小學(xué)奧數(shù)經(jīng)典專題點(diǎn)撥：幾何圖形計數(shù)

1、幾何圖形的計數(shù)【點(diǎn)與線的計數(shù)】例 1如圖 5. 45,每相鄰的三個圓點(diǎn)組成一個小三角形,問:圖中是這樣的小三解形個數(shù)多還是圓點(diǎn)的個數(shù)多? (全國第二屆“華杯賽”決賽試題講析:可用“分組對應(yīng)法”來計數(shù)。將每一排三角形個數(shù)與它的下行線進(jìn)行對應(yīng)比較。 第一排三角形有 1個,其下行線有 2點(diǎn);第二排三角形有 3個,其下行線有 3點(diǎn);第三排三角形有 5個,其下行線有 4點(diǎn);以后每排三角形個數(shù)都比它的下行線上的點(diǎn)多。所以是小三角形個數(shù)多。例 2 直線 m 上有 4個點(diǎn),直線 n 上有 5個點(diǎn)。以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可以 組成多少個三角形?(如圖 5. 46 (哈爾濱市第十一屆小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題講析:本題只要數(shù)出各直

2、線上有多少條線段,問題就好解決了。直線 n 上有 5個點(diǎn),這 5點(diǎn)共可以組成 4+3+2+1=10(條線段。 以這些線段分別為底邊,m 上的點(diǎn)為頂點(diǎn),共可以組成 4×10=40(個三 角形。同理,m 上 4個點(diǎn)可以組成 6條線段。以它們?yōu)榈走?以 n 上的點(diǎn)為 頂點(diǎn)可以組成 6×5=30(個三角形。所以,一共可以組成 70個三角形?！鹃L方形與三角形的計數(shù)】例 1圖 5. 47中的正方形被分成 9個相同的小正方形, 它們一共有 16個頂點(diǎn), 以其中不在一條直線上的 3點(diǎn)為頂點(diǎn), 可以構(gòu)成三角形。 在這些三角形中,與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個? (全國第三屆“華杯賽”復(fù)

3、賽試題 為 3的三角形,或者高為 2,底為 3的三角形,都符合要求。 底邊長為 2,高為 3的三角形有 2×4×4=32(個;高為 2,底邊長為 3的三角形有 8×2=16(個。所以,包括圖中陰影部分三角形共有 48個。例 2 圖 5. 48中共有_個三角形。 (現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題講析:以 A B 邊上的線段為底邊,以 C 為頂點(diǎn)共有三角形 6個; 以 A B 邊上的線段為底邊,分別以 G 、H 、F 為頂點(diǎn)共有三角形 3個;以 B D 邊上的線段為底邊,以 C 為頂點(diǎn)的三角形共有 6個。 所以,一共有 15個三角形。例 3 圖 5. 49中共有_個正方形。

4、(現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽試題講析:可先來看看圖 5. 50的兩個圖中,各含有多少個正方形。 圖 5. 50(1中,正方形個數(shù)是 6×3+5×2+4×1=32(個; 圖 5. 50(2中,正方形個數(shù)是 4×4+3×3+2×2+1×1=30(個 如果把圖 5. 49中的圖形,分成 5×6和 4×11兩個長方形,則: 5×6的長方形中共有正方形5×6+4×5+3×4+2×3+1×2=70(個;4×11的長方形中共有正方形4×11+3&#

5、215;10+2×9+1×8=100(個。兩個長方形相交部分 4×5的長方形中含有正方形4×5+3×4+2×3+1×2=40(個。所以,原圖中共有正方形 70+100-40=130(個。例 4 平面上有 16個點(diǎn),排成一個正方形。每行、每列上相鄰兩點(diǎn)的 距離都相等如圖 5. 51(1,每個點(diǎn)上釘上釘子。以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),用 線將它們圍起來,一共可圍成_個正方形。(小學(xué)生科普報奧林匹克通訊賽試題 講析:能圍成圖 5. 51(2的正方形共 14(個;能圍成圖 5. 51(3的正方形共 2(個;能圍成圖 5. 51(4的正方形共 4

6、(個。所以,一共可圍成正方形 20個。 【立體圖形的計數(shù)】例 1 用 125塊體積相等的黑、白兩種正方體,黑白相間地拼成一個 大正方體 (如圖 5. 52 。 那么, 露在表面上的黑色正方體的個數(shù)是_。 (1991年全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題講析:本題要注意不能重復(fù)計數(shù)。八個頂點(diǎn)上各有一個黑色正方體,共 8個;每條棱的中間有一個黑色正方體,共 12個;除上面兩種情況之外, 每個面有 5個黑色正方體, 共 5×6=30(個 。 所以,總共有 50個黑色正方體露在表面上。例 2把 1個棱長為 3厘米的正方體分割成若干個小正方體,這些小 正方體的棱長必須是整數(shù)。 如果這些小正方體的體積不要求都相等, 那么, 最少可以分割成_個小正方體。(北京市第九屆“迎春杯小學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題講析:若分成|×××|的小正方體,則共可分成 27個。但是分割時,要求正方體盡可能地少,也就是說能分成大正方體的, 盡