曲線的參數(shù)方程

1、曲線的參數(shù)方程教學(xué)目標(biāo)：1.通過(guò)分析拋物運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與運(yùn)動(dòng)物體位置的關(guān)系，寫出拋物運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，體會(huì)參數(shù)的意義。2.分析圓的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程。3.會(huì)進(jìn)行參數(shù)方程和普通方程的互化。教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)問(wèn)題的條件引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會(huì)參數(shù)的意義。參數(shù)方程 和普通方程的互化。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程。參數(shù)方程和普通方程的 等價(jià)互化。教學(xué)過(guò)程一.參數(shù)方程的概念1.探究：如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面 500m 的高處以 100m/s 的速度作水平直線飛行，為使投 放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不計(jì)空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)

2、機(jī)呢？（1）平拋運(yùn)動(dòng)：一、 方程組有 3 個(gè)變量，其中的 x,y 表示點(diǎn)的坐標(biāo)，變量 t 叫做參變量，而且 x,y 分別是 t 的函數(shù)。二、由物理知識(shí)可知，物體的位置由時(shí)間 t 唯一決定，從數(shù)學(xué)角度看，這就是點(diǎn) M 的坐標(biāo) x,y 由 t 唯一確定，這樣當(dāng) t 在允許值范圍內(nèi)連續(xù)變化時(shí)，x,y 的值也隨之連續(xù)地變化，于是 就可以連續(xù)地描繪出點(diǎn)的軌跡。三、 平拋物體運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)與滿足方程組的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。練習(xí)：斜拋運(yùn)動(dòng):y汀參數(shù)方程為(B 為參數(shù)V=VO2 參數(shù)方程的概念夕一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐 x,y都是某個(gè)變數(shù) t 的函數(shù) 并且對(duì)于 t

3、 的每一個(gè)允許值，由方程組(2)所確定的點(diǎn) M(x,y)都在這條曲線上，那么方程 (2)就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y 的變數(shù) t 叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)，相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。說(shuō)明：(1)一般來(lái)說(shuō)，參數(shù)的變化范圍是有限制的。(2)參數(shù)是聯(lián)系變量 x，y 的橋梁，可以有實(shí)際意義，也可無(wú)實(shí)際意義。x = 3t例 1 已知曲線 C 的參數(shù)方程是2(t 為參數(shù))y = 2t+1(1)判斷點(diǎn) M1(0,1)M2(5,4)與曲線 C 的位置關(guān)系；(2)已知點(diǎn) M3(6a)在曲線 C 上，求 a 的值。A、一個(gè)定點(diǎn)B、一個(gè)橢圓C、一條拋物線D、一條直線三參數(shù)

4、方程和普通方程的互化例 1、已知圓方程 x2+y2 +2x-6y+9=0，將它化為參數(shù)方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程，練習(xí)：斜拋運(yùn)動(dòng):y汀參數(shù)方程為(B 為參數(shù)(x+1) 2+ (y-3) 2=1，例 2 如圖，圓 0 的半徑為 2, P 是圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q（6,0）是 x 軸上的定點(diǎn)，M 是 PQ 的中點(diǎn), 當(dāng)點(diǎn) P 繞 0 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) M 的軌跡的參數(shù)方程。明確參數(shù)方程和普通方程的互化的方法。注意，在參數(shù)方程和普通方程的互化中，必須使 x，y 的取值范圍保持一致 四課堂練習(xí) 鞏固與提高 1 與普通方程 xy=1 表示相同曲線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）是（D）x

5、=sin tB.丿y =csct2 .下列哪個(gè)點(diǎn)在曲線x=sin r （洶參數(shù)）上（C）jy二cos2*3 .曲線嚴(yán)=1+羅2日（甘為參數(shù)）的軌跡是（D）y =sin日4.方程/x=2（6 為參數(shù)）表示的曲線是（D）y =cos日（7 為參數(shù)）上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是（B.丄C. 1D.226 .方程x2y4tx -2ty5t2-0（t 為參數(shù)）所表示的一族圓的圓心軌跡是（D ）A .一個(gè)定點(diǎn)B .一個(gè)橢圓C. 一條拋物線D .一條直線7.直線廠tcos：a 為參數(shù)）與圓*=4+2聳少（碼參數(shù)）相切，那么直線的傾斜角為（A）J =tsin日J(rèn) y =2sin A .二或匹B.二或空

