數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)問題解決

1、四川省涼山州教育科學(xué)研究所諶 業(yè) 鋒l 涼山州專家型教師 西昌學(xué)院副教授l 涼山州學(xué)術(shù)和技術(shù)帶頭人l 中小學(xué)教育研究室主任 中學(xué)高級(jí)教師歡迎訪問 業(yè)鋒教育在線 http:/http:/諶業(yè)鋒主頁 http:/http:/ 電話：0834小靈通 3687163 E-mail：四川省涼山州教育科學(xué)研究所 諶業(yè)鋒l一、數(shù)學(xué)問題l二、數(shù)學(xué)問題解決l三、數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)策略l（一）對(duì)（一）對(duì)“數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題”的理解的理解l問題是數(shù)學(xué)的心臟。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)一書中曾給出問題明確含義，并從數(shù)學(xué)角度對(duì)問題作了分類。l他指出，所謂“問題問題”就是意味著要去尋就是意味著要去尋找適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，以達(dá)

2、到一個(gè)可見而不立即找適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，以達(dá)到一個(gè)可見而不立即可及的目標(biāo)?？杉暗哪繕?biāo)。l牛津大詞典對(duì)“問題”的解釋是：指指那些并非可以立即求解或較困難的問題，那些并非可以立即求解或較困難的問題，那種需要探索、思考和討論的問題，那種那種需要探索、思考和討論的問題，那種需要積極思維活動(dòng)的問題。需要積極思維活動(dòng)的問題。l在第六屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，“問題解決、模型化及應(yīng)用”課題組提交的課題報(bào)告中，對(duì)“問題”給出了更為明確而富有啟發(fā)意義的界定，指出l一個(gè)問題是對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、一個(gè)問題是對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解問題情境。解問題情境。l

3、該課題組主席奈斯還進(jìn)一步把“數(shù)學(xué)問題解決”中的“問題”具體分為兩類：一類是非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題；另一類是數(shù)學(xué)應(yīng)用問題。這種界定現(xiàn)已經(jīng)逐漸為人們所接受。l我國的張奠宙、劉鴻坤教授在他們的數(shù)學(xué)教育學(xué)里的“數(shù)學(xué)教育中的問題解決”中，對(duì)什么是問題及問題與習(xí)題的區(qū)別作了很好的探討。l綜上，對(duì)“問題”可以有以下幾個(gè)方面的理解和認(rèn)識(shí)：l這種狀態(tài)會(huì)與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生內(nèi)部矛盾沖突，在當(dāng)前狀態(tài)下還沒有易于理解的、沒有完全確定的解答方法或法則。l所謂有問題的狀態(tài)，有問題的狀態(tài)，即這個(gè)人面臨著他們不認(rèn)識(shí)的東西，對(duì)于這種東西又不能僅僅應(yīng)用某種典范的解法去解答，因?yàn)橐粋€(gè)問題一旦可以使使用以前的算法輕易地解答出來，那

4、么它就不是一個(gè)問題了。 l這里的常規(guī)數(shù)學(xué)問題，就是指課本中既已唯一確定的方法或可以遵循的一般規(guī)則、原理，而解法程序和每一步驟也都是完全確定的數(shù)學(xué)問題。 l問題因人因時(shí)而宜，對(duì)于一個(gè)人可能是問題，而對(duì)于另一個(gè)人只不過是習(xí)題或練習(xí)，而對(duì)于第三個(gè)人，卻可能是所然無味了。l隨著人們的數(shù)學(xué)知識(shí)的增長(zhǎng)、能力的提高，原先是問題的東西，現(xiàn)在卻可能變成常規(guī)的問題，或者說已經(jīng)構(gòu)不成問題了。 l（1）可接受性。）可接受性。指學(xué)生能夠接受這個(gè)問題，還可表現(xiàn)出學(xué)生對(duì)該問題的興趣。l（2）障礙性）障礙性。即學(xué)生當(dāng)時(shí)很難看出問題的解法、程序和答案，表現(xiàn)出對(duì)問題的反應(yīng)和處理的習(xí)慣模式的失敗。l（3）探索性。）探索性。該問題又

