2017三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用教案1

1、1.6 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、教學(xué)分析三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型,可以用來(lái)研究很多問(wèn)題,在刻畫(huà)周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)其未來(lái)等方面都發(fā)揮著十分重要的作用. 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用的設(shè)置目的,在于加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫(huà)周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí).本節(jié)教材通過(guò)4個(gè)例題,循序漸進(jìn)地從四個(gè)層次來(lái)介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用,在素材的選擇上注意了廣泛性、真實(shí)性和新穎性,同時(shí)又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì)(特別是周期性)的應(yīng)用.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生解決有一定綜合性和思考水平的問(wèn)題,培養(yǎng)他們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)解決問(wèn)題的能力.培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.由于實(shí)際問(wèn)題常常涉及一些復(fù)雜數(shù)據(jù),

2、因此要鼓勵(lì)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器處理數(shù)據(jù),包括建立有關(guān)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合等.二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟:(1)根據(jù)圖象建立解析式; (2)根據(jù)解析式作出圖象; (3)將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型.2、過(guò)程與方法：選擇合理三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，注意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來(lái)幫助理解問(wèn)題。切身感受數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用及數(shù)學(xué)和日常生活和其它學(xué)科的聯(lián)系。3、情態(tài)與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí);提高學(xué)生利用信息技術(shù)處理一些實(shí)際計(jì)算的能力。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):分析、整理

3、、利用信息,從實(shí)際問(wèn)題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)建立三角函數(shù)模型,用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn):將某些實(shí)際問(wèn)題抽象為三角函數(shù)的模型,并調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.四、教學(xué)設(shè)想：三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用（一）一、導(dǎo)入新課 思路1.(問(wèn)題導(dǎo)入)既然大到宇宙天體的運(yùn)動(dòng),小到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)以及現(xiàn)實(shí)世界中具有周期性變化的現(xiàn)象無(wú)處不在,那么究竟怎樣用三角函數(shù)解決這些具有周期性變化的問(wèn)題？它到底能發(fā)揮哪些作用呢？由此展開(kāi)新課. 思路2.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì),特別研究了三角函數(shù)的周期性.在現(xiàn)實(shí)生活中,如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性,那么是否可以借助三角函數(shù)來(lái)描述呢？回

4、憶必修1第三章第二節(jié)“函數(shù)模型及其應(yīng)用”,面臨一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,應(yīng)當(dāng)如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫(huà)它呢？以下通過(guò)幾個(gè)具體例子,來(lái)研究這種三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用.二、推進(jìn)新課、新知探究、提出問(wèn)題回憶從前所學(xué),指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的模型都是常用來(lái)描述現(xiàn)實(shí)世界中的哪些規(guī)律的?數(shù)學(xué)模型是什么,建立數(shù)學(xué)模型的方法是什么?上述的數(shù)學(xué)模型是怎樣建立的?怎樣處理搜集到的數(shù)據(jù)? 活動(dòng):師生互動(dòng),喚起回憶,充分復(fù)習(xí)前面學(xué)習(xí)過(guò)的建立數(shù)學(xué)模型的方法與過(guò)程.對(duì)課前已經(jīng)做好復(fù)習(xí)的學(xué)生給予表?yè)P(yáng),并鼓勵(lì)他們類比以前所學(xué)知識(shí)方法,繼續(xù)探究新的數(shù)學(xué)模型.對(duì)還沒(méi)有進(jìn)入狀態(tài)的學(xué)生,教師要幫助回憶并快速激起相應(yīng)的知識(shí)方法.在教師的引

5、導(dǎo)下,學(xué)生能夠較好地回憶起解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程是:收集數(shù)據(jù)畫(huà)散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型求解函數(shù)模型檢驗(yàn)用函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題. 這點(diǎn)很重要,學(xué)生只要有了這個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ),本節(jié)的簡(jiǎn)單應(yīng)用便可迎刃而解.新課標(biāo)下的教學(xué)要求,不是教師給學(xué)生解決問(wèn)題或帶領(lǐng)學(xué)生解決問(wèn)題,而是教師引領(lǐng)學(xué)生逐步登高,在合作探究中自己解決問(wèn)題,探求新知.討論結(jié)果:描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長(zhǎng)規(guī)律的函數(shù)模型.簡(jiǎn)單地說(shuō),數(shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抽象概括,再?gòu)臄?shù)學(xué)角度來(lái)反映或近似地反映實(shí)際問(wèn)題時(shí),所得出的關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述.數(shù)學(xué)模型的方法,是把實(shí)際問(wèn)題加以抽象概括,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,利用這些模型來(lái)研究實(shí)際問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法.解決問(wèn)題的