6、C.二或三D .二或-壬664433668.曲線x2+y2=2y的一個(gè)參數(shù)方程為x羅日（日為參數(shù)）。=1 +sin oC.x =tantD.丿y =cottA. (2,7)C.(J,2)D. (1,0)A.一條直線B .一條射線C. 一個(gè)圓D .一條線段A .余弦曲線B .與 x 軸平行的線段C.直線D .與 y 軸平行的線段5.曲線|x =cosy =sin Jx =t29.曲線Xi（t 為參數(shù)）的普通方程為x2_y2,。2 SN 為參數(shù)），則.（x 一 5）2 （y 4）2的最大值是 6。y =sin日 -11.設(shè)飛機(jī)以勻速 v=150m/s 作水平飛行， 若在飛行高度 h=588m 處投

7、彈 （設(shè)投彈的初速度 等于飛機(jī)的速度，且不計(jì)空氣阻力）（1）求炸彈離開(kāi)飛機(jī)后的軌跡方程;（2）試問(wèn)飛機(jī)在離目標(biāo)多遠(yuǎn)（水平距離）處投彈才能命中目標(biāo) 解：（1）X50t2（t 為參數(shù)）?！?=588 4.9t（2） 1643m12.火炮以為發(fā)射角，vo為初速度發(fā)射，求炮彈的軌跡方程。X =voCOS。t解：丿12（t 為參數(shù)）。y =ysin a t -評(píng)13.動(dòng)點(diǎn)M從起點(diǎn) M（1,2）出發(fā)作等速直線運(yùn)動(dòng)，它在 x 軸與 y 軸方向上的分速度分別為 6 和 8，求點(diǎn) M 的軌跡的參數(shù)方程。x 1解：丿（t 為時(shí)間參數(shù)）。y =2 +8tr14.求直線/曰“（t 為參數(shù)）與圓x2+y2=4的交點(diǎn)坐標(biāo)

8、。y =1 _t解：把直線的參數(shù)方程代入圓的方程，得（1+t）2+（1-t）2=4，得 t= 1,分別代入直線方程 得交點(diǎn)為（0, 2）和（2, 0）圓的參數(shù)方程的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：利用圓的幾何性質(zhì)求最值（數(shù)形結(jié)合）過(guò)程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求圓的參數(shù)方程教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用圓的參數(shù)方程求最值。教學(xué)難點(diǎn)：選擇圓的參數(shù)方程求最值問(wèn)題教學(xué)過(guò)程：10.已知 J一、 最值問(wèn)題1. 已知 P(x,y )圓 C: x2+y2 6x 4y+12=0 上的點(diǎn)。y(1)求的最小值與最大值(2)求 x y 的最大值與最小值X2. 圓 x2+y2=1 上的點(diǎn)到直線 3x+4y-25=0 的距離最小值是_;2/

9、.圓(x-1)2+(y+2)2=4 上的點(diǎn)到直線 2x-y+仁 0 的最短距離是_;3. 過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線中,被圓 x2+y2-2x+4y=0 截得的弦：為最長(zhǎng)的直線方程是_;為最短的直線方程是_;4._若實(shí)數(shù) x,y 滿足x2+y2-2x+4y=0 ,則 x-2y 的最大值為_(kāi);二、 參數(shù)法求軌跡1) 一動(dòng)點(diǎn)在圓 x2+ y2=1 上移動(dòng),求它與定點(diǎn)(3,0)連線的中點(diǎn)的軌跡方程2) 已知點(diǎn) A(2,0),P 是 x2+y2=1 上任一點(diǎn)， AOP的平分線交 PA 于 Q 點(diǎn)，求 Q 點(diǎn)的軌跡C.參數(shù)法解題思想：將要求點(diǎn)的坐標(biāo) x,y 分別用同一個(gè)參數(shù)來(lái)表示例題：1)點(diǎn) P(m,n)在圓

