內(nèi)含報(bào)酬率計(jì)算方法

1、.內(nèi)含報(bào)酬率計(jì)算方法計(jì)算內(nèi)含報(bào)酬率是長(zhǎng)期投資決策分析中重要方法之一，它優(yōu)于其他投資分析的主要原因在一于：計(jì)算中考慮到貨幣的時(shí)間價(jià)值。其理論介紹多見于管理會(huì)計(jì)、投資決策等教科書，其計(jì)算方法多囿于插值法（內(nèi)插值法、外插值法）、幾何法（平面幾何相似三角形線段比）。近期，關(guān)于內(nèi)含報(bào)酬率的解法問(wèn)題，又在一些會(huì)計(jì)刑物展開紛紛揚(yáng)揚(yáng)、連篇累牘的討論。以下筆者將多年研究的成果內(nèi)含報(bào)酬率新的解法理論介紹于后。(1) 內(nèi)含報(bào)酬率計(jì)算公式的數(shù)學(xué)描述內(nèi)含報(bào)酬率是指項(xiàng)目壽命期內(nèi)， 資金流入量的現(xiàn)值總額與資金流出量現(xiàn)值總額相等面凈現(xiàn)值等于零時(shí)的折現(xiàn)率。 現(xiàn)金凈流量則是項(xiàng)目投資所引起的未來(lái)的現(xiàn)金流入量減流出量后的凈額。為便于

2、公式的推導(dǎo)，將下文中所涉及的因素用以下符號(hào)表示：N- 凈現(xiàn)值； NCF t第 t 期的現(xiàn)金凈流量； i利息率，折現(xiàn)率； NCF 0初始投資額； I-內(nèi)含報(bào)酬率； n項(xiàng)目有效期； a、 b、 c 分別為常數(shù)。根據(jù)現(xiàn)金凈流量及凈現(xiàn)值定義，凈現(xiàn)值的通項(xiàng)公式可用以下關(guān)系式表示：N=NCF 1（ 1+i ） -1+ NCF 2（ 1+i ） -2+ NCFt（ 1+i ） -t NCF 0nNCFt (1i ) tNCF0=（1）t1下面我們來(lái)看i 變動(dòng)對(duì) N 的影響， 也即討論值現(xiàn)值與折現(xiàn)率、折現(xiàn)率與內(nèi)含報(bào)酬率的關(guān)系：當(dāng) i=0 時(shí)：nN0= lim N = limNCFt (1+i) -t-NCF

3、0i0i 0t 1n=NCFt - NCF 0(2)t1即當(dāng)折現(xiàn)率趨于零時(shí)，凈現(xiàn)值恰是未折現(xiàn)的現(xiàn)金流入量與流出量之間的差。當(dāng) i=I 時(shí)nNCFt (1+i) -t-NCF 0=0NI =(3)t1'.即內(nèi)含報(bào)酬率正是凈現(xiàn)值為零時(shí)的折現(xiàn)率，它表明了折現(xiàn)率與內(nèi)含報(bào)酬率的關(guān)系。當(dāng) i時(shí)：nN = lim NlimNCFt (1+i) -t -NCF0 =-NCF 0（ 4）it 1表明凈現(xiàn)值趨于原始投入的相反值，現(xiàn)金流入量趨于零，N 的值汽車于N=-NCF 0 直線。圖示一：以上 i 變動(dòng)與凈現(xiàn)值的關(guān)系，以及折現(xiàn)率與內(nèi)含報(bào)酬率的關(guān)系，可用解析圖一表示：由以上數(shù)學(xué)分析和圖示解析可見： i 由

4、 0時(shí)， N 由 N0 NCF0， N 隨 i 增大而減少，隨 i 減小而增大，這說(shuō)明凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間存在著反比例曲線關(guān)系。凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率的關(guān)系線(0，N0P（ I,0）內(nèi)含報(bào)酬率點(diǎn)(0， 0)i(0， N-NCF 0)N-NCF 0(2) 關(guān)于內(nèi)含報(bào)酬率的近似值的問(wèn)題現(xiàn)行的內(nèi)含報(bào)酬率的解多采用插值法（也有用平面幾何相似三角形線段比求得），其實(shí)質(zhì)是以直代曲，故通常我們求出的“內(nèi)含報(bào)酬率”是其近似值，即凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間雖是反比例曲線關(guān)系，但我們假設(shè)小區(qū)間內(nèi)或瞬間表現(xiàn)為直線，這樣就可以求出I 的近似值。以下，我們通過(guò)圖示和計(jì)算實(shí)例來(lái)討論選擇不同測(cè)試點(diǎn)對(duì)內(nèi)含報(bào)酬率的影響。例 某企業(yè)擬投資340