5、能促使學(xué)生深入地研究和進(jìn)一步的思考，展開各種探究活動(dòng)，尋求新的解題途徑，探求新的處理方法。 l其重要區(qū)別在于:l（1）性質(zhì)不同。）性質(zhì)不同。l中學(xué)數(shù)學(xué)課本中的“習(xí)題”或者“練習(xí)”屬于“常規(guī)問題”，教師在課堂中已經(jīng)提供了典范解法，而學(xué)生只不過是這種典范解法的翻版應(yīng)用，一般不需要學(xué)生較高的思考。因此，實(shí)際上學(xué)生只不過是在學(xué)習(xí)一種算法，或一種技術(shù)，一種應(yīng)用于同一類“問題”的技術(shù)，一種只要避免了無意識(shí)的錯(cuò)誤就能保證成功的技術(shù)。 l盡管有些困難的習(xí)題對(duì)大部份學(xué)生實(shí)際上也可能是真正的問題，但數(shù)學(xué)課本中的習(xí)題是為日常訓(xùn)練技巧等設(shè)計(jì)的，而真正的問題則適合于學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)和探索的技巧，適合于進(jìn)行數(shù)學(xué)原始發(fā)現(xiàn)以及學(xué)習(xí)如

6、何思考。l因此，練習(xí)技巧與解真正問題所要達(dá)到的學(xué)習(xí)目的不大相同，也正因?yàn)樗鼈兏髯苑?wù)于一種目的，所以中學(xué)教學(xué)課本中的“習(xí)題”、“練習(xí)”不應(yīng)該從課本中被除去，而應(yīng)該被保留。l然而，解決了這些常規(guī)問題后，并不意味著已經(jīng)掌握了“問題解決”。 l以問題解決作為數(shù)學(xué)教育的中心事實(shí)上集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)思想的重要變化，也即意味著數(shù)學(xué)教育的一個(gè)根本性的變革，正是在這樣的意義上，數(shù)學(xué)教育家倫伯格指出：解決非單純練習(xí)題式的問題正是數(shù)學(xué)教育改革的一個(gè)中心論題。l那么，從數(shù)學(xué)教育的角度看，究竟什么是一個(gè)“好”的問題，它的標(biāo)準(zhǔn)該是什么？l一般來說，一個(gè)好問題標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：l好問題能啟迪思維，激發(fā)和調(diào)動(dòng)探

7、究意好問題能啟迪思維，激發(fā)和調(diào)動(dòng)探究意識(shí)，展現(xiàn)思維過程。識(shí)，展現(xiàn)思維過程。l如同波利亞所指出的“我們這里所指的問題，不僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨(dú)立見解、判斷力、能動(dòng)性和創(chuàng)造精神”。l這里的“探究性（或創(chuàng)造精神）”的要求應(yīng)當(dāng)是與學(xué)生實(shí)際水平相適應(yīng)的，既然我們的數(shù)學(xué)教育是面向大多數(shù)學(xué)生的。l因此，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生而言，具有探索性或創(chuàng)造性的問題，正是數(shù)學(xué)上“普遍的高標(biāo)準(zhǔn)”，這又并非是“高不可及”的，而是可通過努力得到解決的。l從這個(gè)意義上來說，我們這里說的好問題并不是指問題應(yīng)有較高的難度，這一點(diǎn)與現(xiàn)在數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中所選用的大部份試題是有區(qū)別的。l在競(jìng)賽中，“問題解決”在很大程度上所

8、發(fā)揮的只是一種“篩子”的作用，這是與以“問題解決”作為數(shù)學(xué)教育的中心環(huán)節(jié)和根本目標(biāo)有區(qū)分的。 l一個(gè)好問題的啟發(fā)性不僅指問題的解答中包含著重要的數(shù)學(xué)原理，對(duì)于這些問題或者能啟發(fā)學(xué)生尋找應(yīng)該能夠識(shí)別的模式，或者通過基本技巧的某種運(yùn)用很快地得到解決。l同時(shí)，“問題解決”還能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能的掌握，有利于學(xué)生掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，這就與所謂的“偏題”、“怪題”劃清了界線。 l一個(gè)好問題的可發(fā)展空間是說問題并不一定在找到解答時(shí)就會(huì)結(jié)束，所尋求的解答可能暗示著對(duì)原問題的各部份作種種變化，由此可以引出新的問題和進(jìn)一步的結(jié)論。l問題的發(fā)展性可以把問題延伸、拓廣、擴(kuò)充到一般情形或其他特

