數(shù)列通項公式經(jīng)典例題解析

1、求數(shù)列通項公式-、公式法類型 1an 1anf (n)解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an 1 an f (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例1數(shù)列 何滿足an i 2an 3 2n，印2，求數(shù)列 的通項公式。解: am 2an 3 2n兩邊除以2n 1，得空4 空-，那么% 已 3，故數(shù)列占是2 2 2 2 2 2 2以戈 21為首項，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得a 1 (n 1)3，21 2 22n231所以數(shù)列a*的通項公式為an (n )2“。2 2評注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 an 1 2an 3 2n轉(zhuǎn)化為咎a -，說明數(shù)列2 2 2|n是等差數(shù)列，再直接利用

2、等差數(shù)列的通項公式求出* 1 (n 1)-，進而求出數(shù)列an的通項公式。練習(xí)題：1數(shù)列an滿足an 13an23 1,a13，求數(shù)列an的通項公式。2.數(shù)列an滿足a11，an 12an12 n，求ann例2數(shù)列an滿足an 1an2n 1,a11，求數(shù)列an的通項公式。解：由an 1an 2n 1 得 an 1an2n 1那么an(anan 1) (an 1 an 2)L3a?) aja12(n1) 1 2(n 2)1L (2 21) (2 11) 12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 12 (n 1) 1 2(n 1)(n 1) 12n所以數(shù)列an的通項公式為an n2。評注

3、：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an1 an 2n1轉(zhuǎn)化為an 1 an 2n 1，進而求出(an an 1) (an 1 an 2)L (a? a?) (a2 ajai，即得數(shù)列an的通項公式。二、累乘法類型2 an 1f (n)an解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an 1f (n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。例3數(shù)列an滿足an解:因為an 12( n 1)5nan2(n1)5n a., ai求數(shù)列an的通項公式。anananan 1an，ai3，所以an0，那么也an2(n1)5n ，故1 L 魚魚 an 2a2 ai1)5n 12 (n1) L 3 2 5(n 1n(n 1)5丁 n!ai2

4、(n2n1 n(n3 2n 11)5n2l(n 2) L2(221 31) 522(11) 51所以數(shù)列an的通項公式為an 32nn(n 1)5Fn!.評注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an2(n 1)5 an轉(zhuǎn)化為an 1an2(n1)5n，進而求出anan 1 l魚 aan 1 an 2 a2a1即得數(shù)列an的通項公式。例4數(shù)列an滿足a11， an a1 2a? 3a3(n 1応 1(n 2)，求a.的通項公式。解：因為ana 2a? 3a3L (n 1)am(n 2)所以 an 1 a1 2a2 3a3 L(n 1)an 1 nan用式式得an 1 an nan.那么an 1(n 1)

5、an(n 2)所以ann 1(n2)anan 1an 1an 2a3a2a2n!n(n 1) L 4 3a2a2.2由 a* a1 2a? 3a3 L(n 1)an 1(n 2),取 n 2得a：a1 2a：，那么 a? a1,又知n i a1 1，那么 a2 1，代入得 an 1 3 4 5 L n2n !所以，a*的通項公式為an.n 2評注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 1 (n 1)an(n 2)轉(zhuǎn)化為 也 n 1(n 2),an進而求出-anan 1L魚a2，從而可得當(dāng)n2時，an的表達式，最后再求出數(shù)列an的an 1an 2a2通項公式。練習(xí)題：1數(shù)列an滿足2 a1n，an

6、1an ，求an3n 12a13，an 13n1一 an (n 1)，求an3n 2三、待定系數(shù)法類型3 an 1 pan q (其中P, q均為常數(shù)，(pq(p 1)0)。解法(待定系數(shù)法)：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an 1 t p(an t)，其中t ，再1 P利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例5數(shù)列an滿足an 1 2an 3 5n，印6，求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè) an 1 x 5n 1 2(an x 5n)將an 12an35n代入式，得2a.35nx 5n 12a.2x5n，等式兩邊消去2an，得3 5n x5n1 2x 5n，兩邊除以5n，得3 5x 2x,那么x 1,代入式得ani

7、 5n1 2(an 5n)a5n 1由a1516 5 10及式得a.5n0，那么亠12，那么數(shù)列a.5n是以an 5印511為首項，以2為公比的等比數(shù)列，那么 a.5n 2n 1，故a.2n 15n。評注：此題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 a. 1 2a.3 5“轉(zhuǎn)化為a. 15“12(a.5“)，從而可知數(shù)列a. 5.是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 a. 5.的通項公式，最后再求出數(shù)列a.的通項公式。練習(xí)題1數(shù)列a.滿足a. 1 3a. 5 2“ 4，耳1，求數(shù)列a.的通項公式。練習(xí)題2數(shù)列a.滿足a. 12a.3n2 4n5,1，求數(shù)列a.的通項公式。過關(guān)練習(xí)：1數(shù)列 a.中，a1 1，a. 1 2

8、a. 3，求a.2在數(shù)列 a.中，假設(shè)a1 1,a. 1 2a. 3(. 1)，那么該數(shù)列的通項 a. 四、數(shù)學(xué)歸納法例6數(shù)列a.滿足a. 1 a.8(n 1)_22 ， a(2n 1)2(2 n 3)218-，求數(shù)列a.的通項公式。9解：由a. 1 a.8(2n 1)2(2n 3)2 及9，得8(n 1)a1a2a18(1 1)88224(211)2 (2 13)2992525asa28(2 1)248348(2221) (2 23)225254949a4aa8(3 1)488480(2321) (2 33)249498181由此可猜想an往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(2n 1)2 1(2

9、n 1)2(1 )當(dāng) n 1 時，a(2 1 1)2 1(2 1 1)288，所以等式成立。92假設(shè)當(dāng)n k時等式成立，即ak(2 k 1)2 1(2k 1)2，那么當(dāng)nk 1時,ak 1 ak8(k 1)(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2 18(k 1)(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 3)2 1(2 k 3)22(k 1) 12 1

10、2(k 1) 12由此可知，當(dāng)n k 1時等式也成立。根據(jù)1， 2可知，等式對任何 n N*都成立。n項，進而猜出數(shù)列的通項評注：此題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前 公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。類型an 1解法:bn其他類型4 an 1pan qn (其中 P, q 均為常數(shù)，(pq( Ppan rqn，其中p, q, r均為常數(shù)般地，要先在原遞推公式兩邊同除以an其中bn 嗆，得:qbn 1 bnqqn1，得:靜1再待定系數(shù)法解決。q1)(q 1)衛(wèi)？勺nq q0)?；?-引入輔助數(shù)列q課后練習(xí)題數(shù)列an中，a15，am61an (£)n32，求 an °類型5遞推公式為§與an的關(guān)系式?；騍nf3n 這種類型一般利用an(n 1)SnSn 1f(an)f(an 1)消去 Sn (n 2)或與 Sn進行求解。課后練習(xí)題數(shù)列an前n項和Sn 4 an2n2SnSn 1(n 2)f(Sn Sn 1) (n 2)消去 an1 求an 1與an的關(guān)系；2求通項公式an.類型 6 an 1 pan an b (p