離散型隨機(jī)變量的分布列

1、離散型隨機(jī)變量的分布列【教材內(nèi)容全解】1隨機(jī)變量在課本上的射擊的隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果都可以用一個(gè)數(shù)即“環(huán)數(shù)”來表示，這個(gè)數(shù)在隨機(jī)試驗(yàn)前是無法預(yù)先確定的在不同的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，結(jié)果可能有變化，就是說，這種隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都可以用一個(gè)變量來表示在產(chǎn)品檢驗(yàn)的隨機(jī)試驗(yàn)中，結(jié)果也可以用“次品數(shù)”這個(gè)變量表示如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母、等表示兩點(diǎn)說明：（1）課本在介紹隨機(jī)變量的概念時(shí)，不加定義地引入了“隨機(jī)試驗(yàn)”的概念一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出

2、現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為了方便起見，也簡(jiǎn)稱試驗(yàn)（2）所謂隨機(jī)變量，即是隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是人為建立起來的，但又是客觀存在的這與函數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的，只不過在函數(shù)概念中，函數(shù)f(x)的自變量x是實(shí)數(shù)，而在隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量的自變量是試驗(yàn)結(jié)果例如，任意擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面向上、反面向上這兩種結(jié)果，雖然這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，但仍可以用數(shù)量來表示它通常我們用來表示這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果：=0，表示正面向上；=1，表示反面向上2離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量可能取的值，可

3、以按一定次序一一列出（可能取的值為有限個(gè)或至多可列個(gè)），這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量說明：（1）離散型隨機(jī)變量可能取的值為有限個(gè)或至多可列個(gè)這里的“可列”不易理解，所以課本用比較淺顯的語言“按一定次序一一列出”來描述比如取1，2，n，（2）教材中為了控制難度，所涉及到的離散型隨機(jī)變量可能取的值的個(gè)數(shù)多數(shù)是有限的3連續(xù)型隨機(jī)變量4離散型隨機(jī)變量的分布列對(duì)于隨機(jī)變量的研究，我們不僅要知道隨機(jī)變量取哪些值，隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，而且需要進(jìn)一步了解隨機(jī)變量取這些值的概率為了敘述和分析問題方便，通常用隨機(jī)變量與這一變量所對(duì)應(yīng)概率P的“二維表”表示，稱這樣的表為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱

4、為的分布列在離散型隨機(jī)變量的分布列中，由于概率一定非負(fù)，而且一次試驗(yàn)的各種結(jié)果是彼此互斥的，全部結(jié)果之和為一必然事件，所以P行中的概率值，具有下列兩個(gè)性質(zhì)：（1）；（2）=1二項(xiàng)分布是常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布之一，也是本書重點(diǎn)研究的一種離散型隨機(jī)變量的分布列在學(xué)習(xí)這個(gè)概念之前應(yīng)先弄清以下兩點(diǎn)：（1）在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量（2）如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為：，其中k=1，1，n，q=1-p難題巧解點(diǎn)撥】例1 設(shè)隨機(jī)變量的分布如下：123npk2k4k求常數(shù)k的值分析 用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：

5、=1來列等式，求待定系數(shù)k解 由離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)，得即點(diǎn)撥 從表格中可以看出，隨機(jī)變量的分布列有時(shí)可用通項(xiàng)型公式來表示，這樣對(duì)有關(guān)計(jì)算帶來很大方便例2 （2000年高考題）某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)的概率分布分析 一批產(chǎn)品可以認(rèn)為數(shù)量較大，從中任意地連續(xù)取2個(gè)元件，相當(dāng)于2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，得到的次品數(shù)服從二項(xiàng)分布解 由題意，得到的次品數(shù)B（2，5%）因此，次品數(shù)的概率分布如下：012P0.90250.0950.0025點(diǎn)撥 把數(shù)學(xué)思想應(yīng)用到實(shí)際問題中，并能順利地提煉出數(shù)學(xué)模型是本題的切入點(diǎn)例3 罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中