9、殊情形，它將給學(xué)生一個(gè)充分自由思考、充分展現(xiàn)自己思維的空間。 l好問題的“開放性”，首先表現(xiàn)在問題來源的“開放”。問題應(yīng)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，與現(xiàn)實(shí)社會(huì)、生活實(shí)際有著直接關(guān)系，這種對(duì)社會(huì)、生活的“開放”，能夠使學(xué)生體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價(jià)值和開展“問題解決”的意義。l同時(shí)，問題的“開放性”，還包括問題具有多種不同的解法，或者多種可能的解答，打破“每一問題都有唯一的標(biāo)準(zhǔn)解答”和“問題中所給的信息都有用”的傳統(tǒng)觀念，這對(duì)于學(xué)生的思想解放和創(chuàng)新能力的發(fā)揮具有極為重要的意義。 l（一）對(duì)（一）對(duì)“問題解決問題解決”的理解的理解 l從國際上看，對(duì)“問題解決”長(zhǎng)期以來有著不同的理解，因而賦予“問題解決”以多種含義，總

10、括起來有以下六種： l例如美國的貝格教授認(rèn)為：“教授數(shù)學(xué)教授數(shù)學(xué)的真正理由是因?yàn)閿?shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，的真正理由是因?yàn)閿?shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，教授數(shù)學(xué)要有利于解決各種問題教授數(shù)學(xué)要有利于解決各種問題”，“學(xué)習(xí)怎樣解決問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目學(xué)習(xí)怎樣解決問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的的”。lE.A.Silver教授也認(rèn)為本世紀(jì)80年代以來，世界上幾乎所有的國家都把提高學(xué)生的問題解決的能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一。l當(dāng)“問題解決”被認(rèn)為是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)目的時(shí)，它就獨(dú)立于特殊的問題，獨(dú)立于一般過程和方法以及數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容，此時(shí)，這種觀點(diǎn)將影響到數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)和確定，并對(duì)課堂教學(xué)實(shí)踐有重要的指導(dǎo)作用。 l例如美國教育咨詢

11、委員會(huì)認(rèn)為“問題解問題解決決”是一種數(shù)學(xué)基本技能，他們對(duì)如何是一種數(shù)學(xué)基本技能，他們對(duì)如何定義和評(píng)價(jià)這項(xiàng)技能進(jìn)行了許多探索和定義和評(píng)價(jià)這項(xiàng)技能進(jìn)行了許多探索和研究。研究。l當(dāng)“問題解決”被視為一個(gè)基本技能時(shí)，它遠(yuǎn)非一個(gè)單一的技巧，而是若干個(gè)技巧的一個(gè)整體，需要人們從具體內(nèi)容、問題的形式、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)求解模型的方法等等綜合考慮。 l例如英國的柯可勞夫特等人認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)在教學(xué)形式中增加討論、研究問題解決和探索等形式，他還指出在英國，教師們還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有把“問題解決”的活動(dòng)形式作為教學(xué)的類型。 l例如21世紀(jì)的數(shù)學(xué)綱要中提出“問題解決”是學(xué)生應(yīng)用以前獲得的知識(shí)投入到新或不熟悉的情境中的一個(gè)過程。l美

12、國的雷布朗斯認(rèn)為：“個(gè)體已經(jīng)形成的有關(guān)過程的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)被用來處理個(gè)體所面臨的問題”？此種解釋，可以使一個(gè)人使用原先所掌握的知識(shí)、技巧以及對(duì)問題的理解來適應(yīng)一種不熟悉狀況所需要的這樣一種手段，它著重考慮學(xué)生用以解決問題的方法、策略和猜想。 l例如在國際教育辭典中指出，“問題解決”的特性是用新穎的方法組合兩個(gè)或更多的法則去解決一個(gè)問題。 l例如1982年英國的Cockcroft report認(rèn)為那種把數(shù)學(xué)用之于各種情況的能力，稱之為“問題解決”。l綜合以上各種觀點(diǎn)，雖然對(duì)“問題解決”的描述不同，形式不一，但是，它們所強(qiáng)調(diào)的有著共同的東西，即“問題解決”不應(yīng)該僅僅理解為一種具體教學(xué)形式或技能，它應(yīng)貫穿

