因式分解拓展題及解答必考題型

1、.因式分解拓展題解板塊一：換元法例1分解因式：【解析】 將看成一個(gè)字母，可利用十字相乘得原式例2分解因式：【解析】 方法1：將看作一個(gè)整體，設(shè)，則 原式= 方法2：將看作一個(gè)整體，設(shè)，則 原式= 方法3：將看作一個(gè)整體，過程略.如果學(xué)生的能力到一定的程度，甚至連換元都不用，直接把看作一個(gè)整體，將原式展開，分組分解即可，則原式.【鞏固】 分解因式：【鞏固】 分解因式：例3證明：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1是整數(shù)的平方【解析】 設(shè)這四個(gè)連續(xù)整數(shù)為：、原式【鞏固】 若，是整數(shù)，求證：是一個(gè)完全平方數(shù).令上式即例4分解因式【解析】 原式設(shè)，原式【鞏固】 分解因式【解析】 原式原式例5分解因式：【解析】 咋一

2、看，很不好下手，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)：，故可設(shè)，則. 故原式=.【鞏固】 分解因式：【解析】 由于題中以整體形式出現(xiàn)的式子有兩個(gè)，共4個(gè)地方，故采取換元法后會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程，不妨設(shè)，【解析】 則原式=例6分解因式：【解析】 設(shè)，則原式=【鞏固】 分解因式：【解析】 為方便運(yùn)算，更加對(duì)稱起見，我們令板塊二：因式定理因式定理：如果時(shí)，多項(xiàng)式的值為，那么是該多項(xiàng)式的一個(gè)因式.有理根：有理根的分子是常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)，分母是首項(xiàng)系數(shù)的因數(shù).例7分解因式：【鞏固】 的因數(shù)是，的因數(shù)是，因此，原式的有理根只可能是，(分母為1)，因?yàn)?，于是是的一個(gè)根，從而是的因式，這里我們可以利用豎式除法，此時(shí)一般將被除式按未知數(shù)的降

3、冪排列，沒有的補(bǔ)0：可得原式點(diǎn)評(píng)：觀察，如果多項(xiàng)式的奇數(shù)次項(xiàng)與偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)和互為相反數(shù)，則說明； 如果多項(xiàng)式的奇數(shù)次項(xiàng)與偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)和相等，則說明.【鞏固】 分解因式：解析：本題有理根只可能為.當(dāng)然不可能為根(因?yàn)槎囗?xiàng)式的系數(shù)全是正的)，經(jīng)檢驗(yàn)是根，所以原式有因式，原式容易驗(yàn)證也是的根，所以【鞏固】 分解因式：解析：例8分解因式：【解析】 常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)為，把代入原式，得所以是原式的根，是原式的因式，并且【鞏固】 分解因式：【解析】 如果多項(xiàng)式的系數(shù)的和等于，那么1一定是它的根；如果多項(xiàng)式的偶次項(xiàng)系數(shù)的和減去奇次項(xiàng)系數(shù)的和等于0，那么一定是它的根現(xiàn)在正是這樣：所以是原式的因式，并且板塊三：待

4、定系數(shù)法如果兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，則左右兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)相等.即，如果 那么，.例9用待定系數(shù)法分解因式：【解析】 原式的有理根只可能為，但是這2個(gè)數(shù)都不能使原式的值為，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式故或故，解得，所以事實(shí)上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況.【鞏固】 是否能分解成兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的乘積"解析：我們知道.不能分解成兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的乘積如果能夠分解，那么一定分解為或比較與的系數(shù)可得:由(1)得，代入(2)得，即或，沒有整數(shù)能滿足這兩個(gè)方程所以，不能分解成兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的積(從而也不能分解成兩個(gè)有理系數(shù)的二次因式的積)【鞏固】 能否分

5、解為兩個(gè)整系數(shù)的三次因式的積"解析：設(shè)，比較，及的系數(shù)，得由第一個(gè)方程與第三個(gè)方程可得，,再把它們代入第二個(gè)方程中，得矛盾!所以，不可能分解為兩個(gè)整系數(shù)的三次因式的積例10分解因式：【解析】 原式的有理根只可能為，但是這四個(gè)數(shù)都不能使原式的值為，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式我們?cè)O(shè)想可以分為兩個(gè)整系數(shù)的二次因式的乘積由于原式是首1的(首項(xiàng)系數(shù)為1)，兩個(gè)二次因式也應(yīng)當(dāng)是首1的于是，設(shè)其中整系數(shù)有待我們?nèi)ゴ_定比較式兩邊，的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，得這樣的方程組，一般說來是不容易解的不過，別忘了是整數(shù)!根據(jù)這一點(diǎn)，從(5)可以得出或，當(dāng)然也可能是或在這個(gè)例子中由于因式的次序無

