如何進行算法教學中的數(shù)學實驗

1、如何進行算法教學中的數(shù)學實驗三中 丁寧摘要：算法進入中學數(shù)學課程，成為中國數(shù)學課程的一個新特色，這是信息時代賦予我們的任務，也是數(shù)學發(fā)展的必然趨勢。算法設計的優(yōu)劣需要上機檢驗，算法設計的改進需要調(diào)試修正，這就直接為“數(shù)學實驗”在中學的深入開展提供了一種可能。關鍵詞：數(shù)學實驗，算法，計算機，模擬對于數(shù)學學習來說親自參與數(shù)學的經(jīng)驗性活動是至觀重要的，計算機的出現(xiàn)改變了數(shù)學只用紙和筆進行研究的傳統(tǒng)方式，給數(shù)學的研究帶來了最先進的工具，在計算機上進行計算和模擬實驗已成為一種新的科學方法和技術，數(shù)學正在成為一門實驗科學?！皵?shù)學實驗”也就應運而生?！皵?shù)學實驗”的方法實際上是對數(shù)學模型進行“實驗”，“實驗”

2、是在計算機上進行大量的數(shù)值和邏輯運算，這些運算的高精確度和高速度是用手工運算很難完成的。所以數(shù)學教學中也需要實驗教學。算法進入中學數(shù)學課程，成為中國數(shù)學課程的一個新特色，這是信息時代賦予我們的任務，也是數(shù)學發(fā)展的必然趨勢。算法設計的優(yōu)劣需要上機檢驗，算法設計的改進需要調(diào)試修正，這就直接為“數(shù)學實驗”在中學的深入開展提供了一種可能，而且對基礎教學來說是一種開創(chuàng)的嘗試。算法就是將人類的思維能力形式化為計算機可以執(zhí)行的步驟，使得若干微小的電子元件代替人類進行思考。具體過程是先將解決問題的一系列步驟寫成算法，再翻譯成某種程序設計語言在計算機上實現(xiàn)，就得到了我們每天操作的程序塊。因此，算法是計算機科學的

3、核心，換句話說，算法是計算機程序的基礎。沒有算法，計算機的存在也就失去了意義。計算機工作靠的是程序，而程序的靈魂就是算法。算法教學和程序語言教學有非常密切的聯(lián)系，所設計的算法正確與否要通過編程并且運行程序進行驗證，借助于程序語言可以使算法得以實現(xiàn)；反之要設計程序就必須弄清算法原理，可以說，算法教學是程序語言教學的基礎，程序語言教學是算法教學必要的延續(xù)，兩者相輔相成，然而，上述兩者在教學重點上有所不同，算法的教學重點在于：體現(xiàn)算法的思想程序化思想，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，培養(yǎng)學生思維的條理性。而程序語言教學卻是計算機語言教學，教學重點是讓學生學會編程。兩者各有特色，相互聯(lián)系，在算法教學時可以充分

4、結合程序語言教學，鼓勵學生盡可能把自己的算法在計算機上實現(xiàn)，但不可本末倒置，不要把算法內(nèi)容簡單處理成程序語言的學習或程序設計。所以我們在教學中滲透“數(shù)學實驗”的思想，注重學生主動參與、探索、發(fā)現(xiàn)、數(shù)學建模，編寫程序和數(shù)學實驗，使學生對算法思想有更深刻的體會。現(xiàn)把教學中我和學生們共同實驗的過程歸納總結如下：一、對大數(shù)的計算人們在認識大數(shù)歷程的過程中，經(jīng)歷了長期不斷的探索，可以說每前進一步，都影響著數(shù)學的歷史發(fā)展。在中學數(shù)學中經(jīng)常會遇到大數(shù)問題，對大數(shù)的計算用手工方式是無能為力的，但對“數(shù)學實驗”來說是輕而易舉的。在講授循環(huán)語句的時候，學生編寫計算必修3.P25練習B組4.的程序。等比數(shù)列的求和公

5、式是數(shù)列這一章的重要內(nèi)容，學生利用求和公式不難得到。利用算法思想編制一個等比數(shù)列的求和程序也不難，借此機會讓學生試著編制一個程序，這樣一方面可以提高學生對公式的理解，另一方面還可以提高學生利用算法解決實際問題的能力。在程序設計教學過程中，我和學生一起利用計算機進行“數(shù)學實驗”，對這個問題通過算法設計和實踐，激發(fā)學習興趣，提升思維技巧，培養(yǎng)創(chuàng)新能力。方法一：只要設計一個循環(huán)結構，在循環(huán)體內(nèi)先計算以2為底冪運算，然后進行累加，當循環(huán)結束后，把累加數(shù)輸出。s=1；n=2；i=1；WHILE i=63 s=s+ni； i=i+1；ENDPRINT “1+2+22+23+263=”；sEND人們最怕重復