13、在整個(gè)教學(xué)教育之中。l“問題解決”的教學(xué)目的是很明確的，那就是要幫助學(xué)生提高解決實(shí)際問題能力，而且“問題解決”的過程是一個(gè)創(chuàng)造性的活動(dòng)，因而是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一種活動(dòng)？l以下是從文獻(xiàn)中對(duì)“問題解決”的六個(gè)不同的概念： l（1） 解決教科書中標(biāo)題文字題，有也叫做練習(xí)題； l（2） 解決非常規(guī)的問題； l（3） 邏輯問題和“游戲”； l（4） 構(gòu)造性問題； l（5） 計(jì)算機(jī)模擬題； l（6） “現(xiàn)實(shí)生活”情境題。l在“問題解決”中，相當(dāng)一部份是實(shí)際生活中例子。從構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)求解模型的方法，再到檢驗(yàn)與回顧等整個(gè)過程要由學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去設(shè)計(jì)、去創(chuàng)新、去完成，這是“問題解決”與創(chuàng)造性思維密切聯(lián)系之

14、所在。l數(shù)學(xué)教師應(yīng)創(chuàng)造更有利于問題解決的條件，在為所有年級(jí)編制出好的問題并傳授解決問題的技能、技巧的同時(shí)，盡力為學(xué)生的創(chuàng)造性思維提供良好的課堂環(huán)境與機(jī)會(huì)、乃至服務(wù)。 l1、從學(xué)習(xí)心理學(xué)看、從學(xué)習(xí)心理學(xué)看“問題解問題解決決” l從學(xué)習(xí)心理學(xué)角度來看，問題解決一般理解為一種認(rèn)知操作過程或心理活動(dòng)過程。l所謂“問題解決”指的是一系列有目的指向認(rèn)知操作過程，是以思考為內(nèi)涵、以問題為目標(biāo)定向的心理活動(dòng)過程。具體來說，問題解決是指人們面臨新的問題情境、新課題，發(fā)現(xiàn)它與主客觀需要的矛盾而自己缺少現(xiàn)成對(duì)策時(shí)，所引起的尋求處理問題辦法的一種心理活動(dòng)過程。l問題解決是一種帶有創(chuàng)造性的高級(jí)心理活動(dòng)，其核心是思考與探

15、索。l認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，問題解決有兩種基本類型：l一是需要產(chǎn)生新的程序的問題解決，屬于創(chuàng)造性問題解決；l一是運(yùn)用已知或現(xiàn)成程序的問題解決，是常規(guī)性問題解決。l數(shù)學(xué)中的問題解決一般屬于創(chuàng)造性問題解決，不僅需要構(gòu)建適當(dāng)?shù)某绦蜻_(dá)到問題的目標(biāo)，而且更側(cè)重于探索達(dá)到目標(biāo)的過程。 l問題解決有兩種形式的探索途徑：試誤式和頓悟式。l試誤式試誤式是對(duì)頭腦中出現(xiàn)的解決問題的各種途徑進(jìn)行嘗試篩選，直至發(fā)現(xiàn)問題解決的合理途徑。l頓悟式頓悟式是在長(zhǎng)期不懈地思考而又不得其解時(shí)，受某種情境或因素的啟發(fā)，突然發(fā)現(xiàn)解決的方法和途徑或方式。對(duì)中學(xué)生而言，這兩種探索形式都是問題解決不可缺少策略。 l現(xiàn)代學(xué)習(xí)心理學(xué)探究表明，問題分

