因式定理與余式定理

1、7.181因式定理設(shè)f(X)是一個多項式，C為一個常數(shù)如果x-c是f (x)的因式即f (x)能夠被x-c整除則f(c)二0反之亦然水證明推論：如果axb是f (x)的因式則f (b/a) =0反之亦然關(guān)于因式定理的深層推論(理解)設(shè)f(X)是一個多項式，Cl. C2.cn為n個相異常數(shù)，并且有f (cl) =f (c2) =.=f (cn) =0那么(x-cl) (x-c2) (x-cn)是f (x)的因式，且是其最大的因式。因式定理快速反饋練習(xí)1請問下列哪一項是/(x)= 4x5+8x4+7x3-22x2-2x+5 的因式？A.X-1B.X+2C.2X-1D.X-22. /(x)=x4-2

2、x3+4x2+czx+3有一因式為x-3,求a2余式定理若f(X)是一個多項式，c是一個常數(shù) 貝肝(X)除以x-c的余式為f (c)水證明推論：多項式f (x)除以axb的余式為f (b/a)觀察f (x)除以axb與f (x)除以x-b/a 的余式關(guān)于如何求f（X）除以一個多項式的余式方法：長除法例題：x3-12x2-42除以x-31 將分子的第一項除以分母的最高次項（即次數(shù)最高的項，此處為心結(jié) 果寫在橫線之上2將分母乘以剛得到結(jié)果（最終商的第一項）,乘積寫在分子前兩項之 下3從分子的相應(yīng)項中減去剛得到的乘積（注意減一個負(fù)項相當(dāng)于加一個 正項）,結(jié)果寫在下面4將分子的下一項“拿下來”5 重復(fù)

3、前4步直到無法再除以*3為止余式定理快速反饋練習(xí)1求多項式2x3-x2+3x+5除以x2-x+3的余式 2設(shè)f(x)為實系數(shù)多項式，以除之，余式為9；以除之，余式為16,求f(x)除以(xl)(x - 2)的余式為o關(guān)于解決因式以及余式定理問題的一些訣竅1. 審題仔細(xì)，熟記因式定理以及余式定理的定義，做 到快建反應(yīng)出條件背后的內(nèi)容，注意文字是“除”還 是嚕以”2. 善用假設(shè)3. 熟練運用長除法4. 克服對于次數(shù)較大的多項式的恐懼感5. 除了掌握最基礎(chǔ)的方法之外，對付較復(fù)雜題目時可 適當(dāng)運用推廣的結(jié)論，能夠有一定程度的加快速度并 盤活用、維6. 若有x的次方斷層現(xiàn)象，建議寫0x的n次方，防止看

4、錯導(dǎo)致全錯聯(lián)招真題模擬設(shè)f(x)以xJ除之，余式為8,以x2+x+l除之的 余金為7X+16,求x3l除之的余式為多少？ 解：根據(jù)題意，得 f(l)=8/f(x)=(xA2+x+l)g(x)+7x+16/則 xA3-l=(x-l)(xA2+x+l) f(x)=(xA3-l)g(x)+a(xA2+x+l)+7x+16=(x-l)(xA2+x+l)g(x) +a(xA2+x+l)+7x+16f(l)=3a+7+16=8a=5,所以余式為5x八2+2x+H綜合練習(xí)5題1. 設(shè)多項式Z(x)除以x-l, x2- 2x + 3之余式依 次為2, 4x + 6,貝廳(x)除以(x- l)(x2 -2x +

5、 3)的 余式為O2設(shè)/(X)除以(11)2的余式是X + 2,除以(x2)2 的余蕓是3x +4,貝肝僅)除以(xl)(x- 2)2的余 式是o *3.求以(X+ 1)2除的余式4.設(shè)多項式h (x)fe2 -1除后的余式為3x + 4, 并且已知力(x)肴因式X。若b(x)被x(x2l)除后 的余式為px2 + qx + r,貝Ijp2 -q2 + r25.求以x* + x4 + 1除疋2 + 99的余式Homework1. 用x2+x+l除多項式x5+2x4-x3+x+l,余式為？2005年聯(lián)招19題2. 如果以2x2-3x-2除多項式f(X)與g(X),分別得到 余式2x+3與4x-l,則以2x+l.除f (x) -g (x)的余 茂為?2006聯(lián)招18題左如果以x2-5x+6除多項式f(X)得余式2x-5,貝肝(3)2007聯(lián)招19題4.多項式 x4+2x3-4x2-2x+3 -x3+4x2+x-6 的最大 公因式為？2009聯(lián)招19