中考數(shù)學壓軸題

1、.一、函數(shù)與幾何綜合的壓軸題1.（2004安徽蕪湖）如圖，在平面直角坐標系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D且AD與B相交于E點.已知：A(-2,-6),C(1,-3)(1) 求證：E點在y軸上；(2) 如果有一拋物線經(jīng)過A，E，C三點，求此拋物線方程.(3) 如果AB位置不變，再將DC水平向右移動k(k>0)個單位，此時AD與BC相交于E點，如圖，求AEC的面積S關于k的函數(shù)解析式.圖C（1+k，-3）A（2，-6）BDOxEyC（1，-3）A（2，-6）BDOxEy圖解（1）（本小題介紹二種方法，供參考）方法一：過E作EOx軸，垂足OABEODC又DO+BO=DBAB=6，

2、DC=3，EO=2又，DO=DO，即O與O重合，E在y軸上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直線方程：y=2x-2再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直線方程：y=-x-2 聯(lián)立得E點坐標（0，-2），即E點在y軸上（2）設拋物線的方程y=ax2+bx+c(a0)過A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三點，得方程組解得a=-1,b=0,c=-2拋物線方程y=-x2-2（3）（本小題給出三種方法，供參考）由（1）當DC水平向右平移k后，過AD與BC的交點E作EFx軸垂足為F。同（1）可得： 得：EF=2方法一：又EFAB，SAEC= SADC- SEDC=DB=3+

3、kS=3+k為所求函數(shù)解析式方法二： BADC，SBCA=SBDASAEC= SBDES=3+k為所求函數(shù)解析式.證法三：SDECSAEC=DEAE=DCAB=12同理：SDECSDEB=12,又SDECSABE=DC2AB2=14S=3+k為所求函數(shù)解析式.2. （2004廣東茂名）已知：如圖，在直線坐標系中，以點M（1，0）為圓心、直徑AC為的圓與y軸交于A、D兩點.（1）求點A的坐標； （2）設過點A的直線yxb與x軸交于點B.探究：直線AB是否M的切線.并對你的結(jié)論加以證明； （3）連接BC，記ABC的外接圓面積為S1、M面積為S2，若，拋物線yax2bxc經(jīng)過B、M兩點，且它的頂點到

4、軸的距離為.求這條拋物線的解析式. 解（1）解：由已知AM，OM1， 在RtAOM中，AO， 點A的坐標為A（0，1）（2）證：直線yxb過點A（0，1）10b即b1yx1令y0則x1B（1，0），AB在ABM中，AB，AM，BM2ABM是直角三角形，BAM90°直線AB是M的切線（3）解法一：由得BAC90°，AB，AC2， BC BAC90°ABC的外接圓的直徑為BC，ABCDxM·y而，設經(jīng)過點B（1，0）、M（1，0）的拋物線的解析式為：ya（1）（x1），（a0）即yax2a，a±5，a±5拋物線的解析式為y5x25或y5x

5、25 解法二：（接上） 求得h5 由已知所求拋物線經(jīng)過點B（1，0）、M（1、0），則拋物線的對稱軸是y軸，由題意得拋物線的頂點坐標為（0，±5）拋物線的解析式為ya（x0）2±5 又B（1,0）、M（1,0）在拋物線上，a±50， a±5拋物線的解析式為 y5x25或y5x25 解法三：（接上）求得h5因為拋物線的方程為yax2bxc（a0）由已知得拋物線的解析式為 y5x25或y5x25. 3.(2004湖北荊門)如圖，在直角坐標系中，以點P（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點，拋物線過點A、B，且頂點C在P上.(1)求P上劣弧的長；(

6、2)求拋物線的解析式；ABCOxy·P（1，1）(3)在拋物線上是否存在一點D，使線段OC與PD互相平分.若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.解（1）如圖，連結(jié)PB，過P作PMx軸，垂足為M.在RtPMB中，PB=2,PM=1, MPB60°，APB120°ABCOxyP（1，1）·M的長（2）在RtPMB中，PB=2,PM=1,則MBMA.又OM=1，A（1，0），B（1，0），由拋物線及圓的對稱性得知點C在直線PM上，則C(1，3). 點A、B、C在拋物線上，則解之得拋物線解析式為（3）假設存在點D，使OC與PD互相平分，則四邊形OPCD為