6、每次任取一球后放入一個(gè)紅球，直到取到紅球?yàn)橹褂帽硎境槿〈螖?shù)，求的分布列，并計(jì)算P（1<3）分析 =2，表示第一次取到白球，第二次取到紅球解 當(dāng)=2時(shí)，表示第一次取到白球，第二次取到紅球，則類似地的分布列如下：1234P點(diǎn)撥 必須明確=4的含義，防止遺漏這種情況例4 一批零件中有九個(gè)合格品，三個(gè)次品安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中隨機(jī)抽取，取出的是廢品則不放回，求在第一次取到合格品之前取到廢品數(shù)的分布列分析 在取到合格品之前取到的次品數(shù)，其所有可能值為0，1，2，3，共四種情況=0表示在取得合格品之前取得的次品數(shù)為0，即表示第一次取的零件就是合格品；=1表示取得合格品之前取得的次品數(shù)為1，即表示第

7、1次取得次品，第2次抽到合格品；以此類推解 由題意知可取0，1，2，3則的分布列如下：0123P點(diǎn)撥 =0表示在取得合格品之前取得0個(gè)次品，確切的意義為取得的第一個(gè)零件就是合格品，剖析此類題的一般性原則是：上一次試驗(yàn)若取到一個(gè)廢品，則下一次試驗(yàn)時(shí)，總量和廢品數(shù)量都應(yīng)減少一個(gè)；當(dāng)取完全部廢品后，下一次試驗(yàn)必取到合格品【同步達(dá)綱練習(xí)】一、選擇題1有下列問題：某路口一天經(jīng)過的車輛數(shù)為；某無線尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到尋呼的次數(shù)為；一天之內(nèi)的溫度為；某人一生中的身高為；射擊運(yùn)動(dòng)員對(duì)某目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分，用表示運(yùn)動(dòng)員在射擊中的得分上述問題中的的離散型隨機(jī)變量的是（ ）ABCD2若隨機(jī)變

8、量的概率分布如下表所示，則表中a的值為（ ）1234PaA1 B C D3設(shè)某批產(chǎn)品合格率為，不合格率為，現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第次首次測(cè)到正品，則P（=3）等于A BC D4拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為，則“>4”表示試驗(yàn)的結(jié)果為（ ）A第一枚為5點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn) B第一枚大于4點(diǎn)，第二枚也大于4點(diǎn)C第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn) D第一枚為4點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)5某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競(jìng)賽，用表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則下列概率中等于的是（ ）AP（=2） BP（=3） CP（2） DP（3）6若P（n）=1

9、-a，P（m）=1-b，其中m<n，則P（mn）等于（ ）A(1-a)(1-b) B1-a(1-b) C1-(a+b) D1-b(1-a)二、填空題7隨機(jī)變量的分布列為012345P則為奇數(shù)的概率為_8已知隨機(jī)變量的分布列為12345P0.10.20.40.20.1若=2-3，則的分布列為P9拋擲一枚骰子5次，得到點(diǎn)數(shù)為6的次數(shù)記為，則P（>3）=_10一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球、3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)，取出后記下球的顏色，然后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止沒停止時(shí)總共取了次球，則P（=12）等于_三、解答題11設(shè)B（2，P）B（4，P），已知有：求P（1）12有5支

10、不同標(biāo)價(jià)的圓珠筆，分別標(biāo)有10元、20元、30元、40元、50元從中任取3支，若以表示取到的圓珠筆中的最高標(biāo)價(jià)，試求的分布列13某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9，如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列14袋中有3個(gè)白球，3個(gè)紅球和5個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)取3個(gè)球，假定取得一個(gè)白球得1分，取得一個(gè)紅球扣1分，取得一個(gè)黑球得0分，求所得分?jǐn)?shù)的概率分布參考答案【同步達(dá)綱練習(xí)】一、1D 2D 3C 4C 5B 6C6提示：由P(>n)=1-P(n)=1-(1-a)=a，P(<m)=1-P(m)=1-(1-b)=b所以P(mn)=1-P(>n)+P(<m)=1-(a+b)二、7；8-11357P0.10.20.40.20.19 ； 109提示：隨機(jī)變量，則；10提示：=12，就是第12次取球時(shí)為第10次出現(xiàn)紅球所以前11次取球中，必有兩次取到白球，而余下的10次取到的是紅球（包括最后一次）故三、11因?yàn)锽（2，P），所以，k=0，1，2由，得，故，解得或（舍去），所以，12的可能取值為30，40，50，分布列為304050P13的取值有1，2，3，4，5當(dāng)=1時(shí)，即第一槍就中了，故P(=1)=0.9；當(dāng)=2時(shí)，即第一槍未中，第二槍中了，故P(=2)=0.1×0.9=0.09；同理，；則耗用子彈數(shù)的分布列為12345P0.9