16、為三種狀態(tài)，即初始狀態(tài)、中間狀態(tài)和目的狀態(tài)。l問題解決就是從問題的初始狀態(tài)開始，尋求適當(dāng)?shù)耐緩胶头椒ㄟ_(dá)到目的狀態(tài)的過程。l因此，問題解決實(shí)質(zhì)上是運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過思考探索新情境中問題結(jié)果和達(dá)到問題的目的狀態(tài)的過程。 l以數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)課題為研究客體的問題解決叫做數(shù)學(xué)問題解決。l一般來說，數(shù)學(xué)問題解決是在一定的問題情境中開始。l所謂問題情境，是指問題的刺激模式，即問題是以什么樣的形態(tài)、方式組成和出現(xiàn)的。l其內(nèi)涵包括三個(gè)方面：其內(nèi)涵包括三個(gè)方面：l第一、個(gè)體試圖達(dá)到某一目標(biāo)；l第二、個(gè)體與目標(biāo)之間存在一定的距離，它將引起學(xué)生內(nèi)部的認(rèn)知矛盾沖突；l第三、能激起個(gè)體積極心理狀態(tài)，即產(chǎn)生思考、探索

17、和達(dá)到目標(biāo)的心向，從而刺激學(xué)生積極主動(dòng)的思維活動(dòng)。l因此，數(shù)學(xué)問題解決是從問題情境開始，運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，克服認(rèn)知矛盾沖突，積極主動(dòng)地尋求和達(dá)到問題結(jié)果的過程。l數(shù)學(xué)教育家波利亞在怎樣解題怎樣解題一書中指出：l數(shù)學(xué)問題解決過程必須經(jīng)過下列四個(gè)步驟，l即理解問題、明確任務(wù)；l擬定求解計(jì)劃；實(shí)現(xiàn)求解計(jì)劃；l檢驗(yàn)和回顧。l關(guān)于問題解決的過程討論，數(shù)學(xué)問題解決在一定的問題情境中開始，要求教師根據(jù)問題的性質(zhì)、學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律和學(xué)生所學(xué)知識(shí)的內(nèi)部聯(lián)系，創(chuàng)造一種教學(xué)中問題情境，以引起學(xué)生內(nèi)部的認(rèn)知矛盾沖突，激發(fā)起學(xué)生積極、主動(dòng)的思維活動(dòng)，再經(jīng)過教師啟發(fā)和幫助，通過學(xué)生主動(dòng)地分析、探索并提出解決問題方法、檢驗(yàn)

18、這種方法等思維活動(dòng)，從而達(dá)到掌握知識(shí)、發(fā)展能力的教學(xué)目的。 l（一）問題解決教學(xué)的策略分析（一）問題解決教學(xué)的策略分析l“問題解決教學(xué)”是以數(shù)學(xué)問題為中心，在教師的引導(dǎo)下，通過學(xué)生獨(dú)立思考和交流討論等形式，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解、發(fā)展與延伸、遷移與變形等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生處理信息、獲取新知、應(yīng)用新知的能力、積極探索的科學(xué)精神、團(tuán)結(jié)協(xié)作的能力。l在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)“好”的問題是極其重要的。在每節(jié)課中，問題要努力做到：l包含明顯的數(shù)學(xué)概念或技巧；l能推廣或擴(kuò)充到數(shù)學(xué)各單元知識(shí)和各種情形；l有著多種解決方法。l給學(xué)生提供一種輕松愉快的氣氛和生動(dòng)活潑的環(huán)境；l從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)提出問題，引起學(xué)生對(duì)結(jié)論的迫切追

19、求的愿望，將學(xué)生置于一種主動(dòng)參與的位置；l大膽鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用直覺去尋求解題策略，必要時(shí)給一些提示；l討論各種成功的解決，歸納出問題解決的核心。如果可能的話和以前的問題聯(lián)系起來，對(duì)問題進(jìn)行推廣，概括出一般原理。l在從已知狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的問題過程中，要進(jìn)行一系列心理操作，課堂教學(xué)中要努力地解決：l領(lǐng)會(huì)與同化。領(lǐng)會(huì)與同化。學(xué)生要用自己的語言轉(zhuǎn)換命題，并整體地將問題吸入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去；l尋求策略與驗(yàn)證。尋求策略與驗(yàn)證。思維有躍向結(jié)論的傾向，分析解題的過程有助于學(xué)生尋求策略技能的提高，各種解題策略的比較與驗(yàn)證更可以增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)造性與批判精神。l理解是第一位的，沒有理解的訓(xùn)練是毫無價(jià)值和意義的。l當(dāng)然對(duì)