7、平行四邊形，且PCOD.又PCy軸，點D在y軸上，OD2，即D（0，2）. 又點D（0，2）在拋物線上，故存在點D（0，2），使線段OC與PD互相平分. 4.（2004湖北襄樊）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，RtABC的直角頂點C（0，）在軸的正半軸上，A、B是軸上是兩點，且OAOB31，以OA、OB為直徑的圓分別交AC于點E，交BC于點F.直線EF交OC于點Q.（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）請猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關系.并證明你的猜想.AyxBEFO1QOO2C（3）在AOC中，設點M是AC邊上的一個動點，過M作MNAB交OC于點N.試問：在軸上是否存在點P，使得PM

8、N是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形.若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由.解 (1)在RtABC中，OCAB，AOCCOB.OC2OA·OB.OAOB31,C(0,),BAEFO1QOO2yx2134NMPCOB1.OA3.A(-3,0),B(1,0).設拋物線的解析式為則解之，得經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為(2)EF與O1、O2都相切.證明：連結(jié)O1E、OE、OF.ECFAEOBFO90°,四邊形EOFC為矩形.QEQO.12.34,2+490°，EF與O1相切.同理：EF理O2相切.(3)作MPOA于P，設MNa,由題意可得MPMNa. M

9、NOA,CMNCAO.解之，得此時，四邊形OPMN是正方形.考慮到四邊形PMNO此時為正方形，點P在原點時仍可滿足PNN是以MN為一直角邊的等腰直角三角形.故軸上存在點P使得PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形且或5.（2004湖北宜昌）如圖，已知點A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC為對角線的矩形ABCD內(nèi)部(不在各邊上)的個動點，點D在y軸，拋物線yax2+bx+1以P為頂點(1)說明點A、C、E在一條條直線上；(2)能否判斷拋物線yax2+bx+1的開口方向"請說明理由；(3)設拋物線yax2+bx+1與x軸有交點F、G(F在G的左側(cè))，GAO與FAO的面積

10、差為3，且這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點這時能確定a、b的值嗎"若能，請求出a、b的值；若不能，請確定a、b的取值范圍XOPDCABY(本題圖形僅供分析參考用)解 （1）由題意，A(0，1)、C(4，3)確定的解析式為：y=x+1.將點E的坐標E(，)代入y=x+1中，左邊=，右邊=×+1=，左邊=右邊，點E在直線y=x+1上，即點A、C、E在一條直線上.（2）解法一：由于動點P在矩形ABCD內(nèi)部，點P的縱坐標大于點A的縱坐標，而點A與點P都在拋物線上，且P為頂點，這條拋物線有最高點，拋物線的開口向下解法二：拋物線y=ax2+bx+c的頂點P的縱坐標為，且P在矩形AB

11、CD內(nèi)部，13，由11得0，a0，拋物線的開口向下. XGFOPDECABY（3）連接GA、FA，SGAOSFAO=3 GO·AOFO·AO=3 OA=1，GOFO=6. 設F（x1,0）、G（x2,0），則x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩個根，且x1x2，又a0，x1·x2=0，x10x2，GO= x2，F(xiàn)O= x1，x2（x1）=6，即x2+x1=6，x2+x1= =6，b= 6a, 拋物線解析式為：y=ax26ax+1, 其頂點P的坐標為（3，19a）, 頂點P在矩形ABCD內(nèi)部， 由方程組y=ax26ax+1y=x+1得：ax2（6a+）x=011

12、9a3, a0. x=0或x=6+.當x=0時，即拋物線與線段AE交于點A，而這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點，則有：06+，解得：a綜合得：ab= 6a，b0xy6.（2004湖南長沙）已知兩點O(0，0)、B(0，2)，A過點B且與x軸分別相交于點O、C，A被y軸分成段兩圓弧，其弧長之比為31，直線l與A切于點O，拋物線的頂點在直線l上運動.（1）求A的半徑；（2）若拋物線經(jīng)過O、C兩點，求拋物線的解析式；（3）過l上一點P的直線與A交于C、E兩點，且PCCE，求點E的坐標；（4）若拋物線與x軸分別相交于C、F兩點，其頂點P的橫坐標為m，求PEC的面積關于m的函數(shù)解析式.解(1)由弧長