10、 x +y =1 上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn) Q(m+n,2mn 的軌跡方程2)方程 x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m)y+16m4+9=0.若該方程表示一個(gè)圓，求 m 的取值 范圍和圓心的軌跡方程。圓錐曲線的參數(shù)方程教學(xué)目的：知識(shí)與技能：了解圓錐曲線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義過(guò)程與方法：能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，求簡(jiǎn)單曲線的參數(shù)方程情感、 態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)： 圓錐曲線參數(shù)方程的定義及方法教學(xué)難點(diǎn)： 選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程授課類型： 新授課教學(xué)模式： 啟發(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué)教學(xué)過(guò)程:、復(fù)習(xí)引入:1 寫出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式和對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程。1、關(guān)于參數(shù)幾點(diǎn)說(shuō)

11、明:(1)參數(shù)方程中參數(shù)可以是有物理意義，幾何意義，也可以沒(méi)有明顯意義(2) 同一曲線選取的參數(shù)不同，曲線的參數(shù)方程形式也不一樣(1)圓 X2+y2=r2參數(shù)方程丿X = r cos日y = r sin 日（2）圓（x-Xo）2（y yo）2二 r2參數(shù)方程為:lxo+COs9（。為參數(shù)）= y0+ r sin 日2 寫出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。3 能模仿圓參數(shù)方程的推導(dǎo)，寫出圓錐曲線的參數(shù)方程嗎?、講解新課:2 21橢圓的推導(dǎo)：橢圓務(wù)召a b二 1 參數(shù)方程x = a c o S亠口（日為參數(shù)）2.雙曲線的參數(shù)方程：雙曲線2 2于計(jì)參數(shù)方程X=aseC（日為參數(shù)）=bta n3.拋物

12、線的參數(shù)方程：拋物線y2=2Px 參數(shù)方程x = 2Pt2X 2Pt（t 為參數(shù)）（3）在實(shí)際問(wèn)題中要確定參數(shù)的取值范圍2、 參數(shù)方程的意義：參數(shù)方程是曲線點(diǎn)的位置的另一種表示形式，它借助于中間變量把曲線上的動(dòng)點(diǎn)的兩 個(gè)坐標(biāo)間接地聯(lián)系起來(lái)，參數(shù)方程與變通方程同等地描述，了解曲線，參數(shù)方程實(shí)際上是 一個(gè)方程組，其中 x， y 分別為曲線上點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。3、 參數(shù)方程求法（1）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn) P 坐標(biāo)為（x, y）（2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù)（3） 根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，物理意義，建立點(diǎn)P 坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式（4）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程4、 關(guān)于參數(shù)方程

13、中參數(shù)的選取選取參數(shù)的原則是曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)參數(shù)的關(guān)系比較明顯關(guān)系相對(duì)簡(jiǎn)單。與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題選取時(shí)間 t 做參數(shù)與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)問(wèn)題選取角 北故參數(shù)或選取有向線段的數(shù)量、長(zhǎng)度、直線的傾斜斜角、斜率等。二、典型例題：例 1 設(shè)炮彈發(fā)射角為，發(fā)射速度為 Vo，（1）求子彈彈道曲線的參數(shù)方程（不計(jì)空氣阻力）（2）若 V。=100m/s，當(dāng)炮彈發(fā)出 2 秒時(shí)，61求炮彈高度2求出炮彈的射程 例 2.求橢圓的參數(shù)方程（見(jiàn)教材 P.4C）2 2乂vx=acolS橢圓 篤+存=1 參數(shù)方程 丿（日為參數(shù)）a by = bs i nx = 3 cos 日變式訓(xùn)練 1.已知橢圓丿（8 為參數(shù)）y =2si nd求

