二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式8

1、二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式 8知識(shí)、方法、技能二項(xiàng)式定理1二項(xiàng)工定理2二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 它是展開式的第r+1項(xiàng).3二項(xiàng)式系數(shù) 4二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）（2）（3）若n是偶數(shù)，有，即中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 若n是奇數(shù)，有，即中項(xiàng)二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.（4）（5）（6）（7）（8） 以上組合恒等式（是指組合數(shù)滿足的恒等式）是證明一些較復(fù)雜的組合恒等式的基本工具.（7）和（8）的證明將在后面給出.5證明組合恒等式的方法常用的有（1）公式法，利用上述基本組合恒等式進(jìn)行證明.（2）利用二項(xiàng)式定理，通過賦值法或構(gòu)造法用二項(xiàng)式定理于解題中.（3）利用數(shù)學(xué)歸納法.（4）構(gòu)造組合問題模型，將證明方法劃歸為組合

2、應(yīng)用問題的解決方法.賽題精講例1：求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).【解】由二項(xiàng)式定理得 其中第項(xiàng)為 在的展開式中，設(shè)第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，記為則 由得r2k=0，即r=2k，r為偶數(shù)，再根據(jù)、知所求常數(shù)項(xiàng)為【評(píng)述】求某一項(xiàng)時(shí)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).例2：求的展開式里x5的系數(shù).【解】因?yàn)?所以的展開式里x5的系數(shù)為 【評(píng)述】本題也可將化為用例1的作法可求得.例3：已知數(shù)列滿足 求證：對(duì)于任何自然數(shù)n，是x的一次多項(xiàng)式或零次多項(xiàng)式. （1986年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）【思路分析】由是等差數(shù)列，則從而可將表示成的表達(dá)式，再化簡(jiǎn)即可.【解】因?yàn)?所以數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d有 從而由二項(xiàng)定理，知又因?yàn)閺亩?所以

3、當(dāng)?shù)囊淮味囗?xiàng)式，當(dāng)零次多項(xiàng)式.例4：已知a，b均為正整數(shù)，且求證：對(duì)一切，An均為整數(shù).【思路分析】由聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理，復(fù)數(shù)需要，然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系.【證明】因?yàn)轱@然的虛部，由于 所以從而的虛部.因?yàn)閍、b為整數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式定理，的虛部當(dāng)然也為整數(shù)，所以對(duì)一切，An為整數(shù).【評(píng)述】把An為與復(fù)數(shù)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵.例5：已知為整數(shù)，P為素?cái)?shù)，求證：【證明】由于為整數(shù)，可從分子中約去r！，又因?yàn)镻為素?cái)?shù)，且，所以分子中的P不會(huì)紅去，因此有所以【評(píng)述】將展開就與有聯(lián)系，只要證明其余的數(shù)能被P整除是本題的關(guān)鍵.例6：若，求證：【思路分析】由已知 猜想，因此需要求出，即只需要證明為正整數(shù)

4、即可.【證明】首先證明，對(duì)固定為r，滿足條件的是惟一的.否則，設(shè)則矛盾.所以滿足條件的m和是惟一的. 下面求.因?yàn)?又因?yàn)?所以 故 【評(píng)述】猜想進(jìn)行運(yùn)算是關(guān)鍵.例7：數(shù)列中，求的末位數(shù)字是多少？【思路分析】利用n取1，2，3，猜想的末位數(shù)字.【解】當(dāng)n=1時(shí)，a1=3， ，因此的末位數(shù)字都是7，猜想， 現(xiàn)假設(shè)n=k時(shí)， 當(dāng)n=k+1時(shí)， 從而 于是 故的末位數(shù)字是7.【評(píng)述】猜想是關(guān)鍵.例8：求N=19881的所有形如為自然數(shù)）的因子d之和.【思路分析】尋求N中含2和3的最高冪次數(shù)，為此將19變?yōu)?01和18+1，然后用二項(xiàng)式定理展開.【解】因?yàn)镹=19881=(201)881=(14

5、15;5)881= 其中M是整數(shù). 上式表明，N的素因數(shù)中2的最高次冪是5. 又因?yàn)镹=(1+2×9)881 =32×2×88+34·P=32×（2×88+9P）其中P為整數(shù). 上式表明，N的素因數(shù)中3的最高次冪是2. 綜上所述，可知，其中Q是正整數(shù)，不含因數(shù)2和3. 因此，N中所有形如的因數(shù)的和為(2+22+23+24+25)(3+32)=744.例9：設(shè)，求數(shù)x的個(gè)位數(shù)字.【思路分析】直接求x的個(gè)位數(shù)字很困難，需將與x相關(guān)數(shù)聯(lián)系，轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù).【解】令，由二項(xiàng)式定理知，對(duì)任意正整數(shù)n. 為整數(shù)，且個(gè)位數(shù)字為零.因此，x+y是

6、個(gè)位數(shù)字為零的整數(shù).再對(duì)y估值，因?yàn)椋?且，所以 故x的個(gè)位數(shù)字為9.【評(píng)述】轉(zhuǎn)化的思想很重要，當(dāng)研究的問題遇到困難時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為可研究的問題.例10：已知試問：在數(shù)列中是否有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng)？證明你的結(jié)論.【思路分析】先求出，再將表示成與15有關(guān)的表達(dá)式，便知是否有無窮多項(xiàng)能被15整除.【證明】在數(shù)列中有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng)，下面證明之.數(shù)列的特征方程為它的兩個(gè)根為，所以 （n=0，1，2，）由 則取，由二項(xiàng)式定理得由上式知當(dāng)15|k，即30|n時(shí)，15|an，因此數(shù)列中有無窮多個(gè)能被15整除的項(xiàng).【評(píng)述】在二項(xiàng)式定理中，經(jīng)常在一起結(jié)合使用.針對(duì)性訓(xùn)練題1已知實(shí)數(shù)均不為0，多項(xiàng)的三根為，求 的值.2設(shè)，其中為常數(shù)，如果求的值.3定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足：4證明：當(dāng)n=6m時(shí)，5設(shè)展開式為，求證：6求最小的正整數(shù)n，使得的展開式經(jīng)同類項(xiàng)