13、之比為31，可得BAO90º 再由ABAOr，且OB2，得r(2)A的切線l過原點，可設l為ykx任取l上一點(b，kb)，由l與y軸夾角為45º可得：bkb或bkb，得k1或k1，直線l的解析式為yx或yx 又由r，易得C(2，0)或C(2，0) 由此可設拋物線解析式為yax(x2)或yax(x2)再把頂點坐標代入l的解析式中得a1拋物線為yx22x或yx22x6分(3)當l的解析式為yx時，由P在l上，可設P(m，m)(m0)過P作PPx軸于P，OP|m|，PP|m|，OP2m2，又由切割線定理可得：OP2PC·PE,且PCCE，得PCPEmPP7分C與P為同

14、一點，即PEx軸于C，m2，E(2，2)8分同理，當l的解析式為yx時，m2，E(2，2) (4)若C(2，0)，此時l為yx，P與點O、點C不重合，m0且m2，當m0時，F(xiàn)C2(2m)，高為|yp|即為m，S同理當0m2時，Sm22m；當m2時，Sm22m；S 又若C(2，0)，此時l為yx，同理可得；SAAB(2,0)CC(2,0)lOPEPxy（2,0）PClOyxCFFFPP7.（2006江蘇連云港）如圖，直線與函數(shù)的圖像交于A、B兩點，且與x、y軸分別交于C、D兩點（1）若的面積是的面積的倍，求與之間的函數(shù)關系式；yx（2）在（1）的條件下，是否存在和，使得以為直徑的圓經(jīng)過點若存在，

15、求出和的值；若不存在，請說明理由解（1）設，(其中)，由，得··(····)， 又，即， 由可得，代入可得yx， ，即 又方程的判別式，所求的函數(shù)關系式為 （2）假設存在,，使得以為直徑的圓經(jīng)過點則，過、分別作軸的垂線，垂足分別為、與都與互余， RtRt， ， ， 即由（1）知，代入得，或，又，或，存在,，使得以為直徑的圓經(jīng)過點，且或 8.（2004江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線與x軸交于兩點、，與y軸交于點C，且AB=6. （1）求拋物線和直線BC的解析式. （2）在給定的直角坐標系中，畫拋物線和直線BC. （3）若過A、B、C三點，求的半徑

16、. （4）拋物線上是否存在點M，過點M作軸于點N，使被直線BC分成面積比為的兩部分.若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.解（1）由題意得：xyO解得經(jīng)檢驗m=1，拋物線的解析式為：或：由得，或拋物線的解析式為由得A（5，0），B（1，0），C（0，5）.設直線BC的解析式為則直線BC的解析式為(2)圖象略.（3）法一：在中，.又的半徑法二：由題意，圓心P在AB的中垂線上，即在拋物線的對稱軸直線上，設P（2，h）（h0），連結(jié)PB、PC，則，由，即，解得h=2. 的半徑.法三：延長CP交于點F.為的直徑，又又的半徑為（4）設MN交直線BC于點E，點M的坐標為則點E的坐標為若則解得（不

17、合題意舍去），若則解得（不合題意舍去），存在點M，點M的坐標為或（15，280）. 9. 如圖，M與x軸交于A、B兩點，其坐標分別為、，直徑CDx軸于N，直線CE切M于點C，直線FG切M于點F，交CE于G，已知點G的橫坐標為3.(1) 若拋物線經(jīng)過A、B、D三點，求m的值及點D的坐標.(2) 求直線DF的解析式.(3) 是否存在過點G的直線，使它與（1）中拋物線的兩個交點的橫坐標之和等于4.若存在，請求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請說明理由.（第9題圖）AyxONMGFEDCB解 (1) 拋物線過A、B兩點，m=3.拋物線為. 又拋物線過點D，由圓的對稱性知點D為拋物線的頂點.D點坐標

18、為. (2) 由題意知：AB=4.CDx軸，NA=NB=2. ON=1.由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC，NC×4=2×2. NC=1.C點坐標為. 設直線DF交CE于P，連結(jié)CF，則CFP=90°.2+3=1+4=90°.GC、GF是切線，F(xiàn)BAyxONMGEDCP1234GC=GF. 3=4.1=2. GF=GP.GC=GP.可得CP=8.P點坐標為設直線DF的解析式為則 解得直線DF的解析式為：(3) 假設存在過點G的直線為，則，. 由方程組 得由題意得，. 當時，方程無實數(shù)根，方程組無實數(shù)解.滿足條件的直線不存在. 10

