《基本不等式》課件5

1、基本不等式基本不等式 .,并給出證明并給出證明以定理的形式給出以定理的形式給出下面將它下面將它為了方便同學(xué)們學(xué)習(xí)為了方便同學(xué)們學(xué)習(xí)不等式不等式要要重重過(guò)過(guò)學(xué)學(xué)經(jīng)經(jīng)我們已我們已Rbaabba 222.,等號(hào)成立等號(hào)成立時(shí)時(shí)且僅當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)當(dāng)那么那么如果如果定理定理baabbaRba 2122 .,成立等號(hào)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)所以時(shí)等號(hào)成立當(dāng)且僅因?yàn)樽C明bababaabba 02222?嗎嗎定理定理你能從幾何的角度解釋你能從幾何的角度解釋探究探究1.,;,.,22211baSSbEFCEFGaABABCDbaCEFGABCD 正方形正方形那么中在正方形中在正方形如圖為例以bbbaaABCDEFGKIJH211

2、 .圖圖的長(zhǎng)和矩形矩形JCDIBCGH.,abSSbaJCDIBCGH2 矩形矩形它們的面積和是寬為均為的公共部分是正和和矩形矩形JCDIBCGH.1解釋定理解釋定理借助幾何畫(huà)板借助幾何畫(huà)板如果所實(shí)數(shù)如果所實(shí)數(shù)a,ba,b作為線段長(zhǎng)度，作為線段長(zhǎng)度，那么可以這樣來(lái)解釋定理那么可以這樣來(lái)解釋定理 .,相等形其面積與正方等于它的邊長(zhǎng)方形CEFGbJCGKbbbaaABCDEFGKIJH211 .圖圖,.,時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)即的面積的和與正方形于正方形它不大影部分的面積陰中圖于等就和上述兩個(gè)矩形的面積baabbaCEFGABCDab 2222.,abbaCEFGABCD222 即面積和方形與正等于正方形積陰

3、影部分面兩個(gè)正方形,所以兩個(gè)矩形成為以下的以下的就可以得到就可以得到作簡(jiǎn)單的恒等變形作簡(jiǎn)單的恒等變形將定理將定理,1基本不等式).(inequalitybasic .,.,等號(hào)成立等號(hào)成立時(shí)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)那么那么如果如果基本不等式基本不等式定理定理baabbaba 202 bababa 222因?yàn)樽C明.,abbaab 22所以.,等號(hào)成立時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)baba :,不等式可以表述為不等式可以表述為基本基本于是于是的的為為的的為為我們就稱我們就稱都是正數(shù)都是正數(shù)如果如果meangeometricbaabmeanarithmeticbababa2 算術(shù)平均算術(shù)平均幾何平均幾何平均.)(它們的幾何

4、平均它們的幾何平均等于等于即大于或即大于或小于小于兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不.不等式的幾何意義下面我們討論一下基本.,.bBDaADABOCABABCRtCD 上的中線是斜邊上的高中斜邊是中在圖311AODBC311 .圖圖 .baABOC 2121,于是,090 ADCA因?yàn)?,BDCAAB 所以090,BDCDCDADDBCRtDCARt 從而于是AODBC311 .圖.abCDbCDCDa 所以即.,abbaCDOCOCDRtba 2所以大于直角邊斜邊中在時(shí)當(dāng).,abbaCDOCABABCRtba 2所以重合和高上的中線斜邊時(shí)當(dāng).:,小于斜邊上的高三角形斜邊上的中線不直角是

