例4 如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)y=mx(x>0,m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過A(1,4),B(a,b），其中a>1。過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，連結(jié)AD,DC,CB。 （1）若DABD的面積為4，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）求證：DC/AB；（3）當(dāng)AD=BC時(shí)

13、，求直線AB的函數(shù)解析式。【觀察與思考】由點(diǎn)A(1,4)在雙曲線上，故可求得雙曲線的解析式。 對于（1），B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,的方程求解。對于（2），設(shè)AC,BD相交于點(diǎn)E，可通過去證BEDE=AECEma，用DABD的面積去構(gòu)造關(guān)于ax來推得DC/AB；對于（3），實(shí)際上由AD=BC去構(gòu)造關(guān)于B點(diǎn)坐標(biāo)的方程，求得了B點(diǎn)的坐標(biāo)。AB的解析式就易得。解：（1）Q函數(shù)y=4mx(x>0,m是常數(shù)），圖象經(jīng)過A(1,4)，m=4。據(jù)題意，可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,4a，D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,，設(shè)BD,AC交于點(diǎn)E，E點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,，a4aQa>1， DB=a,AE=4-DABD的面積為4，即4a

14、4a。=4，解得a=3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,43)。12a(4-（2）證明：據(jù)題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），DE=1，- 5 -Qa>1，易得EC=4a,BE=a-1,BEDE=a-11=a-1,AECE4-=4a4a=a-1。BEDE=AECE,DAEBDCED,ÐBAE=ÐDCE，DC/AB。（3）解：QDC/AB，當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：當(dāng)AD/BC時(shí)，四邊形ADCB是平行四邊形。由（2）得，BEDE=AECE=a-1，a-1=1，得a=2。點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）。設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，得4=k+b 2=2k+b k=-2

15、 解得b =直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6。 6當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC,a=4,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，1）。設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，得直線AB的函數(shù)解析式是y=-x+5。 4=k+b k=-1 1=4k+b 解得 b=5綜上所述，所求直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6或y=-x+5。【說明】在本題的解法中，充分體現(xiàn)了恰當(dāng)運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)，點(diǎn)B在該雙曲線上的表示方法，以及相關(guān)幾何圖形的性質(zhì)和有關(guān)數(shù)量。例5如圖（1），已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(m,6），B(n,1）為兩動點(diǎn)，其中0<m<3，連

16、結(jié)OA,OB，OAOB。（1）求證：mn=-6；（2）當(dāng)SDAOB=10時(shí)，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)且以y軸為對稱軸，求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，問是否存在直線l，- 6 -使SDPOF:SDQOF=1:3？若存在，求出直線l對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由?！居^察與思考】對于（1），應(yīng)從OAOB出發(fā)，去構(gòu)造分別以為邊的相似三角形；對于（2），由SDAOB=10這一附加條件求出m,n拋物線的解析式；對于（3），由SDPOF:SDQOF=1:3去構(gòu)造P點(diǎn)坐標(biāo)的方程。 解：（1）作BCx軸于C點(diǎn)，ADx于D點(diǎn)

17、，如圖（1）QA,B點(diǎn)坐標(biāo)分別為(m,6),(n,1)， BC=1,OC=-n,AD=6，x又OAOB，DCBODDOA，CBDO=CODA=BOOA，1m=-n61）,mn=-6（2）由（1）得，OA=mBO，又SDAOB=10，12OB×OA=10。2x即OB×OA=20,mBO又OB2=20，22=BC2+OC2=m+1,m(n+1)=20，Qmn=-6,m=2,n=-3，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,1)，易得拋物線解析式為y=-x+10。2（3）直線AB為y=x+4，且與y軸交于F（0，4）點(diǎn)，OF=4。假設(shè)存在直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，且使SDPOF:SDQOF=1:3，如圖（1）的所示， 則有PF:FQ=1:3，作PMy軸于點(diǎn)M，QNy軸于點(diǎn)N，QP在拋物線y=-x+10上，設(shè)P坐標(biāo)為(t,-t+10)，22則FM=-x+10-4=-x+6，QDPMFDQNF，22PMQN=MFFN=PFQF=13，- 7 -22QN=3PM=-3t,NF=3MF=-3t+18，ON=-3t+14，Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-3t,3t-14)，222QQ點(diǎn)在拋物線y=-x+10上，3t-14=-9t+10，解得t=-2， 2P坐標(biāo)為(-2,8)，Q坐標(biāo)為(32,8)，易得直線PQ為y=-22x+4。