點差法弦長公式

1、點差法1.過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設計新穎，基礎性強，屬級題目.知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題.錯解分析：不能恰當?shù)乩秒x心率設出方程是學生容易犯的錯誤.恰當?shù)乩煤脤ΨQ問題是解決好本題的關(guān)鍵.技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達定理.解法一

2、：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設AB中點為(x0,y0),則kAB=,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,設l的方程為y=x+1.右焦點(b,0)關(guān)于l的對稱點設為(x,y),由點(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程

3、為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直線l：y=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.2.()已知圓C1的方程為(x2)2+(y1)2=,橢圓C2的方程為=1(ab0)，C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程.

4、解：由e=,可設橢圓方程為=1,又設A(x1,y1)、B(x2,y2),則x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,兩式相減，得=0,即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0.化簡得=1,故直線AB的方程為y=x+3,代入橢圓方程得3x212x+182b2=0.有=24b2720,又|AB|=,得，解得b2=8.故所求橢圓方程為=1.（2006年江西卷）如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點求點P的軌跡H的方程在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0<q&#

5、163; ），確定q的值，使原點距橢圓的右準線l最遠，此時，設l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形ABD的面積最大？解：如圖，（1）設橢圓Q：（a>b>0）上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），又設P點坐標為P（x，y），則1°當AB不垂直x軸時，x1¹x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）故所求點P的軌跡方程為：b2x2a2y2b2cx0（2）因為，橢圓Q右準線l方程是x，原點距l(xiāng)的距離為，由于c2a2b2，a21co

6、sqsinq，b2sinq（0<q£）則2sin（）當q時，上式達到最大值。此時a22，b21，c1，D（2，0），|DF|1設橢圓Q：上的點 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積S|y1|y2|y1y2|設直線m的方程為xky1，代入中，得（2k2）y22ky10由韋達定理得y1y2，y1y2，4S2（y1y2）2（y1y2）24 y1y2令tk21³1，得4S2，當t1，k0時取等號。因此，當直線m繞點F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。 ( 2006年湖南卷）已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點.(

7、)當AB軸時,求、的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上；()是否存在、的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.45() =0，；() ，或，。 解（）當ABx軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m0，直線AB的方程為 x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，）. 因為點A在拋物線上，所以，即. 此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上. （）解法一當C2的焦點在AB時，由（）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為.由消去y得. 設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,則x1,x2是方程的兩根，x1x2.AyBOx

8、因為AB既是過C1的右焦點的弦，又是過C2的焦點的弦，所以，且.從而.所以，即.解得.因為C2的焦點在直線上，所以.即.當時，直線AB的方程為；當時，直線AB的方程為.解法二當C2的焦點在AB時，由（）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為.由消去y得. 因為C2的焦點在直線上，所以，即.代入有.即. 設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）,則x1,x2是方程的兩根，x1x2.由消去y得. 由于x1,x2也是方程的兩根，所以x1x2.從而. 解得.因為C2的焦點在直線上，所以.即.當時，直線AB的方程為；當時，直線AB的方程為. 解法三設A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x

9、2,y2）,因為AB既過C1的右焦點，又是過C2的焦點，所以.即. 由（）知，于是直線AB的斜率， 且直線AB的方程是,所以. 又因為，所以. 將、代入得，即.當時，直線AB的方程為；當時，直線AB的方程為.弦長公式1. 已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個焦點為F，M是橢圓上的任意點，|MF|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對稱點M1和M2，且|M1M2|=，試求橢圓的方程.解：|MF|max=a+c,|MF|min=ac,則(a+c)(ac)=a2c2=b2,b2=4,設橢圓方程為設過M1和M2的直線方程為y=x+m將代入得：(4+a2)x22a2m

10、x+a2m24a2=0設M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點為(x0,y0),則x0= (x1+x2)=,y0=x0+m=.代入y=x,得,由于a24,m=0,由知x1+x2=0,x1x2=,又|M1M2|=,代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為： =1.2. （2008全國一21）（本小題滿分12分）雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交于兩點已知成等差數(shù)列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程解：（）設，由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得,則離心率（）過直線方程為,與

11、雙曲線方程聯(lián)立將，代入，化簡有將數(shù)值代入，有,解得故所求的雙曲線方程為。（山東卷）設直線關(guān)于原點對稱的直線為，若與橢圓的交點為A、B、，點為橢圓上的動點，則使的面積為的點的個數(shù)為（ B ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（福建卷）已知方向向量為的直線l過點（）和橢圓的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上. （）求橢圓C的方程；（）是否存在過點E（2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cot MON0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.（I）解法一：直線， 過原點垂直的直線方程為， 解得橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，直線

12、過橢圓焦點，該焦點坐標為（2，0）. 故橢圓C的方程為 解法二：直線. 設原點關(guān)于直線對稱點為（p，q），則解得p=3.橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準線上， 直線過橢圓焦點，該焦點坐標為（2，0）. 故橢圓C的方程為 （II）解法一：設M（），N（）.當直線m不垂直軸時，直線代入，整理得點O到直線MN的距離即 即整理得當直線m垂直x軸時，也滿足.故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或解法二：設M（），N（）.當直線m不垂直軸時，直線代入，整理得 E（2，0）是橢圓C的左焦點，|MN|=|ME|+|NE|=以下與解法一相同.解法三：設M（），N（）.設

13、直線，代入，整理得 即 =，整理得解得或故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗上述直線均滿足所以所求直線方程為或或（廣東卷）在平面直角坐標系xOy中，拋物線上異于坐標原點的兩不同動點、滿足（如圖所示）（）求得重心（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由xyOAB解：（I）設AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則 （1）OAOB ,即，(2)又點A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得所以重心為G的軌跡方程為（II）由（I）得當且僅當即時，等號成立。所以AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1；（2006年安徽卷）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點。已知四邊形為平行四邊形，。OFxyPM第22題圖H（）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；（）當時，經(jīng)過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。解：四邊形是，作雙曲線的右準線交PM于H，則，又，。（）當時，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求。（2006年四川卷）已知兩定點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點，如果，且曲線上存在點，使，求的值和的面積本小題主要考察雙曲