6、計算，因為重復枯燥乏味。而計算機則擅長重復。這種重復體現(xiàn)到程序中就是循環(huán)。循環(huán)結構蘊涵的是遞推迭代的思想, 所謂迭代就是一個不斷用新值取代變量的舊值或由舊值遞推出變量的新值的過程。應用循環(huán)結構和迭代思想，就可以解決數(shù)列求和等問題。本例充分體現(xiàn)了算法是解決某一類問題的明確的、有序的、有限的步驟，算法的程序化思想體現(xiàn)的淋漓盡致。本題運行輸出的結果是：1844674E+19。但這是一個以科學記數(shù)法表示的數(shù)據(jù)，那么能不能計算出精確的數(shù)據(jù)呢？隨著學習的深入，我和學生們共同探討設計算法，計算出精確的結果。方法二：算法設計Step1 先計算出，然后減去1；Step2 數(shù)據(jù)存儲:利用數(shù)組a(20)的每一個單元

7、存放的每一位數(shù)字；例如，若，則a(1)=8, a(2)=4, a(3)=0, a(4)=2Step3 數(shù)據(jù)進位：按位相乘，按位記錄。運行輸出的結果S=18446744073709551615.這是手算很難計算出的，這樣我們通過數(shù)學實驗完成了大數(shù)的計算，學生們親身體會到數(shù)學實驗的優(yōu)越性。這種以算法為基石，輔以計算機的數(shù)學實驗，是學生在教師的指導下借助計算機的幫助，自主參與，具有高度的自主性，探索性的一種教學活動。數(shù)學實驗教學是數(shù)學課堂教學的重要補充，利于教學內(nèi)容呈現(xiàn)方式，學生學習方式，教師教學方式，師生互動方式的變革，豐富和發(fā)展數(shù)學方法論，促進新課程的改革目標的實現(xiàn)。數(shù)學實驗不僅是數(shù)學教育教學革

8、新的理念與實踐途徑，更成了數(shù)學課程和信息技術的有效整合的重要途徑。二、高精度運算圓周率是一個極其馳名的數(shù)。從有文字記載的歷史開始，這個數(shù)就引進了外行人和學者們的興趣。作為一個非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關圓的計算問題。僅憑這一點，求出它的盡量準確的近似值，就是一個極其迫切的問題了。事實也是如此，幾千年來作為數(shù)學家們的奮斗目標，古今中外一代一代的數(shù)學家為此獻出了自己的智慧和勞動?；仡櫄v史，人類對 的認識過程，反映了數(shù)學和計算技術發(fā)展情形的一個側面。 的研究，在一定程度上反映這個地區(qū)或時代的數(shù)學水平。高精度運算是學生們感興趣的一個內(nèi)容，在教學過程中對“計算圓周率”這個題目進行了數(shù)學實驗。

9、在學習1.3中國古代數(shù)學中的算法案例利用劉徽割圓術的算法思想計算圓周率的不足近似值后，教材“探索與研究”里提出問題：利用割圓術的思想怎樣給出的一個較準確的范圍？基于這個問題我們又進一步思考：怎樣得到一個我們所需要的精度？學生們探討的成果如下：算法原理：在處取得零點，又在函數(shù)3與4只有一個零點，可對區(qū)間進行二分，逐漸達到。算法程序：執(zhí)行程序，當選擇迭代次數(shù)為20時，可以得到=3.14159250259399，這樣高精度的計算用手工是很難進行的。在這段教學中，鼓勵學生盡可能借助所學知識再結合算法知識解決這個問題，學生們想到了借用二分法解決這個問題。由此學生不禁想到我們之前學過的很多知識都蘊含著算法

10、思想。算法思想是貫穿高中課程的一條主線。以前，我們沒有給出算法這個名詞，但是，我們一直在利用算法的思想。在數(shù)學中，完成每一件工作，例如，計算一個函數(shù)值，求解一個方程，證明一個結果，等等，我們都需要有一個清晰的思路，一步一步地去完成，算法思想就是指按照一定的步驟，一步一步去解決某個問題的程序化思想。尤其在計算機普及的時代，程序化越來越為人們普遍接受，提高設計“算法的能力”變得很必要了。在這個教學過程中基于中國古代算法思想的特征，其對本民族的數(shù)學教育而言，還有著特別的教育價值，即體現(xiàn)數(shù)學課程的民族性、培養(yǎng)學生的應用意識、促進學生對現(xiàn)代算法思想的理解等。教師引導學生將注意力和思想活動指向問題求解的創(chuàng)