19、.（2004山西）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（3，6），并與x軸交于點B（1，0）和點C，頂點為P.（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并在下面的坐標系中畫出該二次函數(shù)的圖象；（2）設D為線段OC上的一點，滿足DPCBAC，求點D的坐標；（3）在x軸上是否存在一點M，使以M為圓心的圓與AC、PC所在的直線及y軸都相切.如果存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.解（1）解：二次函數(shù)的圖象過點A（3，6），B（1，0）xOy得解得這個二次函數(shù)的解析式為：由解析式可求P（1，2），C（3，0）畫出二次函數(shù)的圖像 （2）解法一：易證：ACBPCD45°又已知：DPCBACDPCBAC易求

20、解法二：過A作AEx軸，垂足為E.設拋物線的對稱軸交x軸于F.亦可證AEBPFD、.易求：AE6，EB2，PF2 （3）存在.（1°）過M作MHAC，MGPC垂足分別為H、G，設AC交y軸于S，CP的延長線交y軸于TSCT是等腰直角三角形，M是SCT的內(nèi)切圓圓心，MGMHOM又且OMMCOC（2°）在x軸的負半軸上，存在一點M同理OMOCMC，得 M即在x軸上存在滿足條件的兩個點.MT11-1-24-323056E-1-223ACxyBDMFSGHP11.（2004浙江紹興）在平面直角坐標系中，A（1，0），B（3，0）.（1）若拋物線過A，B兩點，且與y軸交于點（0，3）

21、，求此拋物線的頂點坐標；（2）如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A，B兩點的拋物線如果與y軸負半軸交于點C，M為拋物線的頂點，那么ACM與ACB的面積比不變，請你求出這個比值；ABCMOxy（3）若對稱軸是AB的中垂線l的拋物線與x軸交于點E，F(xiàn)，與y軸交于點C，過C作CPx軸交l于點P，M為此拋物線的頂點.若四邊形PEMF是有一個內(nèi)角為60°的菱形，求次拋物線的解析式.解（1），頂點坐標為（1，4）.（2）由題意，設ya（x1）（x3），即yax22ax3a， A（1，0），B（3，0），C（0，3a），M（1，4a）， SACB×4×6，而a0， SACB6A、作MDx軸于

22、D，又SACMSACO SOCMD SAMD·1·3a（3a4a）·2·4aa， SACM：SACB1：6.（3）當拋物線開口向上時，設ya（x1）2k，即yax22axak，有菱形可知，ak0，k0， k， yax22ax， .記l與x軸交點為D，若PEM60°，則FEM30°，MDDE·tan30°， k，a， 拋物線的解析式為.若PEM120°，則FEM60°，MDDE·tan60°， k，a， 拋物線的解析式為.當拋物線開口向下時，同理可得，.12.（2005北京）已

23、知：在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，拋物線經(jīng)過O、A兩點。（1）試用含a的代數(shù)式表示b；（2）設拋物線的頂點為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在D內(nèi)，它所在的圓恰與OD相切，求D半徑的長及拋物線的解析式；（3）設點B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個動點，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P，使得.若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。解（1）解法一：一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A 點A的坐標為（4，0） 拋物線經(jīng)過O、A兩點 解法二：一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A 點A的坐標為（4，0） 拋物線經(jīng)過O

24、、A兩點 拋物線的對稱軸為直線 （2）由拋物線的對稱性可知，DODA 點O在D上，且DOADAO 又由（1）知拋物線的解析式為 點D的坐標為（） 當時， 如圖1，設D被x軸分得的劣弧為，它沿x軸翻折后所得劣弧為，顯然所在的圓與D關于x軸對稱，設它的圓心為D' 點D'與點D也關于x軸對稱 點O在D'上，且D與D'相切 點O為切點 D'OOD DOAD'OA45° ADO為等腰直角三角形 點D的縱坐標為 拋物線的解析式為 當時， 同理可得： 拋物線的解析式為 綜上，D半徑的長為，拋物線的解析式為或 （3）拋物線在x軸上方的部分上存在點P，使