20、概念的理解也是動(dòng)態(tài)的，當(dāng)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖像、最值有了初步的正確的理解以后，在具體的應(yīng)用中，不但鞏固了原有的理解，并且還會(huì)達(dá)到新的高度，深度的理解。l5、能否在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用中，迸發(fā)、能否在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用中，迸發(fā)出燦爛的思維火花，學(xué)生的智力基礎(chǔ)，出燦爛的思維火花，學(xué)生的智力基礎(chǔ)，認(rèn)知方式是及其重要的，原有數(shù)學(xué)知認(rèn)知方式是及其重要的，原有數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)也很重要。識(shí)基礎(chǔ)也很重要。l但是教學(xué)設(shè)計(jì)也是至關(guān)重要的：精選“好的”問題，鋪設(shè)合適的坡度，營造良好的氛圍。l這需要教師的精心的教學(xué)設(shè)計(jì)，在“好的”問題合適的坡度和良好的氛圍創(chuàng)設(shè)過程中，把握“量”的度、“強(qiáng)”、“難”的度。 l6、理解和技能

21、如何進(jìn)行定量把握：、理解和技能如何進(jìn)行定量把握：要考察學(xué)生的智力基礎(chǔ)，能力基礎(chǔ)要考察學(xué)生的智力基礎(chǔ)，能力基礎(chǔ)和認(rèn)知方式等。和認(rèn)知方式等。l依據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)，對(duì)中學(xué)的階段的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)作定量分析，是完全可行的。l同時(shí)對(duì)學(xué)生理解和技能的要求也有一個(gè)梯度，不能不同的學(xué)生，卻要達(dá)到同一的標(biāo)準(zhǔn)。l7、運(yùn)算能力，邏輯思維能力，空間、運(yùn)算能力，邏輯思維能力，空間想象能力，分析問題解決問題能力，想象能力，分析問題解決問題能力，以及學(xué)生的智力和認(rèn)知特點(diǎn)等構(gòu)成以及學(xué)生的智力和認(rèn)知特點(diǎn)等構(gòu)成了學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。了學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。l把數(shù)學(xué)的概念教學(xué)、問題解決教學(xué)的立足點(diǎn)放在提高學(xué)生素質(zhì)上，這是今天數(shù)學(xué)教學(xué)的方向，

22、是完全可以做到的。 l1、重視通性通法教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生概括、重視通性通法教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生概括、領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法領(lǐng)悟常見的數(shù)學(xué)思想與方法l數(shù)學(xué)思想較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有更高的層次和地位。它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，它是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)、處理和解決。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段。只有對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法概括了，才能在分析和解決問題時(shí)得心應(yīng)手；只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想與方法，書本的、別人的知識(shí)技巧才會(huì)變成自己的能力。l每一種數(shù)學(xué)思想與方法都有它們適用的特定環(huán)境和依據(jù)的基本理論，l如分類討論思想可以分成：l（1

23、）由于概念本身需要分類的，象等比數(shù)列的求和公式中對(duì)公比的分類和直線方程中對(duì)斜率的分類等；l（2）同解變形中需要分類的，如含參問題中對(duì)參數(shù)的討論、解不等式組中解集的討論等。l又如數(shù)學(xué)方法的選擇，二次函數(shù)問題常用配方法，含參問題常用待定系數(shù)法等。l因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中應(yīng)重視通性通法，淡化特殊技巧，使學(xué)生認(rèn)識(shí)一種“思想”或“方法”的個(gè)性，即認(rèn)識(shí)一種數(shù)學(xué)思想或方法對(duì)于解決什么樣的問題有效。從而培養(yǎng)和提高學(xué)生合理、正確地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法分析和解決問題的能力。l高考是注重能力的考試，特別是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題和解決問題的能力，更是考查的重點(diǎn)，而高考中的應(yīng)用題就著重考查這方面的能力。l數(shù)學(xué)是充