11、新過程，在創(chuàng)新過程中學生的創(chuàng)造力得以發(fā)展，數(shù)學教學不再僅僅是刻板地局限在感知教材理解教材鞏固知識運用知識等形式化的階段，而是著重將“問題”作為學習的出發(fā)點和歸宿，重視觀察，發(fā)現(xiàn)，探索在學習中的作用，把學生的學習看作是一種積極的，探索的學習，通過我們的“數(shù)學實驗”使學生樂意并有更多的精力投入到探索性的數(shù)學活動中去。三、模擬實驗在數(shù)學試驗中，利用計算機進行隨機現(xiàn)象模擬探索是很有意義的。大家都知道，在自然界有許多現(xiàn)象是必然的，還有很多現(xiàn)象是偶然的，倘若在一組相同的條件下，它們可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)。例如：“擲硬幣得正面”等都是偶然事件。教學時可拿“擲硬幣”作為例子，把一枚均勻的硬幣擲在臺上，出現(xiàn)正面

12、或者反面預先是無法判斷的。如果當擲的次數(shù)增加時，那么出現(xiàn)正，反面的情況會怎么樣？這是個很有趣的數(shù)學問題。歷史上有許多數(shù)學家做過這樣的擲硬幣實驗。實驗者擲硬幣次數(shù)出現(xiàn)正面的次數(shù)頻率(出現(xiàn)次數(shù)擲次數(shù))狄摩更204810610.5181布豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016從表中可以看到，當投擲的次數(shù)越來越多，頻率越接近0.5。但這樣的人工試驗既費時又費力，引導學生編寫這樣的程序進行“數(shù)學實驗”是有意義的。我們用計算機模擬擲硬幣的試驗，我們稱用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法或蒙特卡羅（Monte Carlo）方法，蒙特卡羅方法（Monte Carlo met

13、hod），也稱統(tǒng)計模擬方法，或稱計算機隨機模擬方法，是一種基于“隨機數(shù)”,以概率統(tǒng)計理論為指導的一類非常重要的數(shù)值計算方法。與它對應的是確定性算法?，F(xiàn)代的蒙特卡羅方法，已經(jīng)不必親自動手做實驗，而是借助計算機的高速運轉能力，使得原本費時費力的實驗過程，變成了快速和輕而易舉的事情。算法設計：利用隨機函數(shù)rnd來編寫。因為隨機函數(shù)rnd能產(chǎn)生l0，1)區(qū)間的一個均勻分布的隨機數(shù)。所以設置條件語句：if md0.5 THEN 來判斷。當隨機數(shù)小0.5時，打印和統(tǒng)計硬幣反面出現(xiàn)的次數(shù)。隨機數(shù)大于0.5時，打印和統(tǒng)計硬幣正面出現(xiàn)的次數(shù)。投擲的次數(shù)由鍵盤輸入。 Stepl 輸入需要擲硬幣的次數(shù)； Step2

14、 f=0 ，設置統(tǒng)計硬幣出現(xiàn)正面次數(shù)的變量名為f賦初值為零；Step3 b=0 ，設置統(tǒng)計硬幣出現(xiàn)反面次數(shù)的變量名為b，賦初值為零；Step4 控制擲硬幣得次數(shù)；Step5 判斷md0.5，若打印出現(xiàn)正面的標記“f”,并記數(shù)；Step6 否則打印出現(xiàn)反面的標記“b”，并記數(shù)；Step7 打印出累計的硬幣出現(xiàn)正，反面的次數(shù)。程序設計：程序運行時，當單擊窗體后，屏幕上會顯示出對話輸入框，請輸入所需要擲硬幣的次數(shù)。比如當輸入60時，這個程序模擬了硬幣投擲了60次的情況，我們看到正面出現(xiàn)了28次，反面出現(xiàn)了32次。學生們經(jīng)過多次數(shù)學實驗，看到當投擲次數(shù)越來越多時，比率越來越接近0.5，他們驗證了上面幾位實驗者的實驗記錄，親身體驗到了數(shù)學實驗的意義。在往后相關的內(nèi)容(如制作隨機數(shù)表)也體現(xiàn)出數(shù)學與算法的有機結合，有意識地引導學生在其他知識模塊中體會算法思想，使其體會到掌握算法思想對提高數(shù)學能力的重要性。以上是教學中基于算法輔以計算機對“數(shù)學實驗”的初步嘗試，實驗的結果和我們的體會是否正確還需要進一步的研究。在教學和學習的過程中，我們意識到數(shù)學實驗不僅在形成數(shù)學知識的過程中，而且在數(shù)學知識的應用過程中，始終能為學生提供發(fā)揮創(chuàng)造的機會。數(shù)學教學可以不再是單一刻板的解題教學，它的教學價值主要體現(xiàn)在兩方面：從學生的角度來看，借助高中的算法課程開展數(shù)學實驗，學生的主動性