定積分典型例題20例答案

1、x22例 3(1)若 f (x) = J e丄x分析v(x)(2).4(1) f(x)=2xe由于在被積函數(shù)中丄2-e;x不是積分變量，故可提到積分號外即xf(X)=x 0 f (t)dt，則定積分典型例題20例答案求lim丄n廠n分析將這類問題轉化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限.若對題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對區(qū)間0, 1 n等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數(shù)與積分上下限.解 將區(qū)間0, 1 n等分，則每個小區(qū)間長為.丸二1,然后把-的一個因子-乘nn n nn入和式中各項于是將所求極限轉化為求定積分即lim 二席 +袒孑 +川+貳)=1計丄(3卩 +扌

2、 222iJ2x x dx = 伶J1 sin t costdt = 2J1 sin t costdt =22 cos tdt =0P'0'02dt ,則 f "(x)= ; (2)若 f (x) = 0 xf (t)dt ,求 f "(x)=這是求變限函數(shù)導數(shù)的問題，禾U用下面的公式即可d v(x) f (t)dt = fv(x)v(x) -fu(x)u (x). dx u(x) +111- ) = 0 Vxd2f (x -1) 3x =1, .042 2例 2 J2xxdx=.2盯解法1由定積分的幾何意義知，0 J2xx2dx等于上半圓周(x-1)2+y

3、2=1( y啟0)與x軸所圍成的圖形的面積.故 彳2x 一x2dx=.02解法2本題也可直接用換元法求解.令x仁sint (丄蘭t蘭蘭)，則2 2可得xf (x) = 0 f(t)dt xf(x).例4設f (x)連續(xù)，且x3 -1o f (t)dt =x，貝y f(26)=x3丄解 對等式;f(t)dt =x兩邊關于x求導得1f(26)冷X函數(shù)F (x)=(3 (x 0)的單調遞減開區(qū)間為F (x) =3令 F (x) : 0 得1，解之得。兀9，即(。，9)為所求故 f(x3 -1)：，令 X3 一1 =26得 x =3，所以3xx例 6 求 f (x) = 0 (1t)arctan td

4、t 的極值點.解由題意先求駐點.于是f (x) = (1 一 x)arcta n x .令f (x) = 0 ,得x=1, x=0 .列表故x =1為f (x)的極大值如下：x(皿,0)0(0,1)1(1,亦)f (x)-0+0點，x =0為極小值點.例7已知兩曲線y=f(x)與y=g(x)在點(0,0)處的切線相同，其中arcs inx 十2g(x) = 0 e dt, x _1,1,試求該切線的方程并求極限 lim nf (3).y nf(0) = g(0)，分析 兩曲線y = f (x)與y =g(x)在點(0,0)處的切線相同，隱含條件f (0g (0).解由已知條件得f(0)弋(0)

5、 = d°edt =0 ,且由兩曲線在(0,0)處切線斜率相同知-(arcsin x)2 e f(0)=g(0)= 一2=1x 0故所求切線方程為 y =x .而3f () - f (0)= lim3 n =3fn/3-0n(0) =3 .分析"si n2tdt四；,xt(t -sint)dt該極限屬于-型未定式，可用洛必達法則.0x22- sin tdt2x(sin x2)2= lim 2x(sin x )=(£) ,|計 '八，=(_2) limx° (1) x (x-sinx)x0 x-sinxx-01-cosxx叫飛x t(t-si nt

6、)dt(x2)24x312x2=(-2) lim=0 .x- si nx注此處利用等價無窮小替換和多次應用洛必達法則.1x t2例9 試求正數(shù)a與b，使等式lim. dt =1成立.x -bsin x L° Ja +t2分析 易見該極限屬于 -型的未定式，可用洛必達法則.0解lim 127 x b sin xJa 彳2xdt =lim a x =lix01 b cos xlimlimxrv x 02x1 -bcosx1.八.lim1 ,.a x 01bcosx由此可知必有1叫(1 -bcosx) = 0 ,得b =1 .又由1x2-lim1 ,a x01 -cosx a得a =4 .

7、即a = 4 , b =1為所求.si nx234例 10 設 f (x) = sint dt, g(x) =x +x，則當 xt 0 時，f (x)是 g(x)的( ).A.等價無窮小.B .同階但非等價的無窮小.C .高階無窮小.D .低階無窮小.解法1由于lim3=limsin(sin2x)cosxx 0 g(x) x 03x2 亠 4x3sin (si n2 x)2xcosx = lim x 0 3 4x故f (x)是g(x)同階但非等價的無窮小.選B.解法2將sint2展成t的幕級數(shù)，再逐項積分，得到f (x) = 0 t2 一 (t2)3 +|dt =sin3x 一- sin7x