14、（1）時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn) P 的坐標(biāo)6（2）直線 OP 的傾斜角變式訓(xùn)練 2 A 點(diǎn)橢圓長(zhǎng)軸一個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn) P,使/ OPA=90,其中 O 為 橢圓中心，求橢圓離心率 e 的取值范圍。例 3.把圓 x2y2-6x =0 化為參數(shù)方程（1） 用圓上任一點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)的弦和 x 軸正半軸夾角二為參數(shù)（2） 用圓中過(guò)原點(diǎn)的弦長(zhǎng) t 為參數(shù)三、 鞏固與練習(xí)四、 小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1. 選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線的方程的方法；2. 體會(huì)參數(shù)的意義五、 課后作業(yè)：教材 P34 習(xí)題 2.2圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用教學(xué)目的：知識(shí)與技能：利用圓錐曲線的參數(shù)方程來(lái)確定最值，解決有關(guān)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題過(guò)程與方法：選

15、擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程求最值。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)方程求最值。教學(xué)難點(diǎn)：正確使用參數(shù)式來(lái)求解最值問(wèn)題 授課類型：新授課教學(xué)模式：講練結(jié)合教學(xué)過(guò)程：一、 復(fù)習(xí)引入：通過(guò)參數(shù)二簡(jiǎn)明地表示曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)將解析幾何中以計(jì)算問(wèn)題化為三角問(wèn)題，從而運(yùn)用三角性質(zhì)及變換公式幫助求解諸如最值，參數(shù)取值范圍等問(wèn)題。二、 講解新課：例 1 求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值變式訓(xùn)練 12 2橢圓yX21T=1( a b 0 )與 x 軸正向交于點(diǎn) A，若這個(gè)橢圓上存在點(diǎn) P,使 0Pa b丄 AP, (O 為原點(diǎn))，求離心率 e 的范圍。2 2例 2.

16、AB 為過(guò)橢圓- 1 中心的弦，F(xiàn)i，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，求 ABFi面積的最大值。2516例 3.拋物線 y2=4x 的內(nèi)接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其重心恰是拋物線的焦點(diǎn)，求內(nèi)接三角形的周長(zhǎng)。例 4、過(guò) P (0，1)到雙曲線 x2-y2=1最小距離變式訓(xùn)練 2：2設(shè) P 為等軸雙曲線 X2-y2=1 上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩個(gè)焦點(diǎn)，證明|F1P，F(xiàn)2P = 0P例 5，在拋物線 y2=4ax(a 0)的頂點(diǎn)，引兩互相垂直的兩條弦 OA，OB，求頂點(diǎn) O 在AB 上射影 H 的軌跡方程。三、 鞏固與練習(xí)四、 小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：適當(dāng)使用參數(shù)表示已知曲線上的點(diǎn)用以求最值問(wèn)題五、 課后作業(yè)：直線

17、的參數(shù)方程教學(xué)目的：知識(shí)與技能：了解直線參數(shù)方程的條件及參數(shù)的意義過(guò)程與方法：能根據(jù)直線的幾何條件，寫出直線的參數(shù)方程及參數(shù)的意義情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。教學(xué)重點(diǎn)：曲線參數(shù)方程的定義及方法教學(xué)難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出曲線的參數(shù)方程授課類型：新授課教學(xué)模式：?jiǎn)l(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué)一、復(fù)習(xí)引入：1 寫出圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式和對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程。圓 x2+y2=r2參數(shù)方程丿 cos（日為參數(shù)）y = r sin 廿（2）圓（x-x）2+（y y。）2=r2參數(shù)方程為：丿X Xor co弓（日為參數(shù)） = y0+ r sin。2寫出橢圓參數(shù)方程.3復(fù)習(xí)方向向量的概念提出