24、滿模式的，就解應(yīng)用題而言，對(duì)其數(shù)學(xué)模式的識(shí)別是解決它的前提。l由于高考考查的都不是原始的實(shí)際問題，命題者對(duì)生產(chǎn)、生活中的原始問題的設(shè)計(jì)加工使每個(gè)應(yīng)用題都有其數(shù)學(xué)模型。l在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要重視應(yīng)用題的教學(xué)，同時(shí)要對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行專題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納各種應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型，這樣學(xué)生才能有的放矢，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法分析和解決實(shí)際問題。l要分析和解決問題，必先理解題意，才能進(jìn)一步運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決問題。l近年來，隨著新技術(shù)革命的飛速發(fā)展，要求數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)出更高數(shù)學(xué)素質(zhì)、具有更強(qiáng)的創(chuàng)造能力的人才，這一點(diǎn)體現(xiàn)在高考上就是一些新背景題、開放題的出現(xiàn)，更加注重了能力的考查。l由于開放題的特征是

25、題目的條件不充分，或沒有確定的結(jié)論，而新背景題的背景新，這樣給學(xué)生在題意的理解和解題方法的選擇上制造了不少的麻煩，導(dǎo)致失分率較高。l因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)進(jìn)行開放題和新型題的訓(xùn)練，拓寬學(xué)生的知識(shí)面是提高學(xué)生分析和解決問題能力的必要的補(bǔ)充。l在數(shù)學(xué)解題過程中，解決問題以后，再回過頭來對(duì)自己的解題活動(dòng)加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。l這是數(shù)學(xué)解題過程的最后階段，也是對(duì)提高學(xué)生分析和解決問題能力最有意義的階段。l解題教學(xué)的目的并不單純?yōu)榱饲蟮脝栴}的結(jié)果，真正的目的是為了提高學(xué)生分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神，而這一教學(xué)目的恰恰主要通過回顧解題的教學(xué)來實(shí)現(xiàn)。l所以，

26、在數(shù)學(xué)教學(xué)中要十分重視解題的回顧，與學(xué)生一起對(duì)解題的結(jié)果和解法進(jìn)行細(xì)致的分析，對(duì)解題的主要思想、關(guān)鍵因素和同一類型問題的解法進(jìn)行概括，可以幫助學(xué)生從解題中總結(jié)出數(shù)學(xué)的基本思想和方法加以掌握，并將它們用到新的問題中去，成為以后分析和解決問題的有力武器。l課堂教學(xué)中，教師必須要向?qū)W生提供一個(gè)好問題。一個(gè)“好問題”應(yīng)當(dāng)具有以下三個(gè)特征：l第一，從學(xué)習(xí)者的角度來看，第一，從學(xué)習(xí)者的角度來看，“好好問題問題”必須具有可接受性、障礙性必須具有可接受性、障礙性和探究性。和探究性。l可接受性可接受性是指問題要容易為學(xué)生所理解問的是什么，要有一定的意義容易引起學(xué)生對(duì)問題的關(guān)注；l障礙性障礙性則是要求問題要符合維

27、果斯基的最近發(fā)展區(qū)原理，也就是問題的解決辦法不是顯而易見的，是沒有現(xiàn)成的方法可供使用的但又確實(shí)與已學(xué)內(nèi)容有一定聯(lián)系的問題；l探究性探究性是指學(xué)生能進(jìn)行探究，而探究的過程又有明確的價(jià)值取向，如中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值、思維的價(jià)值或是人文的價(jià)值等。l第二，從教師角度來看，第二，從教師角度來看，“好問好問題題”應(yīng)當(dāng)有可控性。應(yīng)當(dāng)有可控性。l可控性可控性是指教師對(duì)所選問題在嘗試引導(dǎo)環(huán)節(jié)中要能對(duì)學(xué)生的活動(dòng)圍繞著教學(xué)中心加以適當(dāng)?shù)目刂婆c誘導(dǎo)。目前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)繁重，如果要將問題解決教學(xué)應(yīng)用于日常教學(xué)，那么大綱、教材的教學(xué)任務(wù)根本完不成，因此很多教師對(duì)“問題解決教學(xué)”采取敬而遠(yuǎn)之的態(tài)度。 l第三，從數(shù)學(xué)內(nèi)部