8、+|),b ls 342則.31. 411.4sin x( sin x )sin xlim 他=lim (3 f2 4 Ilim j1xo g(x)x_ox xx_o1 x32例11計算.Jx|dx .分析解被積函數(shù)含有絕對值符號，應先去掉絕對值符號然后再積分.2202X2 0x|dx = *(乍)dx 0xdx = 一了252注 在使用牛頓-萊布尼茲公式時，應保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件.如2dx = -1； ，則是錯誤的.錯誤的原因則是由于被積函數(shù)在x=0處間斷且在被2xx 6x積區(qū)間內無界例 12 設 f (x)是連續(xù)函數(shù)，且 f (x) =x+3 0 f (t)dt，貝U f(

9、x) =分析本題只需要注意到定積分bf (x)dx是常數(shù)(a, b為常數(shù)).1 1解 因f (x)連續(xù)，f(x)必可積，從而 0 f (t)dt是常數(shù)，記f(t)dt = a，則1f(x)=x 3a，且 0(x 3a)dx = 0 f (t)dt =a .所以1 2 1 1x dx =4 門 dx 4 = 4 一二 b4 3ax0 = a，即卩 3a = a ,2 2從而a134，所以 f(x)*42例131 2x x 計算L石存dx.分析由于積分區(qū)間關于原點對稱，因此首先應考慮被積函數(shù)的奇偶性.21 2x x11 -X2dx =1 與=2dx + f11 x-2Jhdx .由于冷是偶函數(shù)，而

10、x11 -x2是奇函數(shù)，有1 x11dx =0 ,于是2-x1 2x2 x1 -.-1 X21 x2dx =4dx =4吹2(1 _、1 _X2)011 -X21 1 2dx=4°dx-40.1-x dx由定積分的幾何意義可知Ur故21 2x x11 -X2例14計算d f (x2 -t2)dt，其中f(x)連續(xù).分析 要求積分上限函數(shù)的導數(shù),但被積函數(shù)中含有x ,因此不能直接求導，必須先換元使被積函數(shù)中不含然后再求導.解由于0 tf(x2 -t2)dt=1 ；f(x2 -t2)dt2 .故令x2 -t2=u ,當 t =0 時 u = X2 ；當 t = x 時 U = 0 ,而

11、dt2 - -du，所以 x 22101 X20tf (X -1 )dt =? X2 f(u)(-du)=? 0 f (u)du ,d x 2 2d 1 x21贏0tf(x -t )dt=-1，0 f(u)du=-f(x) 2x = xf(x) 錯誤解答 ftf(x1ln 2 ln3 . 4例 17 計算:e sin xdx . t2)dt =xf(x2 x2)=xf(0). dx 0錯解分析這里錯誤地使用了變限函數(shù)的求導公式，公式d x門(x) a f(t)dt = f (X)dx掃中要求被積函數(shù)f(t)中不含有變限函數(shù)的自變量x，而f(X2t2)含有x，因此不能直接求導，而應先換元.n例

12、15 計算：xsinxdx .分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)幕函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法.TLJI_71_31解 ；xsin xdx 二 °分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法.解 由于 2 ex sin xdx2 sin xdex =ex sin x2 - 2ex cosxdxxd(cosx)二x (cosx)3 - °3(cosx)dx6 0 2 6例16計算分析被積函數(shù)中出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法.Un(1 x)0 (3 -x)2dx= ；ln(1 x)d(丄)=&ln(1 x)f° 一03

13、x3 x1 1 1dx)(3 - x) (1 x)沖-1 14 0()dx3 - xITcosxdx =:2。cosxdx ,(1)np2cosxdex =excosxo 2ex (-sin x)dxJU2 sin xdx",(2)式代入(1)式可得2 x2esin xdx=e2 - I： ex sin xdx -1,7T耳12 ex sin xdx(e2 1).0218、 1計算 0 xarcsinxdx 分析 被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與幕函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法.2 2 21x x11 x=0 arcs in xd( ) =arcsi nxo _ 0 d (arcsi n

14、x)i，2xarcs in xdx2I 2dx -x令 x =sint，貝U1 x2*x2dx02 -si nt d sin t1 _si n2t也 t costdt costJI “02 sin tdt1 -cos2t=Tdt2將（2）式代入（1）式中得sin 2t L 二44(2)fx arcsi nxdx=8例19設f（x） 0,二上具有二階連續(xù)導數(shù),f (二)=3且 ° f (x) f (x)cosxdx = 2，求 f (0 -分析被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解.解 由于 0 f (x) f (x)cos xdx 二 0 f (x)d sinx 亠 i0 cosxdf (x)= If (x)sin x 0 - 0 f (x)sin xdx f (x)cosx i0 f (x)sin xd冷-f (二)-f (0) =2 故 f (0) - -2 - f (二)-2 -3