25、得 設點P的坐標為（x，y），且y0 當點P在拋物線上時（如圖2） 點B是D的優(yōu)弧上的一點 過點P作PEx軸于點E 由解得：（舍去） 點P的坐標為 當點P在拋物線上時（如圖3） 同理可得， 由解得：（舍去） 點P的坐標為 綜上，存在滿足條件的點P，點P的坐標為或13.（2005北京豐臺）在直角坐標系中，經(jīng)過坐標原點O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B。 （1）如圖，過點A作的切線與y軸交于點C，點O到直線AB的距離為，求直線AC的解析式； （2）若經(jīng)過點M（2，2），設的內(nèi)切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會發(fā)生變化，如果不變，求出其值，如果變化，求其變化的范圍。解 （1）如圖1，

26、過O作于G，則設（3，0）AB是的直徑切于A，在中設直線AC的解析式為，則直線AC的解析式為（2）結(jié)論：的值不會發(fā)生變化設的內(nèi)切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T，如圖2所示圖2則在x軸上取一點N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN平分的值不會發(fā)生變化，其值為4。14.（2005福建廈門）已知：O是坐標原點，P（m，n）(m0)是函數(shù)y (k0)上的點，過點P作直線PAOP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點A（a，0）(am). 設OPA的面積為s，且s1. （1）當n1時，求點A的坐標； （2）若OPAP，求k的值； (3 ) 設n是小于20的整數(shù)，且k，求OP2的最小值. 解 過

27、點P作PQx軸于Q，則PQn，OQm(1) 當n1時， sa(2) 解1： OPAP PAOPOPA是等腰直角三角形 mn 1·an即n44n240 k24k40k2 解2： OPAP PAOPOPA是等腰直角三角形mn設OPQ的面積為s1則：s1·mn(1)即：n44n240 k24k40k2 (3) 解1：PAOP， PQOAOPQOAP設：OPQ的面積為s1，則 即： 化簡得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0k2或k(舍去) 當n是小于20的整數(shù)時，k2. OP2n2m2n2又m0，k2，n是大于0且小于20的整數(shù)當n1時，OP25當n2時，OP25

28、當n3時，OP2329當n是大于3且小于20的整數(shù)時，即當n4、5、6、19時，OP2得值分別是：42、52、62、192192182325 OP2的最小值是5. 解2： OP2n2m2n2 n2 (n)4當n 時，即當n時，OP2最??；又n是整數(shù)，而當n1時，OP25；n2時，OP25 OP2的最小值是5. 解3：PAOP， PQOAOPQP AQ化簡得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0k2或k(舍去) 解4：PAOP， PQOAOPQP AQ化簡得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0k2或k(舍去) 解5：PAOP， PQOAOPQOAPOP2OQ

29、3;OA化簡得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0k2或k(舍去) 15.（2005湖北黃岡課改）如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發(fā)，分別坐勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動。（1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式。QAPOC（8，6）B（18，6）A（18，0）xy（2）試在中的拋物線上找一點D，使得以O、A、D為頂點的三角形與AOC全等，

30、請直接寫出點D的坐標。（3）設從出發(fā)起，運動了t秒。如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，并寫出此時t的取值范圍。（4）設從出發(fā)起，運動了t秒。當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由。解 （1）O、C兩點的坐標分別為O，C設OC的解析式為，將兩點坐標代入得：，A，O是軸上兩點，故可設拋物線的解析式為再將C代入得：（2）D（3）當Q在OC上運動時，可設Q，依題意有：，Q，當Q在CB上時，Q點所走過的路程為，OC10，CQQ點的橫坐標為，Q，（4）梯形OABC的周長為44，當Q點OC上時，P運動的路程為，則Q運動的路程為OPQ中，OP邊上的高為：梯形OABC的面積，依題意有：整理得：，這樣的不存在當Q在BC上時，Q走過的路程為，CQ的長為：梯形OCQP的面積3684×這樣的值不存在綜上所述，不存在這樣的值，使得P，Q兩點同時平分梯形的周長和面積16.（2005湖北荊門）已知：如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，ACB90°，（1）求m的值及拋物線頂點坐標；（2）過A、B、C的三點的M交y軸于另一點D，連結(jié)DM并延長交M于點E，過E點的M的切線分別交x軸