6、關(guān)緊要，我們可以認(rèn)為只有或這兩種情況將，代入(4)，得將與相減得，于是，再由得這一組數(shù)(，)不僅適合、，而且適合因此將，代人，得將與 相加得.于是，再由 得.這一組數(shù)(，)，雖然適合、，卻不適合，因而.事實(shí)上，分解式是惟一的，找出一組滿足方程組的數(shù)，就可以寫出分解式，考慮有沒有其他的解純屬多余，毫無必要板塊四：輪換式與對(duì)稱式對(duì)稱式：的多項(xiàng)式，在字母與互換時(shí)，保持不變這樣的多項(xiàng)式稱為的對(duì)稱式類似地，關(guān)于的多項(xiàng)式，在字母中任意兩字互換時(shí)，保持不變這樣的多項(xiàng)式稱為的對(duì)稱式輪換式：關(guān)于的多項(xiàng)式，在將字母輪換(即將換成，換成，換成)時(shí)，保持不變這樣的多項(xiàng)式稱為的輪換式顯然，關(guān)于的對(duì)稱式一定是的輪換式但是

7、，關(guān)于，的輪換式不一定是對(duì)稱式例如，就不是對(duì)稱式次數(shù)低于3的輪換式同時(shí)也是對(duì)稱式兩個(gè)輪換式(對(duì)稱式)的和、差、積、商(假定被除式能被除式整除)仍然是輪換式(對(duì)稱式)例11：分解因式：解析：是關(guān)于的輪換式如果把看作關(guān)于的多項(xiàng)式，那么在時(shí)，它的值為.因此，是的因式由于是的輪換式，可知與也是它的因式從而它們的積是的因式由于 、都是的三次多項(xiàng)式，所以兩者至多相差一個(gè)常數(shù)因數(shù)，即有現(xiàn)在我們來確定常數(shù)的值為此，比較的兩邊的系數(shù)：左邊系數(shù)為1，右邊系數(shù)為因此，于是思路2：利用yz(yx)(zx).例12分解因式：【解析】 此式是關(guān)于，的四次齊次輪換式，注意到時(shí)，原式，故是原式的一個(gè)因式. 同理，均是原式的因

8、式，而是三次輪換式，故還應(yīng)有一個(gè)一次輪換式，設(shè)其為，故原式，展開并比較系數(shù)可知，故原式.思路2：利用x2y2(x2z2)+(z2y2).家庭作業(yè)練習(xí) 1 分解因式：原式練習(xí) 2 要使為完全平方式，則常數(shù)的值為_【解析】 ，則練習(xí) 3 分解因式：【解析】 原式設(shè)，則原式練習(xí) 4 分解因式：【解析】 設(shè)，則原式.練習(xí) 5 分解因式：練習(xí) 6 分解因式：練習(xí) 7 用待定系數(shù)法分解：【解析】 原式的有理根只可能為，但是這2個(gè)數(shù)都不能使原式的值為，所以原式?jīng)]有有理根，因而也沒有(有理系數(shù)的)一次因式故或故，解得，所以事實(shí)上，分解式是惟一的，所以不用再考慮其它情況.練習(xí) 8 分解因式：【鞏固】 是關(guān)于的輪換式它有三次因式由于原式是的四次式，所以還應(yīng)當(dāng)有一個(gè)一次因式原式是的四次齊次式，所以這個(gè)一次因式也是的一次齊次式，即它的常數(shù)項(xiàng)是0(否則，它的常數(shù)項(xiàng)與三次式相乘得到一個(gè)三次式)這個(gè)一次齊次式是的輪換式，形狀應(yīng)當(dāng)是是常數(shù)即有比較兩邊的系數(shù)，得于是上面求的方法是比較系數(shù)，也可以改用另一種方法，即適當(dāng)選一組使的數(shù)代替從而定出，例如，令,把它代入，得,即,以上