5、基本不等式的幾何意義綜上所述可知?其他幾何解釋嗎其他幾何解釋嗎你能給出基本不等式的你能給出基本不等式的探究探究 .,;,:的周長(zhǎng)最短的周長(zhǎng)最短正方形正方形在所有面相同的矩形中在所有面相同的矩形中的面積最大的面積最大正方形正方形中中在所有周長(zhǎng)相同的矩形在所有周長(zhǎng)相同的矩形求證求證例例213 :,.,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為這樣這樣面積為面積為為為那么該矩形的周長(zhǎng)那么該矩形的周長(zhǎng)寬為寬為設(shè)矩形的長(zhǎng)為設(shè)矩形的長(zhǎng)為分析分析xyyxyx 2 ?,最大最大有什么關(guān)系時(shí)有什么關(guān)系時(shí)那么正數(shù)那么正數(shù)為定值為定值從而從而如果如果xyyxyxyx 21 ?,最小最小從而從而有什么關(guān)系時(shí)有什么關(guān)系時(shí)那么正數(shù)那么正數(shù)

6、為定值為定值如果如果yxyxyxxy 22.,式證明式證明所以可以利用基本不等所以可以利用基本不等間的數(shù)量關(guān)系間的數(shù)量關(guān)系及兩個(gè)正數(shù)的和與積之及兩個(gè)正數(shù)的和與積之由于基本不等式恰好涉由于基本不等式恰好涉.,yx 寬為設(shè)矩形的長(zhǎng)為解 .,為定值即設(shè)矩形周長(zhǎng)為定值lyxl 221,xyyx 2根據(jù)基本不等式.xyl 4可得,162lxy 矩形的面積于是.,162lxy 取得最大值積面形時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)矩形是正方等號(hào)成立,時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)yx .,Syxyx42值取得最小周長(zhǎng)矩形是正方形時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng) .,為定值即設(shè)矩形面積為定值SxyS 2,xyyx 2根據(jù)基本不等式 ,Sxyyx442 矩

7、形的周長(zhǎng);,:,取取得得最最大大值值它它們們的的積積時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)是是定定值值如如果果它它們們的的和和對(duì)對(duì)兩兩個(gè)個(gè)正正實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)下下面面結(jié)結(jié)論論從從基基本本不不等等式式可可以以得得到到一一般般地地PyxSyx .,取取得得最最小小值值它它們們的的和和時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)是是定定值值如如果果它它們們的的積積SyxP .問(wèn)題問(wèn)題值值小小決一些最大決一些最大利用基本不等式可以解利用基本不等式可以解ABCDEFGHMNPQ .,;,.,)(,)(,.,并求出這個(gè)最小值并求出這個(gè)最小值最小最小為何值時(shí)為何值時(shí)當(dāng)當(dāng)關(guān)系式關(guān)系式的函數(shù)的函數(shù)關(guān)于關(guān)于試建立試建立米米長(zhǎng)為長(zhǎng)為元元設(shè)總造價(jià)為設(shè)總造價(jià)為

8、元元造價(jià)每平方米造價(jià)每平方米坪坪上鋪草上鋪草圖中四個(gè)三角形圖中四個(gè)三角形再在四個(gè)空角再在四個(gè)空角元元平方米平方米造價(jià)為每造價(jià)為每鋪花崗巖地坪鋪花崗巖地坪圖中陰影部分圖中陰影部分同的矩形上同的矩形上在四個(gè)相在四個(gè)相元元造價(jià)為每平方米造價(jià)為每平方米壇壇上建一座花上建一座花計(jì)劃在正方形計(jì)劃在正方形域域平方米的十字型地平方米的十字型地構(gòu)成的面積為構(gòu)成的面積為和和是由兩個(gè)相同的矩形是由兩個(gè)相同的矩形圖圖它的主體造型平面圖它的主體造型平面圖場(chǎng)所場(chǎng)所角形的休閑角形的休閑某居民小區(qū)要建一座八某居民小區(qū)要建一座八SxxSxADSMNPQEFGHABCD21802104200200411 411 .圖圖411 .圖圖ABCDEFGHMNPQ ,200412 xyxyDQ則米設(shè)解.xxy42002 從而于是2228042104200yxyxS 22224200280420042104200 xxxxxx22400000420038000 xx 411 .圖圖ABCDEFGHMNPQ 2240