18、問(wèn)題：已知直線的一個(gè)點(diǎn)和傾斜角，如何表示直線的參數(shù)方程？、講解新課：1、教師引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)直線的參數(shù)方程:過(guò)定點(diǎn) P（Xo,y。）傾斜角為的直線的參數(shù)方程X = x0+tc OS y = y0+ts i n2、辨析直線的參數(shù)方程:T 的幾何意義是指它表示點(diǎn) PP 的長(zhǎng),帶符號(hào)三、直線的參數(shù)方程應(yīng)用：課本例題 ,此略.四、小結(jié)：（1）直線參數(shù)方程求法（2）直線參數(shù)方程的特點(diǎn)（ 3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì)，注意參數(shù)的意義五、作業(yè)：課本 P39 習(xí)題 2.3參數(shù)方程與普通方程互化教學(xué)目的：知識(shí)與技能 ：掌握參數(shù)方程化為普通方程幾種基本方法過(guò)程與方法 ：選取適當(dāng)?shù)膮?shù)化普通方程為參數(shù)方程情感、態(tài)度

19、與價(jià)值觀 ：通過(guò)觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí) 教學(xué)重點(diǎn) ：參數(shù)方程與普通方程的互化 教學(xué)難點(diǎn) ：參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性授課類型 ：新授課教學(xué)模式 ：?jiǎn)l(fā)、誘導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué) .教學(xué)過(guò)程 ：（t 為參數(shù)）一、 復(fù)習(xí)引入：（1）圓的參數(shù)方程（2）橢圓的參數(shù)方程二、 講解新課：1、參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程就是消參過(guò)程常見(jiàn)方法有三種：(1)代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù) t,然后代入消去參數(shù) (2)三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)(3)整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，從整體上消去?；瘏?shù)方程為普通方程為 F(x, y)=0 :在消參過(guò)程中注意變量 x、y 取值范圍的一致必須根據(jù)參

20、數(shù)的取值范圍，確定f(t)和 g(t)值域得 x、y 的取值范圍。(6)過(guò)定點(diǎn) P(xo,yo)傾斜角為的直線的參數(shù)方程X = X0+tc OE，厶(t 為參數(shù))y =y0+ts i n典型例題1、將下列參數(shù)方程化為普通方程 = si n 日 + cos9y =sin 20變式訓(xùn)練 1性,2、常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程(1)圓 x2+y2=r2參數(shù)方程丿X = r cos日y =rsin 日(2)圓(x-Xo)2(y y)2=r2參數(shù)方程為:X0+co前(。為參數(shù))y = y0+ r si n 日(3)(4)雙曲線2X2a2殳“參數(shù)方程x=aseC(日為參數(shù))= bt a n(5)拋物線= 2Px 參

21、數(shù)方程乂如2(t 為參數(shù)).y =2Ptx =t2-2t2(3)t 1t 22tt 2x =(4)y =21 t22t1 t2x = 2(t(5)y =3(ty=2求厶 F1F2的重心 G 的軌跡的普通方程當(dāng)點(diǎn) P 繞 O 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) M 的軌跡的參數(shù)方程。變式訓(xùn)練 3：已知 P(x,y)為圓(x-1)2(y-1)2=4 上任意一點(diǎn)，求 x y 的最大值和最小值。三、鞏固與練習(xí)四、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:熟練記憶把參數(shù)方程化為普通方程的幾種方法。2、(1)方程*x1表示的曲線A、一條直線B、兩條射線C、一條線段D、拋物線的一部分(2)下列方程中，當(dāng)方程y2= x表示同一曲線的點(diǎn)

22、廣丄廠2x =tx =sin t2B、丿1 - xos2t x =-D、1 + cos2t例 2 化下列曲線的參數(shù)方程為普通方程，并指出它是什么曲線(1)(t 是參數(shù))(2)x = 2co s y= c o s&(二是參數(shù))1 -2t21 2t2(t 是參數(shù))變式訓(xùn)練 2。P 是雙曲線x=4sin 日j =3ta n 日(t 是參數(shù))上任一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該焦點(diǎn):例 3、已知圓 0 半徑為 1，P 是圓上動(dòng)點(diǎn),Q(4，0)是 x 軸上的定點(diǎn)，M 是 PQ 的中點(diǎn),x一1 2t2五、課后作業(yè)：見(jiàn)教材 53 頁(yè) 2.345圓的漸開(kāi)線與擺線教學(xué)目的:知識(shí)與技能：了解圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程，了解擺線的生成過(guò)程及它的參數(shù)方程 過(guò)程與方