王永 靜電力常量與麥克斯韋方程組

1、靜電力常量的數(shù)值究竟是誰給出的？人教版高中物理選修3-1講到，在庫侖那個年代，無法精確測量物體的電荷量，甚至連電荷量的單位都沒有。課本上接著講了利用相同金屬球分電荷的方法。下面還有一個注釋說，庫侖最初的實(shí)驗(yàn)是用帶電木髓球進(jìn)行的，并非金屬球。庫侖定律那個表達(dá)式，是庫侖作為假設(shè)提出的。庫侖定律表達(dá)式中的比例系數(shù)的數(shù)值和量綱取決于庫侖定律表達(dá)式中其他物理量的單位。靜電單位制中，比例系數(shù)就是個無量綱數(shù)1，無需測量。具體請看任何一本電磁學(xué)書里關(guān)于電磁學(xué)單位制的介紹。這里主要談?wù)剣H單位制中的靜電力常量。國際單位制是二十世紀(jì)才制定出的，所以靜電力常量的數(shù)值肯定不是庫侖給出的。那么這個數(shù)值的給出者究竟是誰呢

2、？史料中似乎難以尋覓，說明此人很低調(diào)。讓我們回顧一下麥克斯韋方程組，看看那個常量究竟是怎么回事，還有就是，它的數(shù)值究竟是怎么給出的。在麥克斯韋建立起以他的名字命名的方程組以前，人們對電磁現(xiàn)象已經(jīng)有了較好的認(rèn)識。對于穩(wěn)恒情形，人們已經(jīng)認(rèn)識到所謂庫侖定律和畢奧-薩伐爾定律；非穩(wěn)恒情形時，則有所謂法拉第電磁感應(yīng)定律。庫侖定律指出，靜電情形時，F(xiàn)=kq1q2r2，k為比例系數(shù)。引入電場強(qiáng)度E后，由庫侖定律，得到一個微分關(guān)系式，E =4k，其中是電荷密度。E表示E的散度。上述微分方程中的4是怎么出來的，請參閱任何一本電動力學(xué)或者數(shù)學(xué)物理方法書籍。為了使微分方程的形式顯得簡潔一些，人們令4k=10，即k=

3、140。顯然，如果給出0，k也就隨之確定了。這樣上述微分方程就成為，E=0穩(wěn)恒情形下，關(guān)于磁感應(yīng)強(qiáng)度B的畢奧-薩伐爾定律中，也有一個比例系數(shù)k。出于同樣的考慮，令k=04。注意，0在分母上。把比例系數(shù)k，k寫成那樣的形式，只是為了使后面的微分方程及相應(yīng)結(jié)論具有簡潔的形式，沒有什么更特別的原因。這樣，畢奧-薩伐爾定律就寫成其中I是電流強(qiáng)度，r是位矢，戴尖帽子的那個r，表示位矢對應(yīng)的單位矢量。如果不能認(rèn)為電流集中在橫截面積不計的細(xì)線內(nèi)，則應(yīng)寫成其中j是電流密度矢量，e（r-r）表示r-r對應(yīng)的單位矢量。由畢奧-薩伐爾定律，可以得到兩個微分關(guān)系式，B=0，這表明，穩(wěn)恒情況下，磁場應(yīng)該是無源的。有的書

4、上把這個叫做磁場的高斯定理。×B=0j，其中j是電流密度。其實(shí)這個就是安培環(huán)路定律的微分形式。×B表示B的旋度。由畢奧薩-伐爾定律，還能得出所謂安培環(huán)路定律。這是當(dāng)時已有的認(rèn)識，似乎很接近最終的麥克斯韋方程組了。那時，人們認(rèn)為，上面的幾個微分方程，只在穩(wěn)恒情形下成立。麥克斯韋仔細(xì)研究了已有的知識后，想把上述幾個方程推廣到非穩(wěn)恒的情況。他發(fā)現(xiàn)，直接推廣E=0和B=0，是不會導(dǎo)致數(shù)學(xué)上的矛盾的。但是，如果把×B=0j直接推廣到非穩(wěn)恒情形，會導(dǎo)致數(shù)學(xué)上的矛盾。一個物理理論要想合理地描述現(xiàn)象，首先得保證數(shù)學(xué)上不能有矛盾，然后再談是否符合實(shí)驗(yàn)。為了解除這個矛盾，基于對電荷守

5、恒的已有認(rèn)識，再考慮到方程E=0，麥克斯韋在方程×B=0j的右邊，增添了一項(xiàng)，就是所謂位移電流。但是，僅僅為了解除數(shù)學(xué)上的矛盾，位移電流的數(shù)學(xué)形式，不是唯一的。麥克斯韋也許是基于一種物理規(guī)律應(yīng)該是簡潔的，優(yōu)美的這種想法，為位移電流選取了一種最簡單的數(shù)學(xué)形式。引入位移電流，將上面幾個微分關(guān)系式推廣到非穩(wěn)恒情形，再加上法拉第電磁感應(yīng)定律對應(yīng)的微分關(guān)系式×E=-偏B偏t，就得到了麥克斯韋方程組。這組方程的第4個，是基于數(shù)學(xué)上的考慮得到的。當(dāng)然，很快就得到了實(shí)驗(yàn)的證實(shí)。僅有這四個方程還是不夠的，還需補(bǔ)充洛倫茲力假設(shè)。有了麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式，原則上就可以解釋所有的電磁現(xiàn)象了