6、一般程序是:1審題:逐字逐句的閱讀題意,審清楚題目條件、要求、理解數(shù)學(xué)關(guān)系；2建模:分析題目變化趨勢(shì),選擇適當(dāng)函數(shù)模型；3求解:對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究得到數(shù)學(xué)結(jié)論；4還原:把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的解答.畫(huà)出散點(diǎn)圖,分析它的變化趨勢(shì),確定合適的函數(shù)模型.三、應(yīng)用示例例1 如圖1, 某地一天從614時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=sin(x+)+b.圖1(1)求這一天的最大溫差;(2)寫(xiě)出這段曲線的函數(shù)解析式. 活動(dòng):這道例題是2002年全國(guó)卷的一道高考題,探究時(shí)教師與學(xué)生一起討論.本例是研究溫度隨時(shí)間呈周期性變化的問(wèn)題.教師可引導(dǎo)學(xué)生思考,本例給出模型了嗎？給出的模型函數(shù)是什么？要解決

7、的問(wèn)題是什么？怎樣解決？然后完全放給學(xué)生自己討論解決. 題目給出了某個(gè)時(shí)間段的溫度變化曲線這個(gè)模型.其中第(1)小題實(shí)際上就是求函數(shù)圖象的解析式,然后再求函數(shù)的最值差.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察思考:“求這一天的最大溫差”實(shí)際指的是“求6是到14時(shí)這段時(shí)間的最大溫差”,可根據(jù)前面所學(xué)的三角函數(shù)圖象直接寫(xiě)出而不必再求解析式.讓學(xué)生體會(huì)不同的函數(shù)模型在解決具體問(wèn)題時(shí)的不同作用.第(2)小題只要用待定系數(shù)法求出解析式中的未知參數(shù),即可確定其解析式.其中求是利用半周期(14-6),通過(guò)建立方程得解.解:(1)由圖可知,這段時(shí)間的最大溫差是20 .(2)從圖中可以看出,從614時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin(x+)

8、+b的半個(gè)周期的圖象,A=(30-10)=10,b= (30+10)=20.=14-6,=.將x=6,y=10代入上式,解得=. 綜上,所求解析式為y=10sin(x+)+20,x6,14. 點(diǎn)評(píng):本例中所給出的一段圖象實(shí)際上只取614即可,這恰好是半個(gè)周期,提醒學(xué)生注意抓關(guān)鍵.本例所求出的函數(shù)模型只能近似刻畫(huà)這天某個(gè)時(shí)段的溫度變化情況,因此應(yīng)當(dāng)特別注意自變量的變化范圍,這點(diǎn)往往被學(xué)生忽略掉.例2 2007全國(guó)高考 函數(shù)y=|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是( )A.(,) B.(,) C.(,) D.(,2)答案:C例3 如圖2,設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為,為此時(shí)太陽(yáng)直射緯度,為該地的緯度值

9、,那么這三個(gè)量之間的關(guān)系是=90-|-|.當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?冬半年取負(fù)值. 如果在北京地區(qū)(緯度數(shù)約為北緯40)的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓,要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋,兩樓的距離不應(yīng)小于多少? 活動(dòng): 如圖2本例所用地理知識(shí)、物理知識(shí)較多,綜合性比較強(qiáng),需調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)來(lái)幫助理解問(wèn)題,這是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn).在探討時(shí)要讓學(xué)生充分熟悉實(shí)際背景,理解各個(gè)量的含義以及它們之間的數(shù)量關(guān)系. 首先由題意要知道太陽(yáng)高度角的定義:設(shè)地球表面某地緯度值為,正午太陽(yáng)高度角為,此時(shí)太陽(yáng)直射緯度為,那么這三個(gè)量之間的關(guān)系是=90-|-|.當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?冬半年取負(fù)值. 根據(jù)地理知識(shí),能夠被