28、來看，問題要第三，從數(shù)學(xué)內(nèi)部來看，問題要具有可生性、開放性。具有可生性、開放性。l可生性可生性是指所選取的問題要有新問題或新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，能夠在部份更改條件下能產(chǎn)生新的問題，或是問題能夠遷移、變形，或變換思維角度有不同的解法。l選擇了一個(gè)好問題，教師必須創(chuàng)造性地加工和處理教材，對(duì)教學(xué)內(nèi)容做到舍取有度，創(chuàng)設(shè)一定情境導(dǎo)入。教師在創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)考慮以下原則：l針對(duì)性：針對(duì)性：具有針對(duì)性的導(dǎo)入，才能滿足學(xué)生的聽課需要；l啟發(fā)性：?jiǎn)l(fā)性：具有啟發(fā)性的導(dǎo)入，可以發(fā)展學(xué)生的思維能力；l新穎性：新穎性：具有新穎性的導(dǎo)入，能夠吸引學(xué)生的注意指向；l趣味性：趣味性：具有趣味性的導(dǎo)入，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

29、；l互動(dòng)性：互動(dòng)性：具有互動(dòng)性的導(dǎo)入，才有學(xué)生的一直參與，而不是等待問題的出現(xiàn)；l簡(jiǎn)潔性：簡(jiǎn)潔性：具有簡(jiǎn)潔性的導(dǎo)入，能夠節(jié)約學(xué)生的聽課時(shí)間。l只有將課本研究活了，在教學(xué)設(shè)計(jì)中才能有一個(gè)好的導(dǎo)入，這樣問題解決教學(xué)中呈示出來的問題才會(huì)有份量、有質(zhì)量。l問題解決的教學(xué)活動(dòng)過程是在教師組織、引導(dǎo)下，學(xué)生一直參與活動(dòng)的過程，因此在教學(xué)活動(dòng)過程中教師的地位、作用、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式等都是不同于傳統(tǒng)教學(xué)的。l在教學(xué)中，教師要注意：l問題解決教學(xué)過程中，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、合作者、參與者，教師的作用在于引導(dǎo)。l師生之間的對(duì)話，不再將重點(diǎn)放在是什么的知識(shí)上，而是著重于為什么的知識(shí)上，科學(xué)地應(yīng)用主體發(fā)展策略、動(dòng)機(jī)

30、激發(fā)策略和層次設(shè)計(jì)策略以及探究創(chuàng)新策略。l對(duì)學(xué)生的有效的嘗試指導(dǎo)，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)學(xué)生的起點(diǎn)技能、先決技能做認(rèn)真的分析，對(duì)目標(biāo)技能做恰當(dāng)?shù)脑O(shè)定是十分必要的。l教師可根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力等情況成立學(xué)生學(xué)習(xí)合作小組，在教學(xué)進(jìn)程中，大膽把學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生主動(dòng)探究，共同討論，互相交流，充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體性。l在課堂教學(xué)中，教師的對(duì)話與指導(dǎo)要有一顯一隱兩條主線：外顯的主線是學(xué)生的活動(dòng)，內(nèi)隱的主線則是學(xué)生的思維。l問題解決教學(xué)設(shè)計(jì)中，根據(jù)學(xué)生的外顯的活動(dòng)對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行分析并適時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)；在啟發(fā)指導(dǎo)時(shí)使用的語言要具有發(fā)散性，不能禁錮學(xué)生的思維；不論學(xué)生得出的結(jié)論怎樣，要在與學(xué)生的對(duì)話中鼓勵(lì)學(xué)生大膽說出自己是怎么想的；教師指導(dǎo)學(xué)生的重點(diǎn)應(yīng)是啟發(fā)學(xué)生怎么去想，怎么做則是想好以后順理成章的事。l教師的對(duì)話和指導(dǎo)應(yīng)突破認(rèn)知領(lǐng)域而延伸到情感等其他領(lǐng)域。l在課堂教學(xué)中，要?jiǎng)討B(tài)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)和評(píng)價(jià)。l要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)，及時(shí)地給予鼓勵(lì)和肯定；l當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，教師應(yīng)用一些充分肯定、具有明確指導(dǎo)意義的過渡語給予學(xué)生評(píng)價(jià)和引導(dǎo)，這樣既指出了思考、討論的方向，又教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的信心，形成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度；l面對(duì)學(xué)生的“失敗”過程，教師也應(yīng)肯定“失敗”