6、。后來人們意識到，麥克斯韋方程組，具有所謂的規(guī)范對稱性，現(xiàn)在我們知道，根據(jù)諾特定理，一種對稱性，就對應(yīng)著體系的一個守恒量。而規(guī)范對稱性，就對應(yīng)著體系的電荷守恒。我們看到，在麥克斯韋的時代，人們基于一系列的實(shí)驗(yàn)事實(shí)，歸納出了麥克斯韋方程組不過，在人們對體系的對稱性已經(jīng)有了足夠深入認(rèn)識的情況下，當(dāng)今的物理學(xué)家只需根據(jù)庫侖定律這樣一個實(shí)驗(yàn)事實(shí)，然后基于相對論協(xié)變性，以及時間平移，空間平移，空間轉(zhuǎn)動，規(guī)范對稱性等的考慮，就可以構(gòu)建出完整的麥克斯韋方程組。這種基于庫侖定律，對稱性，相對論協(xié)變性，構(gòu)建麥克斯韋方程組的方法，我記得是在一本，好像是四川科技出版社出的書里，有較為詳細(xì)的講解。愛因斯坦說：“上帝是

7、微妙的，但并無惡意。”仔細(xì)回顧麥克斯韋方程組的建立，尤其是位移電流的引入，以及相對論的建立中的那些細(xì)節(jié)，會讓人們對愛因斯坦的話有切膚的感受。上帝創(chuàng)造這個世界的手法不是一目了然的，但也并沒有復(fù)雜得無以復(fù)加，以致可憐的人類無從捉摸；上帝隱藏了他的手法，但也向人類透露了足夠的端倪；只要堅(jiān)信簡單和美的信念，在某種程度上，人類是可以理解上帝的。在麥克斯韋寫下以他的名字命名的方程組后，立即就意識到，這組方程不具有伽利略協(xié)變性。對麥克斯韋方程組協(xié)變性的研究，導(dǎo)致了相對論的誕生。在適當(dāng)?shù)膯挝恢葡?，麥克斯韋方程組具有以下形式：洛侖茲力表達(dá)式為，F(xiàn)=qE+qv×B或f=E+j×B。在沒有電荷分

8、布和電流分布的空間，麥克斯韋方程組成為消去B，或者E（具體過程請看任何一本電動力學(xué)或矢量微積分書籍），得到這兩個微分方程很明顯地反映了電磁場的波動性。這種形式的微分方程叫做達(dá)朗貝爾方程，數(shù)學(xué)物理方法中有固定的解法。求解達(dá)朗貝爾方程可以解出真空中電磁波的傳播速度c=（00）（-12）?？梢娬婵罩须姶挪ǖ膫鞑ニ俣仁莻€與頻率，波長無關(guān)的常數(shù)，而且與參照系也沒有關(guān)系。這些都是麥克斯韋時代的人們就意識到的，也是啟示愛因斯坦打開相對論大門的鑰匙。下面我們看0，0是怎樣給出的?？疾靸蓷l平行的，間距為a，其中電流強(qiáng)度均為I的無限長細(xì)直導(dǎo)線。利用對稱性，由安培環(huán)路定律，很容易即可計算出長度為L的一段導(dǎo)線受到的安

9、培力為，F(xiàn)=oLI2（2a）。請注意這個公式，所有的答案都在這里。另外需要注意的是，寫到這里，我們還沒有涉及電流強(qiáng)度，以及電荷量的具體單位。國際單位制里，人們規(guī)定0的數(shù)值為4×10-7，并且這樣規(guī)定電流強(qiáng)度的單位：真空中相距一米，具有等值電流強(qiáng)度，截面積忽略不計的兩平行無限長直導(dǎo)線，如果單位長度導(dǎo)線受到的安培力為2×10-7牛頓，則每根導(dǎo)線中電流強(qiáng)度為1安培。或者說，當(dāng)這樣規(guī)定了電流強(qiáng)度的單位后，0的數(shù)值自然就是4×10-7，而量綱則是，牛頓安培2，即0=4×10-7牛頓安培2。有了電流強(qiáng)度的單位安培，進(jìn)一步可以定義電荷量的單位庫侖。人們早就通過各種實(shí)驗(yàn)，確認(rèn)光就是電磁波，并且很早就用不少方法，較為精確地測出了光，或者說電磁波在真空中的傳播速度c。由（00）（-12）=c，立即可以計算出0。進(jìn)而由k=140，計算出靜電力常量k?？梢?，國際單位制中的靜電力常量是不需要通過那個庫侖定律的表達(dá)式去專門測量的，只要知道光，或者說電磁波的傳播速度，就能把它計算出來。而光的傳播速度，很早的時候就較為精確地測出了，后來，人們又用各種方法，很精確測定了光或者說電磁波的傳播速度。