5、萬(wàn)元建一產(chǎn)業(yè)項(xiàng)目，投資建設(shè)期為0 年。項(xiàng)目有效經(jīng)營(yíng)期為 10年，期末無(wú)殘值，每年的現(xiàn)金凈流量為60 萬(wàn)元。即已知： N0=340， N110 =60， n=10。則該投資項(xiàng)目在不同折現(xiàn)率條件下的凈現(xiàn)值如下表所示：折現(xiàn)率 (i)10%11%12%13%14%年金值系數(shù)3.1455.8895.6505.4265.216凈觀值（ I）28.713.34-1-14.44-27.04當(dāng)測(cè)試值選擇在P 兩側(cè)臨近點(diǎn)：11%、 12%時(shí)，則內(nèi)插法計(jì)算（見解折圖示二）圖示二：'.NA(11% ， 13.34)C(i ，0)(0， 0)P（ I， 0）B（ 12%， -1）i折現(xiàn)率：11%X %?%1%1

6、2%凈現(xiàn)值：13.340 13.34 14.341 x=13.34/14.34=0.930265i=11%+0.930365%=11.930265%這里“以直代曲”計(jì)算出的i=11.930265>I ，它只是內(nèi)含報(bào)酬率的近似值。當(dāng)選擇測(cè)試值在P 點(diǎn)一側(cè)（同向）10%、 11%時(shí)，適用外插法計(jì)算（見解析圖三）圖示三：'.NA(10% ， 28.7)B(11% ， 13.34)(0， 0)C（ i， 0）折現(xiàn)率：10%1%11%?%x凈現(xiàn)值：28.713.3428.70x/(1+x)=13.34/28.7x=13.34/15.36=0.86849'. i=11%+0.8684

7、9%=11.86849%可見，求得的內(nèi)含報(bào)酬率的近似值i<I ；同理選擇測(cè)試值在P 點(diǎn)的另一側(cè)時(shí)， i 仍小于 I。選擇測(cè)試值P 點(diǎn)兩側(cè)較遠(yuǎn)點(diǎn)10%、14%時(shí)，仍用插值法計(jì)算（見解析圖示四）圖示四：NA(10% ，28.7)C（ i,0）(0,0)P（ I， 0）B（ 14%， -27.04）i折現(xiàn)率：10%X %?%4%14%凈現(xiàn)值：28.728.7055.7427.04x/4=28.7/55.74x=2.05956'. i=10%+2.05956%=12 。 05956%計(jì)算出的內(nèi)含報(bào)酬率的近似值i>11.930265%>I 。通過(guò)以上選擇不同測(cè)試點(diǎn)計(jì)算結(jié)果比較得

8、知： (1)“以直代曲”計(jì)算出的i 值，只是I 的近似值；（ 2）當(dāng)測(cè)試點(diǎn)選擇在P 點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，計(jì)算出的內(nèi)含報(bào)酬率的近似值大于 I；（ 3）當(dāng)測(cè)試點(diǎn)選擇在 P 點(diǎn)同側(cè)時(shí)，計(jì)算出的內(nèi)含報(bào)酬率的近似值 i 小于 I； (4)測(cè)試點(diǎn)越臨近 P 點(diǎn)，其近似于 I 的值精確度越高。(3)3.內(nèi)含報(bào)酬率新角解析公式法1（直線性方程式）理論依據(jù)。設(shè)凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率之間存在著直線性關(guān)系，有ai+bN=C 成立，那么只要測(cè)算出兩點(diǎn) A 、（ i，N1）、B（ i2，N 2），就能得出凈現(xiàn)值與折現(xiàn)率的特定式；再根據(jù)N=0 時(shí)，求出 i 即內(nèi)含報(bào)酬率 I 的近似值，其解析圖形見圖示五。由 A、B 兩點(diǎn)知：A(i 1 ，

9、N 1)AB ：ai+bN=c內(nèi)含報(bào)酬率點(diǎn)P(i,0)B(i 2， N2)ai1bN1C(5)ai2bN 2C(6)（ 5） -（ 6）得： a(i1 -i2)+b(N 1-N 2)=0b/a=-(i 1-i 2)/(N 1 -N2)(7)又 c/a=i1+N 1b/a=i 1-N1(i 1-i 2)/(N 1-N 2)(8)將一般式變?yōu)椋?i=c/a-Nb/a（ 9）將（ 7）、（ 8）代入 (9)得：i=i 1-N 1(i 1-i 2)/(N 1-N 2)+ (i 1-i 2)N/(N 1 -N2)'.= i 1+(N 1-N 2) (i 1-i 2)/(N 1-N2)當(dāng)N=0時(shí)i