10、太陽(yáng)直射到的地區(qū)為南、北回歸線之間的地帶,圖形如圖3,由畫(huà)圖易知太陽(yáng)高度角、樓高h(yuǎn)0與此時(shí)樓房在地面的投影長(zhǎng)h之間有如下關(guān)系: h0=htan. 由地理知識(shí)知,在北京地區(qū),太陽(yáng)直射北回歸線時(shí)物體的影子最短,直射南回歸線時(shí)物體的影子最長(zhǎng).因此,為了使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被遮擋,應(yīng)當(dāng)考慮太陽(yáng)直射南回歸線時(shí)的情況.圖3 解:如圖3,A、B、C分別為太陽(yáng)直射北回歸線、赤道、南回歸線時(shí)樓頂在地面上的投影點(diǎn).要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋,應(yīng)取太陽(yáng)直射南回歸線的情況考慮,此時(shí)的太陽(yáng)直射緯度2326.依題意兩樓的間距應(yīng)不小于MC. 根據(jù)太陽(yáng)高度角的定義, 有C90|40(2326)|263

11、4, 所以MC=2.000h0, 即在蓋樓時(shí),為使后樓不被前樓遮擋,要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距. 點(diǎn)評(píng):本例是研究樓高與樓在地面的投影長(zhǎng)的關(guān)系問(wèn)題,是將實(shí)際問(wèn)題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型,然后根據(jù)所得的函數(shù)模型解決問(wèn)題.要直接根據(jù)圖2來(lái)建立函數(shù)模型,學(xué)生會(huì)有一定困難,而解決這一困難的關(guān)鍵是聯(lián)系相關(guān)知識(shí),畫(huà)出圖3,然后由圖形建立函數(shù)模型,問(wèn)題得以求解.這道題的結(jié)論有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.教學(xué)中,教師可以在這道題的基礎(chǔ)上再提出一些問(wèn)題,如下例的變式訓(xùn)練,激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究.變式訓(xùn)練 某市的緯度是北緯23,小王想在某住宅小區(qū)買房,該小區(qū)的樓高7層,每層3米,樓與樓之間相距15米.要使所買樓

12、層在一年四季正午太陽(yáng)不被前面的樓房遮擋,他應(yīng)選擇哪幾層的房？圖4解:如圖4,由例3知,北樓被南樓遮擋的高度為h=15tan90-(23+2326)=15tan433414.26,由于每層樓高為3米,根據(jù)以上數(shù)據(jù),所以他應(yīng)選3層以上.四、課堂小結(jié)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了三個(gè)層次的三角函數(shù)模型的應(yīng)用,即根據(jù)圖象建立解析式,根據(jù)解析式作出圖象,將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型.你能概括出建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟嗎？2.實(shí)際問(wèn)題的背景往往比較復(fù)雜,而且需要綜合應(yīng)用多學(xué)科的知識(shí)才能解決它.因此,在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),應(yīng)當(dāng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)

13、來(lái)幫助理解問(wèn)題.五、作業(yè)1.圖5表示的是電流I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖5I=Asin(x+)(0,|)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.(1)根據(jù)圖象寫(xiě)出I=Asin(x+)的解析式;(2)為了使I=Asin(x+)中的t在任意一段s的時(shí)間內(nèi)電流I能同時(shí)取得最大值和最小值,那么正整數(shù)的最小值為多少?解:(1)由圖知A=300,第一個(gè)零點(diǎn)為(,0),第二個(gè)零點(diǎn)為(,0),()+=0,+=.解得=100,=,I=300sin(100t+).(2)依題意有T,即,200.故min=629.2.搜集、歸納、分類現(xiàn)實(shí)生活中周期變化的情境模型.解:如以下兩例:人體內(nèi)部的周期性節(jié)律變化和個(gè)人的習(xí)慣性的生理變化,如人體脈搏、呼吸、排泄、體溫、睡眠節(jié)奏、饑餓程度等；蛻皮(tuipi)昆蟲(chóng)綱和甲殼綱等節(jié)肢動(dòng)物,以及線形動(dòng)物等的體表具有堅(jiān)硬的幾丁質(zhì)層,雖有保護(hù)身體的作用,但限制動(dòng)物的生長(zhǎng)、發(fā)