10、= i 1+N1(i 1-i 2)/(N 1 -N2)（10）實(shí)例計(jì)算。為便于與“插值法”計(jì)算結(jié)果對(duì)比，仍用以上例題，并選相應(yīng)的測(cè)蔗點(diǎn)代入計(jì)算。(1) 取折現(xiàn)率分別為 11%、 12% 的測(cè)試值代入 (10)式：i=11%+13.34×(12%-11%)/13.34-(-1)=11%+13.34/1434=11.930265%(2) 取折現(xiàn)率分別為 10%、11% 的測(cè)試值代入 (10)式：i=10%+28.7×(11%-10%)/(28.7-13.34)=10%28.7/1536=11.86849%(3) 取折現(xiàn)率分別為 10%、14% 的測(cè)試值代入 (100 式：i=1

11、0%+28.7×(14%-10%)/28.7-(-27.04)=10%+0.0205956=12.05956%(4) 內(nèi)含報(bào)酬率新解一解析公式法2(反比例曲線性方程式 )理論依據(jù)。根據(jù)凈現(xiàn)值通項(xiàng)公式 (1) ，假設(shè)折現(xiàn)率與凈現(xiàn)值的關(guān)系可用以下反比例曲線方程式描述：N=a/(1+i)+b同樣，我們只要測(cè)試兩次，就可計(jì)算出內(nèi)含報(bào)酬率的近似值，其解析圖見圖示六其公式推導(dǎo)如下：已知： A(i 1，N 1)、 B(i 2、 N 2)兩點(diǎn)圖示六：'.NN=a/(1+i)+bA(i 1， N 1)·內(nèi)含報(bào)酬率點(diǎn)(0， 0)B(i 2， N2)N1a /(1i1 )b(11)有a

12、/(1i2 )b(12)N 2由（ 11） -（ 12）得：N1-N2=a(1+i 1) -1-(1+i2) -1a=(N 1-N 2)(1+i 1 )(1+i 2)(i 2 -i1)-1(13)將 (13)代入 (11)得：b= N 1 12)(1+i1)(1+i2 21)-1(14)-(N -N)(i-i當(dāng) N=0 時(shí)， I=-(a+b)/b（ 15）將 (13)、（ 14）代入 (15)得：'.( N1 N 2 )(1 i 1 )(1i 2 ) 1N1(N1 N 2 )(1 i 2 )(i 2 i 1 ) 1i=N1( N1N2 )(1i 2 ) /(i2 i1 )=i 2N1

13、(i1+1)-i 1N 2(i2 +1)/N 1(i 1+1)-N 2(i2 +1)(16)實(shí)例計(jì)算選折現(xiàn)率分別為11%、12%的測(cè)試值代入(16)式（仍用插值法中舉例）i= 12% 13.34(11%1)11%( 1)(12% 1)13.34(11%1)( 1)(12%1)177.688812.32=100 (14.8074 1.12)= 190.00881592.74=11.92968%選折現(xiàn)率分別為10%、 11%的測(cè)試值代入(16)式：i= 14%28.7(10%1)10%13.34(11%1)28.7(10%1)13.34(11%1)=347.27148.074100 (31.57

14、14.8074)= 199.196 =11。 88336%1676.26選擇折現(xiàn)率分別為10%、 14%的測(cè)試值代入(16)式：14% 28.7(10%1)10% (27.04)(14% 1)i=(10%1)( 27.04)(14%1)28.7'.=.441.98312.36100(31.5731.236)=754.34/6280.6=12.01064%(5) 三種方法計(jì)算結(jié)果比較以上三種方法取相同測(cè)試點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果見下表：采用方法與取點(diǎn)兩側(cè)近點(diǎn)測(cè)試值同向測(cè)試值兩側(cè)遠(yuǎn)點(diǎn)測(cè)試值插值法（或幾何法）11.930265%11.86849%12.05956%（以直代曲）解析公式法 111.9302

15、65%11.86849%12.05956%（以直代曲）解析公式法 211.92968%11.88336%12.01064%（以曲代曲）公式法 2 與以上方法 -5.85 ×10-5 1.487 ×10-4 -4.892 ×10-4 計(jì)算結(jié)果比較計(jì)算結(jié)果表明：1. “插值法”、“幾何法” 、“解析公式法1”，實(shí)質(zhì)都是以直代曲的比例法，計(jì)算結(jié)果一致； 1.在以直代曲的計(jì)算中，測(cè)試值臨近 P 點(diǎn)（內(nèi)含報(bào)酬率點(diǎn)）兩側(cè)時(shí)，救出的 I>I ，而采用以曲代曲解析公式法 2 計(jì)算出的 i 小于用以上各法計(jì)算出的內(nèi)含報(bào)酬率近似值，這說(shuō)明公式法 2 計(jì)算出的結(jié)果精確度高； 3.當(dāng)測(cè)試值取 P 點(diǎn)同向一側(cè)時(shí)， 以直代曲計(jì)算出的i<I ，而以曲代曲計(jì)算出的內(nèi)